Что значит оценить значение выражения 9 класс

Как научится оценивать значения выражений. Как оценить значение выражения? Методы получения оценок, примеры. Что значит оценить значение выражения

АЛГЕБРА
Уроки для 9 классов

Тема. Почленне сложение и умножение неравенств. Применение свойств числовых неравенств для оценки значений выражений

Цель урока: добиться усвоения учащимися содержания понятия «добавить неравенства почленно» и «перемножить неравенства почленно», а также содержания свойств числовых неравенств, выраженные теоремами о почленне добавление и почленне умножение числовых неравенств и следствий из них. Выработать умение воспроизводить названные свойства числовых неравенств и использовать эти свойства для оценки значений выражений, а также продолжить работу по отработке навыков доказательства неравенств, сравнение выражений с использованием определения и свойств числовых неравенств

Тип урока: усвоение знаний, выработка первичных умений.

Наглядность и оборудование: опорный конспект № 5.

I. Организационный этап

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку, настраивает их на работу.

Учащиеся выполняют тестовые задания с последующей проверкой.

Для сознательного участия учащихся в формулировке цели урока можно предложить им практические задачи геометрического содержания (например, на оценку периметра и площади прямоугольника, длины смежных сторон которого оценено в виде двойных неравенств). Во время беседы учитель должен направить мысль учеников на тот факт, что хотя задачи похожи на те, что были решены на предыдущем уроке (см. урок № 4, оценить значение выражений), однако в отличие от названных не могут быть решены теми же средствами, поскольку необходимо оценить значения выражений, содержащих две (а в перспективе и более) буквы. Таким образом ученики осознают существование противоречия между знаниями, которые они получили до этого момента, и необходимостью решения определенной задачи.

Результатом выполненной работы является формулировка цели урока: изучить вопрос о такие свойства неравенств, которые могут быть применены в случаях, подобных описанным в предложенном задании ученикам; для чего следует четко сформулировать математическим языком и в словесном виде, а затем довести соответствующие свойства числовых неравенств и научиться использовать их в комплексе с изученными ранее свойствами числовых неравенств для решения типовых задач.

План изучения нового материала

1. Свойство о почленне добавление числовых неравенств (с доводкой).

2. Свойство о почленне умножение числовых неравенств (с доводкой).

3. Следствие. Свойство о почленне умножение числовых неравенств (с доводкой).

4. Примеры применения доказанных свойств.

Опорный конспект № 5

Теорема (свойство) о почленне добавление числовых неравенств

.

Теорема (свойство) о почленне умножение числовых неравенств

.

(по теореме о почленне умножение числовых неравенств).

Пример 1. Известно, что 3 а 4; 2 b 3. Оценим значение выражения:

Использовав неравенство (где а ≥ 0, b ≥ 0) и полученную из нее неравенство a + b ≥ 2 (а ≥ 0, b ≥ 0), для m ≥ 0 и n ≥ 0 имеем:

По теореме о почленне умножения неравенств перемножим неравенства (1) и (2) почленно. Тогда имеем:

(m + n )(mn + 1) ≥ 4, следовательно,

Для осознанного восприятия нового материала учитель может на этапе актуализации опорных знаний и умений учащихся предложить решения устных упражнений с воспроизведением соответственно определение сравнения чисел и изученных на предыдущих уроках свойств числовых неравенств (см. выше), а также рассмотрение вопроса о соответствующие свойства числовых неравенств.

Обычно ученики хорошо усваивают содержание теорем о почленне сложение и умножение числовых неравенств, однако опыт работы свидетельствует о склонности учащихся к определенным ложных обобщений. Поэтому с целью предупреждения ошибок при формировании знаний учащихся по этому вопросу путем демонстраций примеров и контрпримеров учителю следует сделать акцент на следующих моментах:

· сознательное применение свойств числовых неравенств невозможно без умения записывать эти свойства как математическим языком, так и в словесном виде;

· теоремы о почленне сложение и умножение числовых неравенств выполняются только для неровностей одинаковых знаков;

· свойство о почленне добавление числовых неравенств выполняется при определенном условии (см. выше) для любых чисел, а теорема о почленне умножения (в том виде, как это заявлено в опорном конспекте № 5) только для положительных чисел;

· теоремы о почленне вычитания и почленне деление числовых неравенств не изучаются, поэтому в случаях, когда необходимо оценить разницу или долю выражений, эти выражения представляются в виде суммы или произведения соответственно, и далее уже при определенных условиях используют свойства о почленне сложения и умножения числовых неравенств.

1. Добавьте почленно неравенства:

Или можно те же неравенства почленно перемножить? Ответ обоснуйте.

2. Перемножте почленно неравенства:

Или можно те же неровности добавить? Ответ обоснуйте.

3. Определите и обоснуйте, является ли правильным утверждение, что если 2 а 3, 1 b 2, то:

Для реализации дидактической цели урока следует решить упражнения такого содержания:

1) добавить и перемножить почленно данные числовые неравенства;

2) оценить значение суммы, разности, произведения и частного двух выражений по данным оценкам каждого из этих чисел;

3) оценить значение выражений, содержащих данные буквы, по данным оценкам каждой из этих букв;

4) доказать неравенство с использованием теорем о почленне сложение и умножение числовых неравенств и с использованием классических неравенств;

5) на повторение свойств числовых неравенств, изученных на предыдущих уроках.

Письменные упражнения, которые предлагаются для решения на этом этапе урока, должны способствовать выработке устойчивых навыков по-членного сложение и умножение неравенств в простых случаях. (При этом отрабатывается очень важный момент: проверка соответствия записи неравенств в условии теоремы и правильная запись суммы и произведения левой и правой частей неравенств. Подготовительная работа проводится во время выполнения устных упражнений.) Для лучшего усвоения материала следует требовать от учащихся воспроизведения изученных теорем при комментировании действий.

После успешной проработки учащимися теорем в простых случаях они могут постепенно переходить к более сложных случаев (на оценивание разности и частного двух выражений и более сложных выражений). На этом этапе работы учителю следует внимательно следить за тем, чтобы ученики не допустили типичных ошибок, пытаясь разницу и оценивать долю за собственными ложными правилами.

Также на уроке (конечно, если позволяет время и уровень усвоения учащимися содержания материала) следует уделить внимание упражнениям на применение изученных теорем для доказательства более сложных неравенств.

Известно, что 4 а 5; 6 b 8. Найдите неверные неравенства и исправьте ошибки. Ответ обоснуйте.

1. Изучить теоремы о почленне сложение и умножение числовых неравенств (с доводкой).

2. Выполнить упражнения репродуктивного характера, аналогичные упражнениям классной работы.

3. На повторение: упражнения на применение определение сравнения чисел (на доведение неровностей и на сравнение выражений).

В этой статье мы разберем, во-первых, что понимают под оценкой значений выражения или функции, и, во-вторых, как оцениваются значения выражений и функций. Сначала введем необходимые определения и понятия. После этого подробно опишем основные методы получения оценок. По ходу будем приводить решения характерных примеров.

Что значит оценить значение выражения?

Нам не удалось найти в школьных учебниках явного ответа на вопрос, что понимается под оценкой значения выражения. Попробуем сами разобраться с этим, отталкиваясь от тех крупиц информации по этой теме, которые все же содержатся в учебниках и в сборниках задач для подготовки к ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.

Давайте посмотрим, что можно найти по интересующей нас теме в книгах. Приведем несколько цитат:

В двух первых примерах фигурируют оценки чисел и числовых выражений. Там мы имеем дело с оценкой одного единственного значения выражения. В остальных примерах фигурируют оценки, относящиеся к выражениям с переменными. Каждому значению переменной из ОДЗ для выражения или из некоторого интересующего нас множества X (которое, понятно, является подмножеством области допустимых значений) соответствует свое значение выражения. То есть, если ОДЗ (или множество X ) не состоит из единственного числа, то выражению с переменной отвечает множество значений выражения. В этом случае приходится говорить про оценку не одного единственного значения, а про оценку всех значений выражения на ОДЗ (или множестве X ). Такая оценка имеет место для любого значения выражения, соответствующего некоторому значению переменной из ОДЗ (или множества X ).

За рассуждениями мы немного отвлеклись от поиска ответа на вопрос, что значит оценить значение выражения. Приведенные выше примеры продвигают нас в этом деле, и позволяют принять два следующих определения:

Оценить значение числового выражения – это значит указать числовое множество, содержащее оцениваемое значение. При этом указанное числовое множество будет оценкой значения числового выражения.

Оценить значения выражения с переменной на ОДЗ (или на множестве X ) – это значит указать числовое множество, содержащее все значения, которые принимает выражение на ОДЗ (или на множестве X ). При этом указанное множество будет оценкой значений выражения.

В заключение этого пункта обратим внимание на форму записи оценок. Обычно, оценки записываются при помощи неравенств. Вы наверняка это и так заметили.

Оценка значений выражения и оценка значений функции

По аналогии с оценкой значений выражения можно говорить про оценку значений функции. Это выглядит довольно естественно, особенно если при этом иметь в виду функции, заданные формулами, ведь оценка значений выражения f(x) и оценка значений функции y=f(x) по сути есть одно и то же, что очевидно. Более того, процесс получения оценок часто удобно описывать именно в терминах оценки значений функции. В частности, в определенных случаях получение оценки выражения проводится через нахождение наибольшего и наименьшего значений соответствующей функции.

О точности оценок

В первом пункте этой статьи мы сказали, что для выражения могут иметь место множество оценок его значений. Являются ли одни из них лучше других? Это зависит от решаемой задачи. Поясним на примере.

Есть ли смысл все время искать самые точные оценки? Нет. И дело здесь в том, что для решения задач часто хватает сравнительно грубых оценок. А главное преимущество таких оценок перед точными оценками в том, что часто их значительно проще получить.

Основные методы получения оценок

Оценки значений основных элементарных функций

Оценка значений функции y=|x|

«Решебник» содержит ответы ко всем заданиям и упражнениям из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно разобраны методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учащихся, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач. За короткое время родители смогут стать вполне эффективными домашними репетиторами.

Смотреть, скачать: drive.google

Смотреть, скачать: ссылки удалены (см. примечание!!)

Смотреть, скачать: drive.google

Оглавление
Самостоятельные работы 4
Вариант 1 4

в многочлен (повторение) 4
С-2. Разложение на множители (повторение) 5
С-3. Целые и дробные выражения 6
С-4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей 7
С-5. Сокращение дробей (продолжение) 9

знаменателями (продолжение) 14
С-9. Умножение дробей 16
С-10. Деление дробей 17
С-11. Все действия с дробями 18
С-12. Функция 19
С-13. Рациональные и иррациональные числа 22
С-14. Арифметический квадратный корень 23
С-15. Решение уравнений вида х2=а 27

квадратного корня 29
С-17. Функция у=\/х 30

Произведение корней 31

Частное корней 33
С-20. Квадратный корень из степени 34

Внесение множителя под знак корня 37

содержащих квадратные корни 39
С-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43
С-25. Решение квадратных уравнений 45

(продолжение) 47
С-27. Теорема Виета 49

квадратных уравнений 50

множители. Биквадратные уравнения 51
С-30. Дробные рациональные уравнения 53

рациональных уравнений 58
С-32. Сравнение чисел (повторение) 59
С-33. Свойства числовых неравенств 60
С-34. Сложение и умножение неравенств 62
С-35. Доказательство неравенств 63
С-36. Оценка значения выражения 65
С-37. Оценка погрешности приближения 66
С-38. Округление чисел 67
С-39. Относительная погрешность 68
С-40. Пересечение и объединение множеств 68
С-41. Числовые промежутки 69
С-42. Решение неравенств 74
С-43. Решение неравенств (продолжение) 76
С-44. Решение систем неравенств 78
С-45. Решение неравенств 81

переменную под знаком модуля 83
С-47. Степень с целым показателем 87

степени с целым показателем 88
С-49. Стандартный вид числа 91
С-50. Запись приближенных значений 92
С-51. Элементы статистики 93

(повторение) 95
С-53. Определение квадратичной функции 99
С-54. Функция у=ах2 100
С-55. График функции у=ах2+Ьж+с 101
С-56. Решение квадратных неравенств 102
С-57. Метод интервалов 105
Вариант 2 108
С-1. Преобразование целого выражения
в многочлен (повторение) 108
С-2. Разложение на множители (повторение) 109
С-3. Целые и дробные выражения ПО
С-4. Основное свойство дроби.
Сокращение дробей 111
С-5. Сокращение дробей (продолжение) 112
С-6. Сложение и вычитание дробей
с одинаковыми знаменателями 114
С-7. Сложение и вычитание дробей
с разными знаменателями 116
С-8. Сложение и вычитание дробей с разными
знаменателями (продолжение) 117
С-9. Умножение дробей 118
С-10. Деление дробей 119
С-11. Все действия с дробями 120
С-12. Функция 121
С-13. Рациональные и иррациональные числа 123
С-14. Арифметический квадратный корень 124
С-15. Решение уравнений вида х2=а 127
С-16. Нахождение приближенных значений
квадратного корня 129
С-17. Функция y=Vx 130
С-18. Квадратный корень из произведения.
Произведение корней 131
С-19. Квадратный корень из дроби.
Частное корней 133
С-20. Квадратный корень из степени 134
С-21. Вынесение множителя из-под знака корня
Внесение множителя под знак корня 137
С-22. Преобразование выражений,
содержащих квадратные корни 138
С-23. Уравнения и их корни 141
С-24. Определение квадратного уравнения.
Неполные квадратные уравнения 142
С-25. Решение квадратных уравнений 144
С-26. Решение квадратных уравнений
(продолжение) 146
С-27. Теорема Виета 148
С-28. Решение задач с помощью
квадратных уравнений 149
С-29. Разложение квадратного трехчлена на
множители. Биквадратные уравнения 150
С-30. Дробные рациональные уравнения 152
С-31. Решение задач с помощью
рациональных уравнений 157
С-32. Сравнение чисел (повторение) 158
С-33. Свойства числовых неравенств 160
С-34. Сложение и умножение неравенств 161
С-35. Доказательство неравенств 162
С-36. Оценка значения выражения 163
С-37. Оценка погрешности приближения 165
С-38. Округление чисел 165
С-39. Относительная погрешность 166
С-40. Пересечение и объединение множеств 166
С-41. Числовые промежутки 167
С-42. Решение неравенств 172
С-43. Решение неравенств (продолжение) 174
С-44. Решение систем неравенств 176
С-45. Решение неравенств 179
С-46. Уравнения и неравенства, содержащие
переменную под знаком модуля 181
С-47. Степень с целым показателем 185
С-48. Преобразование выражений, содержащих
степени с целым показателем 187
С-49. Стандартный вид числа 189
С-50. Запись приближенных значений 190
С-51. Элементы статистики 192
С-52. Понятие функции. График функции
(повторение) 193
С-53. Определение квадратичной функции 197
С-54. Функция у=ах2 199
С-55. График функции y=ax2+txr+c 200
С-56. Решение квадратных неравенств 201
С-57. Метод интервалов 203
Контрольные работы 206
Вариант 1 206
К-1 206
К-2 208
К-3 212
К-4 215
К-5 218
К-6 221
К-7 223
К-8 226
К-9 229
К-10 (итоговая) 232
Вариант 2 236
К-1А 236
К-2А 238
К-ЗА 242
К-4А 243
К-5А 246
К-6А 249
К-7А 252
К-8А 255
К-9А (итоговая) 257
Итоговое повторение по темам 263
Осенняя олимпиада 274
Весенняя олимпиада 275

краткое содержание других презентаций

Наш «Решебник» содержит ответы ко всем заданиям и упражнениям из «Дидактических материалов по алгебре 8 класс»; подробно разобраны методы и способы их решения. «Решебник» адресован исключительно родителям учащихся, для проверки домашних заданий и помощи в решении задач.
За короткое время родители смогут стать вполне эффективными домашними репетиторами.

в многочлен (повторение) 4

С-2. Разложение на множители (повторение) 5

С-3. Целые и дробные выражения 6

С-4. Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 7

С-5; Сокращение дробей (продолжение) 9

с одинаковыми знаменателями 10

с разными знаменателями 12

знаменателями (продолжение) 14

С-9. Умножение дробей 16

С-10. Деление дробей 17

С-11. Все действия с дробями 18

С-13. Рациональные и иррациональные числа 22

С-14. Арифметический квадратный корень 23

С-15. Решение уравнений вида х2=а 27

С-16. Нахождение приближенных значений

квадратного корня 29

С-17. Функция у=д/х 30

Произведение корней 31

С-20. Квадратный корень из степени 34

С-21. Вынесение множителя из-под знака корня Внесение множителя под знак корня 37

С-23. Уравнения и их корни 42

Неполные квадратные уравнения 43

С-25. Решение квадратных уравнений 45

С-27. Теорема Виета 49

С-28. Решение задач с помощью

квадратных уравнений 50

множители. Биквадратные уравнения 51

С-30. Дробные рациональные уравнения 53

С-31. Решение задач с помощью

рациональных уравнений 58

С-32. Сравнение чисел (повторение) 59

С-33. Свойства числовых неравенств 60

С-34. Сложение и умножение неравенств 62

С-35. Доказательство неравенств 63

С-36. Оценка значения выражения 65

С-37. Оценка погрешности приближения 66

С-38. Округление чисел 67

С-39. Относительная погрешность 68

С-40. Пересечение и объединение множеств 68

С-41. Числовые промежутки 69

С-42. Решение неравенств 74

С-43. Решение неравенств (продолжение) 76

С-44. Решение систем неравенств 78

С-45. Решение неравенств 81

переменную под знаком модуля 83

С-47. Степень с целым показателем 87

степени с целым показателем 88

С-49. Стандартный вид числа 91

С-50. Запись приближенных значений 92

С-51. Элементы статистики 93

С-53. Определение квадратичной функции 99

С-54. Функция у=ах2 100

С-55. График функции у=ах2+Ьж+с 101

С-56. Решение квадратных неравенств 102

С-57. Метод интервалов 105

С-1. Преобразование целого выражения

в многочлен (повторение) 108

С-2. Разложение на множители (повторение) 109

С-3. Целые и дробные выражения 110

С-4. Основное свойство дроби.

Сокращение дробей 111

С-5. Сокращение дробей (продолжение) 112

С-6. Сложение и вычитание дробей

с одинаковыми знаменателями 114

С-7. Сложение и вычитание дробей

е разными знаменателями 116

С-8. Сложение и вычитание дробей с разными

знаменателями (продолжение) 117

С-9. Умножение дробей, 118

С-10. Деление дробей 119

С-11. Все действия с дробями 120

С-13. Рациональные и иррациональные числа 123

С-14. Арифметический квадратный корень 124

С-15. Решение уравнений вида х2—а 127

С-16. Нахождение приближенных значений квадратного корня 129
С-17. Функция у=\/х » 130

С-18. Квадратный корень из произведения.

Произведение корней 131

С-19. Квадратный корень из дроби.

Частное корней 133

С-20. Квадратный корень из степени 134

С-21. Вынесение множителя из-под знака корня

Внесение множителя под знак корня 137

С-22. Преобразование выражений,

С-23. Уравнения и их корни 141

С-24. Определение квадратного уравнения.

Неполные квадратные уравнения 142

С-25. Решение квадратных уравнений 144

С-26. Решение квадратных уравнений

С-27. Теорема Виета 148

С-28. Решение задач с помощью

квадратных уравнений 149

С-29. Разложение квадратного трехчлена на

множители. Биквадратные уравнения 150

С-30. Дробные рациональные уравнения 152

С-31. Решение задач с помощью

рациональных уравнений 157

С-32. Сравнение чисел (повторение) 158

С-33. Свойства числовых неравенств 160

С-34. Сложение и умножение неравенств 161

С-35. Доказательство неравенств 162

С-36. Оценка значения выражения 163

С-37. Оценка погрешности приближения 165

С-38. Округление чисел 165

С-39. Относительная погрешность 166

С-40. Пересечение и объединение множеств 166

С-41. Числовые промежутки 167
С-42. Решение неравенств 172

Источник

Частная школа. 9 класс

Конспекты, контрольные, тесты

Алгебра 9 Мерзляк Упражнения 60-93

Алгебра 9 класс УМК Мерзляк. Упражнения №№ 60 — 93 из учебника с ответами и решениями. Глава 1. НЕРАВЕНСТВА. § 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения. Алгебра 9 Мерзляк Упражнения 60-93 + ОТВЕТЫ.

Алгебра 9 класс (Мерзляк)
Упражнения №№ 60 — 93

Нажмите на спойлер, чтобы посмотреть ответ на задание.

§ 3. Сложение и умножение числовых неравенств.
Оценивание значения выражения

Задание № 60. Запишите неравенство, которое получим, если:
1) сложим почленно неравенства 10 > –6 и 8 > 5;
2) умножим почленно неравенства 2 0,9 и 5 > 1/3.

Задание № 61. Запишите неравенство, которое получим, если:
1) сложим почленно неравенства –9 Смотреть решение упражнения № 61

Задание № 62. Дано: –3 Смотреть решение упражнения № 62

Задание № 63. Дано: 2 Смотреть решение упражнения № 63

Задание № 64. Известно, что 2,6 Смотреть решение упражнения № 64

Задание № 65. Дано: 5 Смотреть решение упражнения № 65

Задание № 66. Известно, что 2,2 Смотреть решение упражнения № 66

Задание № 67. Дано: 2 Смотреть решение упражнения № 67

Задание № 68. Оцените среднее арифметическое значений a и b, если известно, что 2,5 Смотреть решение упражнения № 68

Задание № 69. Оцените периметр равнобедренного треугольника с основанием а см и боковой стороной b см, если 10 см Смотреть решение упражнения № 69

Задание № 70. Оцените периметр параллелограмма со сторонами а см и b см, если 15 см ≤ а ≤ 19 см и 6 см ≤ 6 ≤ 11 см.

Задание № 78. Докажите, что периметр четырёхугольника больше суммы его диагоналей.

Задание № 79. Докажите, что каждая диагональ выпуклого четырёхугольника меньше его полупериметра.

Задание № 80. Докажите, что сумма двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника меньше суммы его диагоналей.

Задание № 82. Докажите, что если 1/a > 1/b > 0, то а Смотреть решение упражнения № 82

Задание № 91. В саду растут яблони и вишни, причём вишни составляют 20 % всех деревьев. Сколько процентов составляет количество яблонь от количества вишен?

Готовимся к изучению новой темы

Задание № 92. Равносильны ли уравнения:
1) 4х + 6 = 2х – 3 и 4х + 3 = 2х – 6;
2) 8х – 4 = 0 и 2х – 1 = 0;
3) х 2 + 2х – 3 = 0 и х 2 + х = 3 – х;
4) (x 2 – 1)/(x + 1) = 0 и х 2 – 1 = 0;
5) (x 2 – 1)/(x + 1) = 0 и х – 1 = 0;
6) x 2 + 1 = 0 и 0х = 5?

Учимся делать нестандартные шаги

Задание № 93. Докажите, что для нечётных чисел а, b, с, d, e, f не может выполняться равенство 1/a + 1/b + 1/c + 1/d + 1/e + 1/f = 1.

Вы смотрели: Алгебра 9 класс УМК Мерзляк. Упражнения из учебника с ответами и решениями. Глава 1. НЕРАВЕНСТВА. § 3. Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения. Алгебра 9 Мерзляк Упражнения 60-93 + ОТВЕТЫ.

Источник