Что значит описанный около треугольника
Описанная окружность
Описанная окру́жность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать 
) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Содержание
Свойства
Для треугольника
Обозначаем буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА = OB = ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.
Радиус
Радиус описанной окружности может быть найден по формулам
Где:
— стороны треугольника,
— угол, лежащий против стороны 
,
— площадь треугольника. 
— полупериметр треугольника.
Положение центра описанной окружности
Пусть 
радиус-векторы вершин треугольника, 
— радиус-вектор центра описанной окружности. Тогда
При этом — длины сторон треугольника, противоположных вершинам 
.
Уравнение описанной окружности
Пусть 
координаты вершин треугольника в некоторой декартовой системе координат на плоскости, 
— координаты центра описанной окружности. Тогда
Для точек 
, лежащих внутри окружности, определитель отрицателен, а для точек вне ее — положителен.
Для четырехугольника
Вписанный простой (без самопересечений) четырёхугольник необходимо является выпуклым.
Около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна 180° (π радиан).
Можно описать окружность около:
У четырёхугольника, вписанного в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин пар противоположных сторон: [1]
Для многоугольника
В сферическом треугольнике
Описанная окружность для сферического треугольника — это окружность, содержащая все его вершины.
См. также
Примечания
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Описанная окружность» в других словарях:
Окружность — и её центр Окружность геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом. Содержание … Википедия
Окружность Аполония — Здесь собраны определения терминов из планиметрии. Курсивом выделены ссылки на термины в этом словаре (на этой странице). # А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Википедия
Окружность девяти точек — 9 точек Окружность девяти точек это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также назы … Википедия
Окружность Эйлера — В геометрии треугольника окружность девяти точек это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек. Окружность девяти точек получила… … Википедия
Вписанная окружность — Окружность, вписанная в многоугольник ABCDE Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектри … Википедия
Вневписанная окружность — Вписанная (с центром I) и 3 вневписанные (с центрами в J) окружности в Вневписанная … Википедия
основная окружность конического зубчатого колеса с циклоидальной линией зубьев — Концентрическая окружность на развертке делительного конуса конического зубчатого колеса, при качении по которой другой окружности, называемой паллоидной, точка, жестко связанная с паллоидной окружностью, образует линию зуба в форме удлиненной… … Справочник технического переводчика
прилегающая окружность — Окружность минимального диаметра, описанная вокруг реального профиля наружной поверхности вращения, или окружность максимального диаметра, вписанная в реальный профиль внутренней поверхности вращения. Примечание В тех случаях, когда расположение… … Справочник технического переводчика
Основная окружность конического зубчатого колеса с циклоидальной линией зубьев — 163. Основная окружность конического зубчатого колеса с циклоидальной линией зубьев Концентрическая окружность на развертке делительного конуса конического зубчатого колеса, при качении по которой другой окружности, называемой паллоидной, точка,… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
начальная окружность ротора — Описанная вокруг оси технологического или транспортного ротора окружность, на которой расположены условные центры позиций ротора. [ГОСТ 14334 87] Тематики роторные и роторно конвейерные линии … Справочник технического переводчика
Что значит описанный около треугольника
ТЕМА УРОКА: Окружность, описанная около треугольника.
Содержание
Цели урока:
Задачи урока:
План урока:
Введение.
Тема «Вписанные и описанные окружности в треугольниках» является одной из самых сложных в курсе геометрии. На уроках ей уделяется очень мало времени.
Геометрические задачи этой темы включаются во вторую часть экзаменационной работы ЕГЭ за курс средней школы.
Для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов и некоторый опыт в решении геометрических задач.
Теоретическая часть.
Описанная окружность многоугольника — окружность, содержащая все вершины многоугольника. Центром является точка (принято обозначать O) пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности).
Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Для треугольника.
Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
Вокруг любого треугольника можно описать окружность, притом только одну. Её центром будет являться точка пересечения серединных перпендикуляров.
У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри, у тупоугольного — вне треугольника, у прямоугольного — на середине гипотенузы.
 |  |  |
| Остроугольный | Тупоугольный | Прямоугольный |
Радиус описанной окружности может быть найден по формулам:
Где:
a,b,c — стороны треугольника,
α — угол, лежащий против стороны a,
S — площадь треугольника.
Файл:T.gif Теорема. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.
Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных через середины этих сторон.
Пусть ABC – данный треугольник и O – центр окружности описанной около данного треугольника. Δ AOB – равнобедренный ( AO = OС как радиусы). Медиана OD этого треугольника одновременно является его высотой. Поэтому центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне AC и проходящей через ее середину. Так же доказывается, что центр окружности на перпендикулярах к другим сторонам треугольника.
Рассмотрим подробнее этот случай.
Дано:
Что и требовалось доказать.
Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединным перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Файл:T.gif Теорема. Теорема об окружности, описанной около треугольника. Около любого треугольника можно описать окружность.
АВС — данный треугольник; О — точка пересечения серединных перпендикуляров (рис. 31).
О — центр окружности, вписанной в АВС.
Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=OB=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника ABC.
Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой окружности равноудален от вершин треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.
Практическая часть.
Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75˚ описана окружность с центром O.
Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
∆ ABC – равнобедренный, AC – основание, ∠ ACB = 75˚,
площадь ∆ BOC равна 16
Найти:
Радиус описанной окружности
S = 1/2 ∙ BO ∙ OC ∙ sin ﮮ BOC (теорема о площади треугольника),
SBOC = 1/2 ∙ R ∙ R ∙ sin 150˚ = 1/2 ∙ R ∙ R ∙ 1/2 = 1/4 ∙ R 2 ;
Треугольник BMP с углом B, равным 45˚, вписан в окружность радиуса 6.
Найдите длину медианы BK, если BK пересекает окружность в точке C и CK = 3.
Решение:
ﮮ MOP = 2 ﮮMBP
ﮮ MOP = 2 ∙ 45˚ = 90˚, следовательно, ∆ MOP – прямоугольный
MP 2 = OM 2 + OP 2
MP 2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 36 ∙ 2
MP = 
MK = KP = 0,5 ∙ MP
MK = KP = 0,5 ∙ 
= 
MK ∙ KP = BK ∙ KC∙ = BK ∙ 3
BK ∙ 3 = 9 ∙ 2
BK ∙ 3 = 18
BK = 6
Ответ: BK = 6
Остроугольный равнобедренный треугольник BCD с основанием CD, равным 16, вписан в окружность с центром O и радиусом 10. Найдите площадь треугольника BOC.
Интересный факт:
Софизм – это последовательность высказывания, рассуждений, построений, содержащая скрытую ошибку, за счет чего удается сделать неверный вывод. Задача обычно заключается в том, чтобы найти ошибку в рассуждениях.
Найдите ошибку в «доказательстве» того «странного» факта, что окружность имеет два центра.
Пусть даны две непараллельные прямые a и b. Из точек А и В этих прямых поставим перпендикуляры до пересечения в точке С. Через три точки А, В и С проведем окружность, пересекающую прямую а в точке М, а прямую b в точке N. По построению ∠MAC = ∠NBC = 900, значит, эти углы опираются на диаметры МС и NC построенной окружности. Середины этих диаметров – точки О1 и О2 – центры одной и той же окружности.
Ошибка в следующем:
∠MAC = ∠NBC = 900 (по построению). Эти углы являются вписанными и опирающимися на одну и туже дугу (в нашем случае, на полуокружность), поэтому точки О1 и О2 совпадают и лежат на отрезке DC (DC – биссектриса угла ADB).
Список использованных источников:
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог, Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Описанная и вписанная окружность
теория по математике 📈 планиметрия
Описанная окружность
Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.
Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.
Вписанный и описанный треугольники
Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность: 
Центр вписанной окружности
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Вписанный и описанный четырехугольники
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.
Условие вписанной в 4-х угольник окружности
Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.
На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB
Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.
На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.
Вписанная окружность
Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.
Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:
В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.
Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.
Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.
Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.
Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.
Свойства вписанной окружности
В треугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c) \cdot r = pr \]
с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
R — радиус описанной около треугольника.
r — радиус вписанной окружности треугольника.
В четырехугольник
\[ S = \frac<1><2>(a+b+c+d)\cdot r = pr \]
Примеры вписанной окружности
Примеры описанного четырехугольника:
равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.
Примеры описанного треугольника:
равносторонний, равнобедренный,
прямоугольный треугольники.
Верные и неверные утверждения
Окружность вписанная в угол
Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
лежит внутри этого угла и касается его сторон.
Центр окружности, которая вписана в угол,
расположен на биссектрисе этого угла.
К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.
Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.
Описанная окружность
Что такое описанная окружность? Какими свойствами она обладает?
Описанная около выпуклого многоугольника окружность — это окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.
Многоугольник, около которого описана окружность, называется вписанным.
В выпуклый многоугольник можно вписать окружность, если все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке.
Центр вписанной в многоугольник окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
Центр описанной окружности равноудалён от вершин многоугольника.
Расстояние от центра до любой вершины многоугольника равно радиусу описанной окружности.
Окружность с центром в точке O и радиусом R описана около пятиугольника ABCDE.
ABCDE — вписанный пятиугольник.
O — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам ABCD, то есть
Точка O равноудалена от вершин пятиугольника.
Расстояние от точки O до любой вершины равно радиусу:
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность. В любой правильный многоугольник также можно вписать окружность. Центр вписанной и описанной окружности лежат в центре правильного многоугольника.
В отличие от вписанной окружности, общей формулы для нахождения радиуса описанной около многоугольника окружности нет. Радиус описанной окружности можно найти как радиус окружности, описанной около любого из треугольников, вершины которого являются вершинами описанного многоугольника.
Например, для описанного пятиугольника ABCDE радиус можно найти как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, ACD, ADE и т.д.
Формулы для нахождения радиуса описанной окружности существуют в частных случаях: для правильных многоугольников, треугольников, прямоугольника.
2 Comments
Огромное спасибо за все статьи, что есть на этом сайте! Благодаря вам восполнила пробелы в теории, из-за которых не могла решить задачки, и теперь щёлкаю задания как орехи. Лучший сайт по геометрии!