Что значит нок в математике 6 класс

Базовые понятия

Для вычисления НОК (наименьшее общее кратное) необходимо разобраться с терминами и определениями. Если любое натуральное число делится на Х без остатка, это число считается кратным Х. Например, 14, 49, 63 кратны 7.

Любое число в математике может иметь бесконечное множество кратных. А вот количество делителей для него самого ограничено. У простых чисел их всего 2 — это единица и само простое число.

НОК может быть общим сразу для нескольких величин. Если какая-то из них делится без остатка сразу на 2 числа, она называется общим кратным этой пары. Например, 10 кратно одновременно 2 и 5, то есть его можно разделить нацело на 2 и на 5. Однако для 2 и 5 кратным может быть не только 10, но и другие величины — 20, 50, 100 и так далее. С математической точки зрения, важно определить меньшую из этих величин.

Наименьшее общее кратное или НОК для величин А и В — это самое маленькое число, которое одновременно делится на А и на В. То есть оно кратно сразу А и В.

Вместо переменных можно подставлять любые числа и искать для них этот показатель.

Методы нахождения

Чтобы найти НОК 2 чисел, в математике используются три способа. Каждый из них может быть применен для проведения вычислений. Если все операции совершены правильно, в результате получится один и тот же ответ при всех методах.

Первый способ

При этом способе применяется метод простого подбора. Для многих учеников он самый простой. Порядок вычисления будет такой:

Пример: необходимо найти НОК для 6 и 8. Сначала составляется ряд кратных 6. Он будет выглядеть так: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 и так далее. Для числа 8 ряд кратных будет иметь вид: 8, 16, 24, 32, 40. 48, 56, 64, 72, 80 и так далее. Если изучить оба ряда, можно обнаружить 2 одинаковых числа — 24 и 48. Меньшим из них является 24. Это и есть НОК для 6 и 8. Для проверки делят 24 на эти величины. В обоих случаях получаются целые величины без остатка.

Второй вариант

Для вычисления вторым способом нужно разложить на простые множители обе величины. Простым множителем в математике принято называть число, которое делится без остатка только на 1 и на себя.

Следующий шаг — выписываются все множители из первого ряда. Затем добавляются те цифры, которых не было в первом ряду, но были во втором. Получится цепочка из нескольких простых чисел. Их необходимо перемножить между собой, в результате чего получится НОК.

Пример: требуется найти НОК для 8 и 12. Для начала нужно разложить на простые множители 8. Получится 2, 2 и 2. Дальше раскладывается аналогичным образом число 12. Получается 2, 2 и 3. Выписываются множители из первого разложенного ряда 2х2х2. Далее добавляются цифры из второго ряда, которых нет в первом — 2х2х2х3.

После перемножения этих величин получается 24. Это и будет НОК для 12 и 8, поскольку оно делится нацело на оба числа. Фактически все действие сводится к разложению на простые множители двух величин одновременно.

Третий алгоритм

Существует еще один метод нахождения НОК. Решать примеры с его помощью можно только для двух чисел. Необходимо заранее знать наибольший общий делитель — НОД. Так принято называть самое большое число, на которое 2 какие-либо переменные делятся без остатка. Вместо переменных можно ввести конкретные данные. НОД возможно вычислить не только для 2, но и для большего количества величин. В математике это понятие принято записывать кратко НОД (х, у).

Пример: требуется рассчитать НОД для 90 и 117. При разложении на простые множители 90 получается ряд 2,3,3,5. Ту же операцию проводят с числом 117 — получается 3,3,13. Для вычисления НОД умножают общие для двух рядов множители — 3х3=9. Значит, НОД (90,117) = 9.

Часто получается, что наибольший общий делитель равняется одному из чисел. Так бывает, если на него можно разделить все остальные. Например, для 10, 20 и 30 наибольшим делителем будет 10.

Если в задаче необходимо найти одновременно НОД и НОК, применяют третий способ вычисления. Алгоритм работы следующий:

Пример: требуется найти НОД и НОК для чисел 115 и 175. Вначале вычисляется НОД. В этом случае он будет равняться 5. Затем 25 и 40 перемножают, получается 20125.

Полученный результат делят на 5, в итоге НОК 15 и 40 равно 4025.

Чтобы проверить достоверность результата, можно вычислить НОК первым или вторым методами.

Например, нужно найти НОК (25, 40).

Наибольшим делителем для них будет 5. Тогда (25х40):5 = 200.

Проверка вторым способом:

Такой же результат будет получен и при решении вторым методом.

Особые случаи

Не во всех случаях вычисление проводится стандартными способами. Существуют пары чисел с особыми свойствами, для которых найти НОК можно без громоздких вычислений.

К таким случаям относятся следующие:

Большинство учащихся быстро усваивают, как найти НОК двух чисел.

Однако некоторых вводят в растерянность ситуации, когда требуется вычислить НОК или НОД для трех или более исходных. В этом случае необходимо последовательно находить кратное для каждой пары из имеющегося ряда.

Для этих случаев в математике есть особая теорема. Если имеется числовой ряд с формулой А1, А2, А3… Ах, то НОК для всех показателей вычисляется последовательно. Вначале НОК (А1, А2), затем для А2, А3 и так далее.

Однако такой путь может оказаться довольно трудоемким.

Чтобы сэкономить время, можно воспользоваться другим методом поиска:

Применение онлайн-калькулятора

Современные технологии позволяют не рассчитывать нужные данные на бумаге. Любой пользователь может найти в интернете НОД и НОК калькулятор, работающий в онлайн-режиме. Такой онлайн-сервис особенно удобен, если нужно найти делитель и кратное для 3 и более чисел.

Чтобы получить нужные расчеты, достаточно ввести в окошки калькулятора исходные данные и выбрать НОД или НОК. Поскольку между этими понятиями существует тесная связь, обычно они вычисляются вместе. Внизу находится кнопка «найти», которую нужно нажать. Через 2−3 секунды внизу появится ответ. Кроме того, некоторые сервисы выдают не только конечные результаты, но и пошаговый порядок расчетов. Здесь же можно найти онлайн-тесты на заданную тему.

Таким образом, учащийся может понять алгоритм действий и усвоить правило при вычислении НОК онлайн. Это всегда проще сделать на практическом примере.

Источник

Наименьшее общее кратное (НОК) — алгоритмы и примеры определения

trong>В школьную программу по математике входит понятие наименьшее общее кратное.Каждый ученик должен понимать и уметь находить эту величину. Это поможет проводить действия с дробями, знаменатели у которых отличаются. Вычислить этот показатель можно несколькими способами на бумаге или с помощью онлайн-калькуляторов.

Базовые понятия

Для вычисления НОК (наименьшее общее кратное) необходимо разобраться с терминами и определениями. Если любое натуральное число делится на Х без остатка, это число считается кратным Х. Например, 14, 49, 63 кратны 7.

Любое число в математике может иметь бесконечное множество кратных. А вот количество делителей для него самого ограничено. У простых чисел их всего 2 — это единица и само простое число.

НОК может быть общим сразу для нескольких величин. Если какая-то из них делится без остатка сразу на 2 числа, она называется общим кратным этой пары. Например, 10 кратно одновременно 2 и 5, то есть его можно разделить нацело на 2 и на 5. Однако для 2 и 5 кратным может быть не только 10, но и другие величины — 20, 50, 100 и так далее. С математической точки зрения, важно определить меньшую из этих величин.

Наименьшее общее кратное или НОК для величин А и В — это самое маленькое число, которое одновременно делится на А и на В. То есть оно кратно сразу А и В.

Вместо переменных можно подставлять любые числа и искать для них этот показатель.

Методы нахождения

Чтобы найти НОК 2 чисел, в математике используются три способа. Каждый из них может быть применен для проведения вычислений. Если все операции совершены правильно, в результате получится один и тот же ответ при всех методах.

Первый способ

При этом способе применяется метод простого подбора. Для многих учеников он самый простой. Порядок вычисления будет такой:

Пример: необходимо найти НОК для 6 и 8. Сначала составляется ряд кратных 6. Он будет выглядеть так: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 и так далее. Для числа 8 ряд кратных будет иметь вид: 8, 16, 24, 32, 40. 48, 56, 64, 72, 80 и так далее. Если изучить оба ряда, можно обнаружить 2 одинаковых числа — 24 и 48. Меньшим из них является 24. Это и есть НОК для 6 и 8. Для проверки делят 24 на эти величины. В обоих случаях получаются целые величины без остатка.

Второй вариант

Для вычисления вторым способом нужно разложить на простые множители обе величины. Простым множителем в математике принято называть число, которое делится без остатка только на 1 и на себя.

Следующий шаг — выписываются все множители из первого ряда. Затем добавляются те цифры, которых не было в первом ряду, но были во втором. Получится цепочка из нескольких простых чисел. Их необходимо перемножить между собой, в результате чего получится НОК.

Пример: требуется найти НОК для 8 и 12. Для начала нужно разложить на простые множители 8. Получится 2, 2 и 2. Дальше раскладывается аналогичным образом число 12. Получается 2, 2 и 3. Выписываются множители из первого разложенного ряда 2х2х2. Далее добавляются цифры из второго ряда, которых нет в первом — 2х2х2х3.

После перемножения этих величин получается 24. Это и будет НОК для 12 и 8, поскольку оно делится нацело на оба числа. Фактически все действие сводится к разложению на простые множители двух величин одновременно.

Третий алгоритм

Существует еще один метод нахождения НОК. Решать примеры с его помощью можно только для двух чисел. Необходимо заранее знать наибольший общий делитель — НОД. Так принято называть самое большое число, на которое 2 какие-либо переменные делятся без остатка. Вместо переменных можно ввести конкретные данные. НОД возможно вычислить не только для 2, но и для большего количества величин. В математике это понятие принято записывать кратко НОД (х, у).

Пример: требуется рассчитать НОД для 90 и 117. При разложении на простые множители 90 получается ряд 2,3,3,5. Ту же операцию проводят с числом 117 — получается 3,3,13. Для вычисления НОД умножают общие для двух рядов множители — 3х3=9. Значит, НОД (90,117) = 9.

Часто получается, что наибольший общий делитель равняется одному из чисел. Так бывает, если на него можно разделить все остальные. Например, для 10, 20 и 30 наибольшим делителем будет 10.

Если в задаче необходимо найти одновременно НОД и НОК, применяют третий способ вычисления. Алгоритм работы следующий:

Пример: требуется найти НОД и НОК для чисел 115 и 175. Вначале вычисляется НОД. В этом случае он будет равняться 5. Затем 25 и 40 перемножают, получается 20125.

Полученный результат делят на 5, в итоге НОК 15 и 40 равно 4025.

Чтобы проверить достоверность результата, можно вычислить НОК первым или вторым методами.

Например, нужно найти НОК (25, 40).

Наибольшим делителем для них будет 5. Тогда (25х40):5 = 200.

Проверка вторым способом:

Такой же результат будет получен и при решении вторым методом.

Особые случаи

Не во всех случаях вычисление проводится стандартными способами. Существуют пары чисел с особыми свойствами, для которых найти НОК можно без громоздких вычислений.

К таким случаям относятся следующие:

Большинство учащихся быстро усваивают, как найти НОК двух чисел.

Однако некоторых вводят в растерянность ситуации, когда требуется вычислить НОК или НОД для трех или более исходных. В этом случае необходимо последовательно находить кратное для каждой пары из имеющегося ряда.

Для этих случаев в математике есть особая теорема. Если имеется числовой ряд с формулой А1, А2, А3… Ах, то НОК для всех показателей вычисляется последовательно. Вначале НОК (А1, А2), затем для А2, А3 и так далее.

Однако такой путь может оказаться довольно трудоемким.

Чтобы сэкономить время, можно воспользоваться другим методом поиска:

Применение онлайн-калькулятора

Современные технологии позволяют не рассчитывать нужные данные на бумаге. Любой пользователь может найти в интернете НОД и НОК калькулятор, работающий в онлайн-режиме. Такой онлайн-сервис особенно удобен, если нужно найти делитель и кратное для 3 и более чисел.

Чтобы получить нужные расчеты, достаточно ввести в окошки калькулятора исходные данные и выбрать НОД или НОК. Поскольку между этими понятиями существует тесная связь, обычно они вычисляются вместе. Внизу находится кнопка «найти», которую нужно нажать. Через 2−3 секунды внизу появится ответ. Кроме того, некоторые сервисы выдают не только конечные результаты, но и пошаговый порядок расчетов. Здесь же можно найти онлайн-тесты на заданную тему.

Таким образом, учащийся может понять алгоритм действий и усвоить правило при вычислении НОК онлайн. Это всегда проще сделать на практическом примере.

Источник

Наименьшее общее кратное

Всего получено оценок: 123.

Всего получено оценок: 123.

Дроби – это трудная тема, которую начинают изучать в 6 классе: без знания дроби станет невозможен кредит в банке, раздел пирога, а также точные вычисления. Одним из чисел, облегчающих работу с дробями, является наименьшее общее кратное чисел.

Что это такое?

Наименьшее общее кратное может находится только для ряда числ. Минимальное количество чисел в ряду: 2. Что это значит? Для двух, трех или 120 чисел наименьшее общее кратное найти можно, а вот для одного числа его нет.

Зачем это нужно?

Для того, чтобы сложить или вычесть дроби с разным знаменателем, необходимо привести их к общему знаменателю, используя основное свойство дроби.

Основное свойство дроби в том, что если умножить или разделить числитель и знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не поменяется.

А для того, чтобы найти этот общий знаменатель, нам и пригодиться НОК (наименьшее общее кратное).

Приведем пример.

Составим ряд чисел: 3, 5, 7. Теперь найдем для этого ряда НОК.

Обратите внимание, что все числа ряда простые.

Простые числа – это числа, которые делятся только на самих себя и 1. Например, 13 можно поделить только на 13 или 1. Для удобства вычислений составлены таблицы простых чисел.

Для нахождения наименьшего общего кратного ряда простых чисел, нужно просто перемножить их между собой.

Но что будет, если в ряде будет три сложных числа?

18,15,25 – найдем для этого ряда НОК.

Для этого, каждое из чисел нужно разложить на простые множетели.

Для того, чтобы найти НОК нужно перемножить простые множители чисел, которые еще не встречались.

Начнем с числа 2. Двойка встречалась только в простых множителях числа 18, вычеркнем ее.

У нас осталась еще одна тройка в разложении числа 18.

Теперь посмотрим, какое число осталось в разложении 15. Это 5:

Вычеркиваем одну 5 из разложения числа 15 и одну из разложения числа 25. Осталось одно число, множетели которого не зачекнуты: это 25, где осталась одна 5. Добавим ее в НОК и получим окончательное значение:

Так нужно действовать с любым рядом чисел, для которых необходимо найти НОК.

Использование НОК для сложения и вычитания дробей

Теперь посмотрим, как можно использовать эти знания на практике, для решения задач. Используя второй ряд чисел составим три дроби, которые нужно сложить:

НОК=450, это мы уже посчитали в предыдущем пункте. Посмотрим, на какое число нужно домножить числитель и знаменатель каждой дроби, чтобы привести их к общему знаменателю.

Домножим числитель и знаменатель дроби на 25:

Аналогично поступим с каждой из оставшихся дробей:

Теперь сложим получившиеся дроби:

Это и есть сумма ряда.

Что мы узнали?

Вы определили, что такое НОК, зачем он нужен и как его найти. Разобрали на примерах различные случаи нахождения НОК и решили задачу на сложение дробей с применением этого показателя.

Источник

Наименьшее общее кратное

Общее кратное

Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.

Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.

Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.

Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.

Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.

Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.

Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.

Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.

Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.

Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.

Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.

Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.

Наименьшее общее кратное записывается так:

Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.

Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:

Как найти НОК

Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.

С помощью разложения на простые множители

Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.

Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:

Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,

Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:

2 2 · 3 · 7 2 = 12 · 49 = 980.

Ответ: НОК (12, 49) = 980.

Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.

Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:

Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.

Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.

Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:

24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3,

12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,

Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:

Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.

Нахождение НОК через НОД

НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.

Правило в общем виде:

Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.

Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:

НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.

Ответ: НОК (99, 54) = 594.

Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:

Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.

Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:

Вычисляем их НОК по формуле:

НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.

Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:

Вычисляем НОК по формуле:

НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.

Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.

Калькулятор НОК

Источник

Мерзляк 6 класс — § 6. Наименьшее общее кратное

Вопросы к параграфу

1. Какое число называют наименьшим общим кратным двух чисел?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел — это число, которое делится нацело на каждое из этих двух чисел и, при этом, является наименьшим из всех чисел, удовлетворяющих данному условию.

2. Как можно найти НОК двух натуральных чисел, используя их разложения на простые множители?

Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) надо:

Полученное число и будет НОК двух данных чисел.

Например найдём наименьшее общее кратное для чисел 45 и 24, используя данное правило:

1. Разложим оба числа на простые множители и представить его в виде произведения степеней.

2. Выбрать степени, основания которых встречаются только в одном из разложений заданных чисел на простые множители.

3. Из каждой пары степеней с одинаковыми основаниями выбрать степень с наибольшим показателем.

4. Перемножить выбранные степени.

Значит наименьшее общее кратное чисел 45 и 24 равно 360.

Ответ: НОК (45, 24) = 360.

3. Чему равно наименьшее общее кратное двух чисел, одно из которых является делителем другого?

Если из двух чисел одно является делителем другого, то наименьшее общее кратное (НОК) равно большему числу.

4. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению.

Решаем устно

1. Назовите какое-либо трёхзначное число, которое:

1) делится нацело на 3, но не делится нацело на 9

111, 273 и т.д. — сумма чисел такого числа должна делиться на 3, но не должна делиться на 9.

2) делится нацело на 9 и на 2

180, 324, 162 — это должно быть чётное число, сумма цифр которого делится нацело на 9.

3) делится нацело на 9 и на 5

450, 315 — это должно быть число, оканчивающееся на 0 или на 5, при этом сумма его цифр должна делиться на 9.

4) делится нацело на 3 и на 4

600, 228, 516 — это должно быть число оканчивающееся на 00 или на двузначное число, которое делится на 4, при этом сумма чисел этого числа должна делиться на 3.

5) делится нацело на 9, а при делении на 10 даёт остаток 7.

927, 657 — это должно быть число, сумма чисел которого делиться нацело на 9, а само число оканчивается на цифру 7.

2. Назовите три общих кратных чисел:

1) 2 и 3

Кратными и числа 2, и числа 3, являются числа: 6, 12, 18 и т.д.

2) 4 и 6

3) 5 и 10

Кратными и числа 5, и числа 10, являются числа: 10, 20, 30 и т.д.

3. Используя цифры 0, 2, 3 и 4, составьте наименьшее и наибольшее четырёхзначные числа, кратные 5. Можно ли утверждать, что полученные числа кратны 15?

4. В парке посадили каштаны и дубы, причём на каждый каштан приходилось три дуба. Сколько всего деревьев посадили в парке, если дубов посадили 24?

1) 24 : 3 = 8 (шт) — каштанов посадили в парке.

2) 24 + 8 = 32 (шт) — деревьев посадили в парке.

Упражнения

163. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

164. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

165. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

2) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

166. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел а и b:

1) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

2) и

НОД (a, b) =

НОК (a, b) =

167. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

168. Найдите наименьшее общее кратное чисел:

169. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) и

Знаменатель первой дроби равен 12, а второй — 15. Значит надо найти НОК (12, 15):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 60.

2) и

Знаменатель первой дроби равен 100, а второй — 125. Значит надо найти НОК (100, 125):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 600.

170. Найдите наименьшее общее кратное знаменателей дробей:

1) и

Знаменатель первой дроби равен 9, а второй — 6. Значит надо найти НОК (9, 6):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 18.

2) и

Знаменатель первой дроби равен 20, а второй — 25. Значит надо найти НОК (20, 25):

Ответ: Наименьшее общее кратное знаменателей дробей равно 100.

171. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти натуральных чисел

Первые пять натуральных чисел — это 1, 2, 3, 4, 5. Разложим их на простые множители:

НОК (1, 2, 3, 4, 5) = 2² • 3 • 5 = 4 • 15 = 60

2) первых пяти нечётных чисел

Первые пять нечётных чисел — это 1, 3, 5, 7, 9. Разложим их на простые множители:

НОК (1, 3, 5, 7, 9) = 3² • 5 • 7 = 9 • 35 = 315

3) первых пяти простых чисел

Первые пять простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11. Мы знаем, что единственным простым множителем простого числа является само это число. Значит:

НОК (2, 3, 5, 7, 11) = 2 • 3 • 5 • 7 • 11= 2 310

172. Найдите наименьшее общее кратное:

1) первых пяти чётных чисел

Первые пять чётных чисел — это 2, 4, 6, 8, 10. Разложим их на простые множители:

НОК (2, 4, 6, 8, 10) = 2³ • 3 • 5 = 8 • 15 = 120

2) первых четырёх составных чисел

Первые четыре составные числа — это 4, 6, 8, 9. Разложим их на простые множители:

НОК (4, 6, 8, 9) = 2³ • 3² = 8 • 9 = 72

173. Длина шага Чебурашки равна 15 см, а крокодила Гены — 50 см. Какое наименьшее одинаковое расстояние должен пройти каждый из них, чтобы они оба сделали по целому числу шагов?

Для того, чтобы найти нужное расстояние, надо найти число, которое делится и на 15, и на 50 — НОК (15, 50). Разложим эти числа на простые множители:

НОК (15, 50) = 2 • 3 • 5² = 6 •25 = 150.

Значит Чебурашке и крокодилу Гене надо пройти 150 см.

174. С одного места в одном направлении но велотреку одновременно стартовали два велосипедиста. Один из них делает круг за 1 мин, а другой — за 45 с. Через какое наименьшее количество минут после начала движения они вновь окажутся н месте старта? Сколько кругов по велотреку при этом сделает каждый из них?

1 минута = 60 секунд

Значит они вновь окажутся вместе через 180 секунд.

Найдём, сколько кругов по велотреку сделает каждый из велосипедистов:

Ответ: они встретятся через 180 секунд, первый велосипедист сделает 3 круга, а второй — 4 круга.

175. Дима п Петя отправились в поход из одного пункта в одном направлении. Петя делал остановку для отдыха через каждые 2 400 м, а Дима — через каждые 2 800 м. На каком наименьшем расстоянии от пункта отправления места их остановок совпадут?

Значит места их остановок совпадут через 16 800 м от пункта отправления.

Ответ: через 16 800 м.

176. В ящике лежит меньше 80 мандаринов. Известно, что их можно разделить поровну менаду двумя, тремя или пятью детьми, но нельзя разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько мандаринов лежит в ящике?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 5.

Мы знаем, что все эти числа простые. Значит:

НОК (2, 3, 5) = 2 • 3 • 5 = 6 • 5 = 30.

3) Так как кратными числам 2, 3 и 5 будут все числа, кратные 30, то в ящике могло бы также лежать и 60 мандаринов (60

Значит у данной задачи может быть единственный ответ: в ящике лежит 30 мандаринов.

Ответ: 30 мандаринов.

177. Саша ходит в бассейн один раз в три дня. Коля — раз в четыре дня, Петя — раз в пять дней. Мальчики встретились в бассейне во вторник. Через сколько дней и в какой день недели они встретятся в следующий раз?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 3, 4 и 5, а для этого разложим их на простые множители:

НОК (2, 4, 5) = 3 • 2² • 5= 15 • 4 = 60.

2) Каждая неделя содержит в себе 7 дней. Найдём, сколько целых недель и ещё дней пройдёт до новой встречи мальчиков:

Значит до новой встречи пройдёт ровно 8 недель и ещё 4 дня.

3) Ровно 7 недель после вторника закончатся в понедельник, а ещё 4 дня — это:

Значит новая встреча мальчиков произойдёт в пятницу.

Ответ: мальчики встретятся через 60 дней, встреча произойдёт в пятницу.

178. Готовя подарки к Новому году, члены родительского комитета 6 класса увидели, что имеющиеся конфеты можно разложить поровну по 15 штук или по 20 штук в один подарок. Сколько было конфет, если известно, что их было больше 600 и меньше 700?

1) Найдём наименьшее общее кратное для чисел 15 и 20.

Значит минимально возможное количество конфет — 60 шт.

2) Мы знаем, что конфет было больше 600 и меньше 700. Число 60 не входит в этот диапазон. Значит надо найти число, которое будет кратно 60 и будет удовлетворять данному условию. Перечислим числа, кратные 60:

Из всех чисел только одно число больше 600 и меньше 700. Это число 660.

Ответ: было 660 конфет.

Упражнения для повторения

179. Если к данному числу прибавить 2, то полученное число будет кратно 5. Чему равен остаток от деления данного числа на 5?

Для того, чтобы число было кратно 5, надо чтобы оно оканчивалось на цифру 0 или на цифру 5.

Значит данное число должно оканчиваться либо на 3, либо на 8. Например:

Если число данное число оканчивается на 3, то при делении его на 5 остаток будет равен 3. Например:

Если число оканчивается на 8, то при делении его на 5 остаток также будет равен 3:

Значит, какое бы заданное число, удовлетворяющее условию, мы не делили на 5, в остатке всегда будет получиться число 3.

180. Белый аист пролетел 48 км со скоростью 40 км/ч. Сколько взмахов крыльями сделал при этом аист, если каждую секунду он делает два взмаха?

1) 48 : 40 = 1,2 (часа) — потребуется аисту для того, чтобы пролететь 48 км.

1,2 часа = 1,2 • 3 600 = 4 320 секунды.

3) 4 320 • 2 = 8 640 (шт) — взмахов сделает аист за это время.

Ответ: 8 640 взмахов.

181. Для производства 1 т бумаги необходимо использовать 6,3 м³ древесины или 1 400 кг макулатуры. Учащиеся одной школы собрали 2 100 кг макулатуры. Сколько кубических метров древесины можно сэкономить, использовав для производства бумаги собранную школьниками макулатуру?

1) 2 100 : 1 400 = 1,5 (раза) — собрали макулатуры больше, чем требуется на 1 тонну бумаги.

2) 6,3 • 1,5 = 9,45 (м³) — древесины потребовалось бы для производства такого юе количества бумаги, как из собранной макулатуры.

3) 9,45 — 6,3 = 3,15 (м³) — можно сэкономить.

Ответ: можно сэкономить 3,15 м³ древесины.

182. Останкинская телебашня в Москве является самой высокой в Европе отдельно стоящей конструкцией. Высота Эйфелевой башни (г. Париж, Франция) вместе с антенной равна 324 м, что составляет высоты Останкинской телебашни. Останкинская телебашня состоит из железобетонной основы и металлической части, которая короче железобетонной основы на 230 м. Какова высота железобетонной основы?

1) 324 : 3 • 5 = 108 • 5 = 540 (м) — высота Останкинской телебашни в Москве.

2) Пусть х метром составляет железобетонная основа Останкинской башни. Тогда (х — 230) м — составляет металлическая конструкция. Составим уравнение:

х + (х — 230) = 540
2х — 230 = 540
2х = 770
х = 770 : 2
х = 385 (м) — составляет железобетонная основа Останкинской башни.

Готовимся к изучению новой темы

183. 1) В коробке лежит 14 шаров, из которых 5 — синего цвета. Какую

часть всех шаров составляют синие?

часть всех шаров составляют синие шары.

Ответ: часть.

2) В коробке лежит 14 шаров, из которых составляют шары красного цвета. Сколько красных шаров в коробке?

1) 14 : 7 • 3 = 2 • 3 = 6 (шт) — красные шары в коробке.

3) В коробке лежат шары, 6 из которых белого цвета. Сколько всего шаров в коробке, если белые составляют всех шаров?

1) 6 : 3 • 7 = 2 • 7 = 14 (шт) — всего шаров в коробке.

184. Укажите, какие из дробей :

1) правильные

Правильные дроби — это дроби, у которых числитель меньше знаменателя:

2) неправильные

Неправильные дроби — это дроби, у которых числитель больше или равен знаменателю.

Неправильные дроби преобразуйте в смешанные числа.

, так как 12 : 7 = 1 (ост. 5);

, так как 15 : 13 = 1 (ост. 2);

, так как 374 : 10 = 37 (ост. 4);

, так как 53 : 8 = 6 (ост. 5);

, так как 72 : 71 = 1 (ост. 1).

185. Начертите координатный луч, взяв за единичный такой отрезок, длина которого в 6 раз больше стороны клетки тетради. Отметьте на луче точки, соответствующие числам:

Задача от мудрой совы

186. На чудо-дереве садовник вырастил 85 бананов и 70 апельсинов. Каждый день он срывает два плода, и сразу на дереве вырастает один новый. Если садовник срывает два одинаковых фрукта, то вырастает апельсин, а если два разных — то банан. Каким окажется последний фрукт на этом дереве?

Мы знаем, что изначально было нечётное количество бананов и чётное количество апельсинов. Рассмотрим разные варианты развития событий:

Мы видим, что сколько бы фруктов не срывал садовник, бананов всегда остаётся нечётное число. Это значит, что последним фруктом (остался только 1) на дереве может быть только банан.

Источник