Что значит найти значение алгебраической дроби

Алгебраические дроби

теория по математике 📈 алгебраические выражения

Любая обыкновенная дробь называется алгебраической дробью, так как она представляет собой деление, записанное с помощью дробной черты. В алгебраической дроби могут встречаться не только числа, но и буквенные выражения.

Примеры алгебраических дробей:

Для алгебраических дробей применяются правила, аналогичные обыкновенным дробям.

Сокращение алгебраической дроби

Сократить алгебраическую дробь – это значит разделить числитель и знаменатель на одно и то же выражение, на их общий множитель (одночлен, его степень или многочлен) – применяется основное свойство дроби. Причем и числитель, и знаменатель должны содержать множители.

Пример №1. Сократим дробь:

В числителе и знаменателе дроби мы видим переменную b, на которую и разделим каждую часть дроби:

Промежуточные действия можно не записывать, а выполнять устно.

Пример №2. Сократим дробь:

Здесь содержатся степени с одинаковым основанием, поэтому, необходимо помнить еще и правило деления степеней с одинаковым основанием (основание остается прежним, а показатели степеней вычитаем). Сократим дробь на меньшую степень – на m 5 :

Пример №3. Сократим дробь:

В каждой части дроби содержатся разные многочлены, поэтому сократить пока дробь мы не можем, так как нет множителей. Значит, по возможности, мы должны найти выражение, которое можно разложить на множители, это знаменатель, так как можем вынести за скобки общий множитель х(х – у). Только потом мы можем сократить дробь на одно и то же выражение – многочлен (х – у).

Пример №4. Сократим дробь:

Здесь мы видим, что в числителе многочлен, а в знаменателе произведение одночленов и многочлена, причем многочлены различны. Значит, надо сделать так, чтобы числитель и знаменатель содержали одинаковые множители. Числитель можно разложить на множители по формуле разности квадратов, то есть m 2 – n 2 =(m–n)(m+n), затем сократить дробь на одно и то же выражение (m–n).

Сложение и вычитание алгебраических дробей с одинаковым знаменателем

При сложении и вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями знаменатель остается прежним, а числители складывают или вычитают (из числителя первой вычитают числитель второй дроби).

Пример №5. Выполним сложение дробей:

Здесь одинаковые знаменатели, поэтому записываем его, а числители складываем: при сложении видим подобные слагаемые, которые приводим и получаем в числителе 5х.

Пример №6. Выполним вычитание дробей:

В знаменатель записываем 2х, а из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, при этом не забываем вычитаемое взять в скобки, если оно является многочленом. Затем раскрываем скобки, помня о том, что необходимо поменять знаки на противоположные, так как перед ними стоит знак «минус». Затем приводим подобные слагаемые и получаем новый числитель.

Сложение и вычитание алгебраических дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо:

Пример №7. Выполнить сложение дробей:

Чтобы найти общий знаменатель, надо найти для чисел 5 и 10 наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится и на 5, и на 10), это число 10. В первом знаменателе есть еще множитель – переменная у, поэтому также берем у для общего знаменателя. Таким образом, у нас есть два множителя 10 и у, это и есть наш общий знаменатель.

Теперь находим дополнительный множитель к каждой дроби. Для этого общий знаменатель 10у делим на первый знаменатель 5у, получим 2, значит, умножаем на 2 первый числитель 2х. Для второй дроби 10у делим на 10, получаем у, умножаем на него числитель второй дроби – с. Получаем в числителе 4х+су.

Пример №8. Выполнить вычитание дробей:

Здесь знаменатели дробей различные многочлены, поэтому надо рассмотреть каждый. Первый знаменатель – это формула сокращенного умножения, по ней можно разложить на множители данный многочлен а 2 – с 2 =(а–с)(а+с). Второй знаменатель представляет собой простой многочлен, который нельзя разложить на множители. Составим новый знаменатель, состоящий из разных выражений – это (а–с)(а+с).

Находим дополнительные множители: к первой дроби дополнительного множителя нет, так как новый общий знаменатель – это полностью знаменатель первой дроби. А ко второй дроби это будет выражение (а – с). Поэтому умножаем числитель 2 на (а – с).

Приводим подобные слагаемые, а полученную дробь сокращаем на выражение (а+с).

Умножение алгебраических дробей

Чтобы перемножить алгебраические дроби, надо числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. При необходимости выполнить сокращение алгебраической дроби, используя правило.

Пример №9. Выполнить умножение дробей:

Здесь перемножаем числители и знаменатели, полученную дробь сокращаем на 2с.

Пример №10. Выполнить умножение дробей:

Здесь в числителях и знаменателях — многочлены. Поэтому при записи умножения обязательно заключаем их в скобки. При этом мы видим, что числитель и знаменатель содержат одинаковые множители – многочлены (х+2), поэтому можно сократить дробь на этот многочлен.

Деление алгебраических дробей

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, надо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (то есть умножить на дробь, у которой числитель равен знаменателю второй дроби, а знаменатель числителю второй дроби). Далее – выполнить умножение дробей по уже известному алгоритму.

Пример №11. Выполнить деление дробей:

Здесь выполним деление по алгоритму: перейдем от деления к умножению на дробь, обратную делителю. Сократим полученную дробь на выражение (a+b) и на 2.

Найдите значение выражения:

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b): Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений): Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат: Ответ: 39

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения при x = 12:

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю — это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

Приведем подобные слагаемые — это 9b² и — 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Найдите значение выражения:

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель — это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y — и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y — (3 x + 5 y) = 5 y — 3 x — 5 y = — 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: — 1/5 y

Подставим значение y = 0,5: — 1 / (5 • 0,5) = — 1 / 2,5 = — 0,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Понятие алгебраической дроби. Основное свойство

Определение алгебраической дроби

Чтобы дать определение алгебраической дроби, необходимо повторить, что такое алгебраическое выражение (см. §1 справочника для 7 класса) и многочлен (см. §14 справочника для 7 класса).

Алгебраическая дробь – это алгебраическое выражение, числитель и знаменатель которого являются многочленами (при условии, что знаменатель не равен нулю).

Алгебраическая дробь, как и другие алгебраические выражения, может быть рациональной или иррациональной. Напомним, что в иррациональных выражениях извлекаются корня из переменных (или переменные возводятся в степень с дробным показателем). В рациональных выражениях корни и дробные степени или вообще не извлекаются или извлекаются только из чисел.

Алгебраические (рациональные) дроби

Алгебраическая дробь существует при условии, что её знаменатель не равен 0. Поэтому, если в знаменателе есть переменные («буквы»), всегда говорят о допустимых значениях этих переменных.

Основное свойство алгебраической дроби

При умножении или делении числителя и знаменателя алгебраической дроби на одно и то же алгебраическое выражение (отличное от нуля) получается равная ей дробь:

Это свойство аналогично основному свойству обычной числовой дроби: мы можем одновременно умножать или делить числитель и знаменатель на любое выражение, сокращать на общий множитель, если он существует. Например:

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Основное свойство алгебраических дробей позволяет приводить их к общему знаменателю и упрощать сложные выражения:

Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю

Шаг 2. Дополнительные множители

Перемена знака у члена дроби

Из основного свойства дроби следует, что одновременное умножение числителя и знаменателя на (-1) не изменит дробь:

Дробь также не изменится, если провести следующие перемены знаков:

Ещё несколько полезных формул, связанных с переменой знаков:

Примеры

Пример 1. Найдите допустимые значения переменных, входящих в дробь:

$ a^2-4 \neq 0 \iff (a-2)(a+2) \neq 0 \iff a \neq \pm 2$

$ 3x-1 \neq 0 \iff x \neq \frac<1><3>$

$$ x- \frac<4> \neq 0 \iff \frac \neq 0 \iff <\left\< \begin x^2-4 \neq 0 \\ x \neq 0 \end \right.> \iff x \neq <0; \pm2>$$

$ y^2-3|y| \neq 0 \iff |y|(|y|-3) \neq 0 \iff <\left\< \begin |y| \neq 0 \\ |y| \neq 3 \end \right.> \iff y \neq <0; \pm3>$

Пример 2. Сократите дроби:

Пример 3. Упростите выражение:

Пример 4. Постройте график функции:

(О графике линейной функции – см. §38 справочника для 7 класса)

Источник

Что значит найти значение алгебраической дроби

Письмо с инструкцией по восстановлению пароля
будет отправлено на вашу почту

Алгебраической дробью называют выражение

где Р и Q —многочлены; Р — числитель алгебраической дроби, Q — знаменатель алгебраической дроби.

Вот примеры алгебраических дробей:

Любой многочлен – это частный случай алгебраической дроби, потому что любой многочлен можно записать в виде

Значение алгебраической дроби зависит от значения переменных.

Например, вычислим значение дроби

1)

2)

В первом случае получаем:

Заметим, данную дробь можно сократить:

Таким образом, вычисление значения алгебраической дроби упрощается. Воспользуемся этим.

Во втором случае получим:

Как видно, с изменением значений переменных изменилось значение алгебраической дроби.

Рассмотрим алгебраическую дробь

Значение x = –1 является недопустимым для данной дроби, т.к. знаменатель дроби при таком значении х обращается в нуль. При этом значении переменной алгебраическая дробь не имеет смысла.

Таким образом, допустимыми значениями переменных алгебраической дроби являются такие значения переменных, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.

Решим несколько примеров.

При каких значениях переменной не имеет смысла алгебраическая дробь:

Для нахождения недопустимых значений переменных знаменатель дроби приравнивается к нулю, и находятся корни соответствующего уравнения.

При каких значениях переменной равна нулю алгебраическая дробь:

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю. Приравняем к нулю числитель нашей дроби и найдем корни получившегося уравнения:

Далее следует найти недопустимые значения переменной х. Действуем как в предыдущем примере, приравниваем к нулю знаменатель алгебраической дроби и решаем получившееся уравнение:

Таким образом, при x = 0 и x= 3 данная алгебраическая дробь не имеет смысла, а значит, мы должны исключить эти значения переменной из ответа.

Итак, на этом уроке Вы изучили основные понятия алгебраической дроби: числитель и знаменатель дроби, а также допустимые значения переменных алгебраической дроби.

Источник

Действия с алгебраическими дробями

После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.

Сложение алгебраических дробей

Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.

Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что

Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.

Решение

Выполним сложение и получим, что

Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.

Вычитание

Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.

Решение

Ответ: 2

Решение

Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Деление

Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.

Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.

Решение

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.

Источник

Алгебраические дроби в математике с примерами решения и образцами выполнения

Определение и основное свойство дроби:

Определение:

Частное (отношение) двух алгебраических выражений, записанное при помощи черты деления, называется алгебраической дробью. Например, выражения

суть алгебраические дроби. При этом делимое называется числителем, а делитель — знаменателем. Например, алгебраическая дробь

имеет числителем число а знаменателем число

Основное свойство алгебраической дроби. Величина алгебраической дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить (или разделить) на одно и то же число, не равное нулю. Это свойство следует из того, что частное не меняется при умножении (или делении) делимого и делителя на одно и то же число, не равное нулю.

Основное свойство дроби записывается в виде формул:

Несократимые и сократимые дроби

суть несократимые дроби.

Если же наибольший общий делитель числителя и знаменателя отличен от единицы, то дробь называется сократимой. Например:

суть сократимые дроби.

Если числитель или знаменатель дроби отдельно или одновременно являются многочленами, то для решения вопроса о сократимости или несократимости этой дроби необходимо эти многочлены предварительно разложить на целые неприводимые множители, если это возможно. Например, дробь сократима, так как после разложения числителя и знаменателя на множители она принимает вид

Примеры сокращения дробей:

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель этой дроби на какой-нибудь их общий множитель.

Полученная после этого новая дробь будет тождественно равна первоначальной дроби. Например,

(Здесь дробь сокращена только на общий множитель b.)

(Здесь дробь сокращена только на За.)

Примечание:

Выражение по форме дробное, но по существу целое, так как оно тождественно равно выражению 5аb. Однако между выражениями и 5ab имеется еще и другое различие, а именно выражение при а = 0 смысла не имеет, тогда как выражение 5ab при а = 0 имеет смысл, так как принимает определенное значение нуль.

Перемена знаков у членов дроби

Если числитель и знаменатель дроби заменить величинами, им противоположными, то значение дроби не изменится, так как эта операция равносильна умножению числителя и знаменателя на одно и то же число —1. Например,

Если числитель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Если знаменатель дроби заменить величиной, ему противоположной, и при этом переменить знак, стоящий перед дробью, на противоположный, то получится выражение, равное первоначальному.

Примечание. Так как а — b и b — а являются величинами противоположными, то всегда представляет собой минус единицу, если только

Наименьшее общее кратное

Из арифметики известно, что наименьшим общим кратным произведений

По аналогии с этим наименьшим общим кратным произведений

Наименьшим общим кратным произведений

Наименьшим общим кратным произведений

Чтобы составить наименьшее общее кратное нескольких многочленов, следует сначала эти многочлены разложить на неприводимые множители.

Примеры:

1. Найти наименьшее общее кратное многочленов

Искомым наименьшим кратным будет

2. Найти наименьшее общее кратное многочленов

Искомым наименьшим кратным будет

Сложение и вычитание дробей

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с. одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, оставив знаменатель без изменения.

Примеры:

Сложение дробей с одночленными знаменателями

Правило. Чтобы сложить дроби с различными одночленными знаменателями, надо:

Примеры:

Рассмотрим еще такой пример:

Здесь общий знаменатель

Дополнительный множитель для

Сложение дробей, среди знаменателей которых встречаются многочлены

Чтобы сложить дроби, среди знаменателей которых встречаются многочлены, сначала эти многочлены следует разложить на неприводимые множители. Далее надо поступать, как и при сложении дробей с одночленными знаменателями.

Примеры:

Найти сумму трех дробей:

где а и b и с различные числа, отличные от нуля. Искомую сумму найдем двумя способами.

1-й способ. Общим знаменателем всех трех дробей будет произведение

Множитель (b—а) не следует включать в общий знаменатель, так как его абсолютная величина такая же, как и абсолютная величина множителя (а — b). По такой же причине не включается и множитель (с — b).

Дополнительными множителями будут:

для первой дроби
для второй так как

для третьей так как

Преобразуем числитель последней дроби:

Таким образом, сумма данных трех дробей будет равна

или так как

2-й способ. Найдем сперва сумму первых двух дробей:

Преобразуем числитель этой дроби:

Теперь искомая сумма трех заданных дробей будет:

Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Правило. Чтобы вычесть из одной дроби другую с тем же знаменателем, надо вычесть числитель второй дроби из числителя первой и подписать общий знаменатель.

Например:

Вычитание дробей в более сложных случаях выполняется аналогично тому, как и сложение.

Пример:

Преобразуем числитель полученной дроби:

Таким образом, алгебраическая сумма данных четырех дробей будет равна дроби

которая после сокращения примет вид

Умножение дробей

Чтобы перемножить дроби, надо произведение их числителей разделить на произведение знаменателей.

Например:

Если среди числителей и знаменателей дробей имеются многочлены, то эти многочлены целесообразно разложить на множители и лишь после этого совершать операцию умножения дробей.

Например:

Само собой разумеется, что при умножении дроби на дробь разлагать многочлены не требуется, так как они сокращаются непосредственно.

Взаимно обратные выражения

Определение. Два алгебраических выражения называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Например, выражения а и взаимнообратны. Также взаимно обратны выражения 2ах и

Если данное выражение то ему обратным будет (а + b).

Если данное выражение — a, то ему обратным будет

Если данное выражение то обратным будет

Если данноe число 1, то ему обратным будет тоже 1.

Нуль обратного себе числа не имеет.

Деление дробей

Чтобы разделить одну дробь на другую или одно выражение на другое, достаточно первую дробь или первое выражение умножить на величину, обратную второй дроби или второму выражению.

Таким образом, деление дробей или алгебраических выражений сводится к умножению.

Упрощение дроби, числитель и знаменатель которой являются алгебраическими суммами дробей

Пример:

Чтобы упростить лучшим способом дробь

умножим ее числитель и знаменатель на ху. В результате получим Выражение ху есть наименьшее кратное знаменателей всех дробей, находящихся в числителе и знаменателе.

Чтобы упростить дробь

умножим ее числитель и знаменатель на выражение

В результате получим:

т. е. или — а. Очевидно, что

Общее преобразование рациональных выражений

Сколь бы сложным ни было даyное выражение, если оно рационально, т. е. содержит лишь действия сложения, вычитания, умножения и деления, то его всегда можно преобразовать так, что в результате получится либо целое выражение, либо несократимая дробь, числитель и знаменатель которой суть целые выражения. Например, выражение

тождественно равно выражению

тождественно равно выражению

тождественно равно выражению

Во втором примере в результате преобразования получилось целое выражение, а в двух остальных — несократимые дроби

В качестве примера на применение общих преобразований рациональных выражений покажем, что из равенства

если а, b, c не равны между собой и отличны от нуля, вытекает равенство

Решение:

Из данного равенства следует:

или после раскрытия скобок и переноса всех членов в левую часть:

что и требовалось доказать.

Выделение целой части неправильной рациональной дроби

Выражение

называется рациональной дробью.

Если , то эта дробь называется неправильной; в противном случае, т. е. когда , она называется правильной.

Например, рациональные дроби

Выделение целой части

Пусть требуется выделить целую часть неправильной рациональной дроби, например дроби

Разделим многочлен на многочлен

Получили частное и остаток

Делимое равно делителю, умноженному на частное плюс остаток. Поэтому

Разделив левую и правую части этого тождества на получим

Выражение называется целой частью дроби выражение же есть правильная дробь.

Таким образом, неправильная рациональная дробь

оказалась представленной в виде суммы многочлена и правильной дроби .

Изложенное преобразование применимо ко всякой неправильной рациональной дроби.

В курсе высшей математики встречаются задачи, для решения которых необходима операция выделения целой части неправильной рациональной дроби.

Примеры:

1. Выделить целую часть неправильной рациональной дроби

т. е. представить эту дробь в виде алгебраической суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби.

Отв.

2. Выделить целую часть дроби

3. Выделить целую часть дроби

Отв.

О символах и

1. О символе

Символ по своей форме напоминает степень. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова, т. е. как произведение, составленное из одинаковых множителей, невозможно. Бессмысленно сказать, что число а умножается само на себя нуль раз. С этой точки зрения выражение ие имеет смысла. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда их показатели одинаковые, то нам достаточно принять по условию символ , где , равным единице.

Итак, примем по определению, что , если только .
Тогда

Выражение же остается лишенным смысла. Теперь мы можем писать

где . И эта запись будет вполне оправдана. В самом деле, левая часть есть единица, так как делимое и делитель равны между собой и отличны от нуля. Правая часть согласно принятому определению также есть единица.

2. О символе

Символ также имеет форму степени. Однако истолковать его как степень в первоначальном понимании этого слова невозможно. Бессмысленно говорить, что число а умножается само на себя отрицательное число раз. Но если мы хотим расширить правило деления степеней и на тот случай, когда показатель степени делимого меньше показателя степени делителя, достаточно принять , где , равным

Итак, примем по определению, что , где .

Теперь мы можем писать

где .

И эта запись будет вполне оправданной. В самом деле, левая часть есть , т. е. правая же, по принятому нами определению, также есть .

3. Действия над символами и

Хотя символы и не являются степенями в первоначальном смысле этого слова, однако оказывается, что над ними можно производить действия по тем же самым правилам, которые были установлены для степеней с натуральными показателями. В самом деле, докажем, например, что равенство

что и требовалось доказать.

Также легко убедиться в справедливости и такого равенства

Все это позволяет нам символы и называть степенями.

Символ называется степенью с нулевым показателем, символ — степенью с отрицательным показателем.

Теперь мы можем равенство

где , считать справедливым при любых целых значениях букв тип.

Примеры:

Алгебраические дроби и их решение

Если алгебраическое выражение, составленное из букв и чисел, содержит, кроме трех первых действий— сложения, вычитания и умножения, — также еще и деле­ние (на буквенное выражение), то такое выражение называют дробным. Примером могут служить выражения: , , , , , .

Если последнее действие, указываемое выражением, есть деление, то такое выражение называется просто «дробью (алгебраической дробью). При этом, если, кроме этого последнего действия, делений больше производить не нужно, дробь называется простой, в противном случае — сложной. Так, среди преды­дущих примеров только последний нельзя назвать дробью (это сумма двух дробей); предпоследний есть сложная дробь, четыре предыдущих — простые дроби.

К сложным дробям мы обратимся несколько позднее; сначала же будем заниматься только простыми.

Простая алгебраическая дробь есть отношение двух целых алгебраических выражений, являющихся числи­телем и знаменателем дроби.

Мы знаем, что существует число, которое ни в коем случае не может быть знаменателем дроби: это — нуль; поэтому, если знаменатель про­ стой алгебраической дроби оказывается тождественное равным нулю, то сама дробь не имеет смысла ни при каких значениях входящих букв. Примером служит дробь
. Очень часто встречается другой случай, когда знаменатель дроби тождественно не равен нулю, однако обращается в нуль при некоторых значениях входя­щих букв. При этих значениях букв дробь «теряет смысл» — не имеет никакого числового значения. По­ этому, написав дробь, всегда подразумевают, что числовые значения, придаваемые входящим буквам, таковы, что не обращают знаменатель в нуль.

Иногда это отмечают и в явной форме: например, .

В дальнейшем, говоря о данной дроби, мы всегда будем подразумевать, что буквам даются лишь такие значения, которые не обращают знаменатель в нуль. Что касается числителя дроби, то исключать из рассмотрения те случаи, когда он обращается в нуль, излишне. Напомним, что если числитель дроби равен нулю, то и сама дробь равна нулю. Обратно, если дробь равна нулю, то непременно числитель равен нулю. Итак, простая алгебраическая дробь обращается в нуль при тех и только при тех значениях входящих букв, при которых ее числитель обращается в нуль.

Из арифметики отлично известно основное свойство дроби (частного); дробь (частное) не изменяется, если числитель (делимое) и знаменатель (де­литель) умножить или разделить на одно и то же число . Например, дробь не изменяется, если ее числитель и знаменатель умножить или разделить на : .

Число может также быть дробным: если, допустим, равно ,то умножить на — значит сначала умножить на и затем разделить на . Оно может быть и отрицательным: при умножении числителя и зна­менателя на отрицательное число знаки числителя и знаменателя меняются, а знак дроби остается неиз­менным. Оно не может быть только равным нулю: понятно — почему.

В виде формулы основное свойство дроби записы­вается следующим образом: (1).

Основное свойство дроби можно выразить следую­щими словами; если некоторое выражение входит множителем в числитель и в знаменатель алгебраи­ческой дроби, то при условии, что оно не равно нулю, можно на него «сократить» данную дробь: значение дроби при этом не меняется. И, напротив, можно умножить числитель и знаменатель алгебраической дроби на произвольное выражение при условии, что оно не обращается в нуль.

Примечание:

Равенство (1), выражающее основное свойство дроби, считается тождеством, несмотря на то, что его левая часть теряет смысл при , и на то, что обе его части теряют смысл при .

Вообще за равенством двух алгебраических выражений при­нято сохранять наименование тождества и в том случае, если одно из этих выражений или оба теряют смысл при некото­рых исключительных значениях входящих букв. Такое расширен­ное понимание тождества, между прочим, позволяет относить сокращение дроби на буквенное выражение к числу тождествен­ных преобразований.

Руководствуясь основным свойством дроби, можно сокращать алгебраическую дробь (как и арифметиче­скую) на буквенные или числовые множители, входя­щие одновременно в ее числитель и в ее знаменатель.

Если таких множителей нет, дробь называют несократимой.

Например, дробь можно сократить на : .

Левая и правая часть равенства тождественно равны (хотя левая теряет смысл при , и обе — при ).

Мы переходим дальше к изучению действий над алгебраическими дробями — сложения, вычитания, умножения и деления. Выполнить одно из этих действий над данными простыми дробями — значит не только соединить эти дроби соответственным знаком, но также и произвести над полученным выражением тождественные преобразования, целью которых являет­ся представить это выражение в виде простой дроби (или целого выражения). Производя действия над дробями, стараются вместе с тем сокра­щать дробь на общие множители числителя и знаме­нателя.

При изучении действий над дробями мы начнем с более легких — умножения и деления, а затем перейдем к более трудным — сложению и вычита­нию. Те случаи, когда какие-нибудь из данных выраже­ний оказываются целыми, мы не будем рассматривать отдельно, так как всякое целое выражение можно представить в виде дробного, именно, подписывая под ним в качестве знаменателя единицу.

Умножение и деление дробей

Правило умножения арифметических дробей выражается формулой: (*) и словами может быть прочитано следующим образом: произведение двух дробей равно дроби, у которой числи­тель равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей.

Написанная выше формула справедлива не только в том случае, если входящие буквы имеют целые положительные значения, но и в том случае, если эти зна­чения — дробные; она справедлива также и в том слу­чае, если некоторые из входящих букв имеют отрица­тельные значения. Значение нуль, конечно, исключено для знаменателей, но не исключено для числителей.

Но раз равенство (*) имеет место при всех значе­ниях входящих букв (кроме тех исключительных, при которых знаменатели дробей обращаются в нуль), то оно является тождеством.

Таким образом, правило умножения алгебраических дробей выражается той же формулой и формулируется теми же словами, что и правило умножения арифме­тических дробей.

В алгебре вместо того, чтобы вычесть некоторое число, можно прибавить число, противоположное по знаку: .

Таким же образом вместо того, чтобы разделить на некоторое число (не равное нулю), достаточно умножить на величину, обратную этому числу: .

Действительно, следуя правилу умножения, мы по­лучаем: .

Так как величина, обратная дроби есть дробь , то правило деления дроби на дробь (подобное арифметическому) дается формулой: (2).

Чтобы разделить на дробь, достаточно умножить на величину, ей обратную («разделить на числитель и умножить на знаменатель).

Сложение и вычитание дробей

Сложить две алгебраические дроби означает — пред­ставить их сумму в виде одной алгебраической дроби; то же — для вычитания.

Если данные дроби имеют один и тот же знамена­тель, то, чтобы сложить их — в алгебре, как и в ариф­метике, — достаточно составить дробь с тем же зна­менателем и с числителем, равным сумме числителей: .

Это — распределительный закон деления, справед­ливый при любом , не равном нулю.

Желая сложить две дроби и , мы всегда можем умножить числитель и знаменатель первой дроби на , а числитель и знаменатель второй — на . и тогда получим: , дальше достаточно сложить числители: . Итак, мы получаем тождество: (3).

Подобным же образом, ссылаясь на распреде­лительный закон деления и на основное свойство дроби, выведите общую формулу вычитания дробей: (4).

При действиях с дробями часто приходится пользо­ваться важным частным случаем основного свойства дроби (*) именно, тем случаем, когда равно . В этом слу­чае мы получаем: .

Таким образом, значение дроби не меняется при одновременном изменении знаков числителя и знаме­нателя.

Так как , то можно заключить: при изменении знака только числителя или только знаменателя знак дроби ме­няется.

Отсюда следует: если мы меняем знак знаменате­ля, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изменить знак, или числителя или самой дроби; если мы меняем знак числителя, то, чтобы значение дроби не изменилось, достаточно еще изме­нить знак или знаменателя или самой дроби. Например,.

Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)

В арифметике указывается правило для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК) нескольких целых чисел.

Пусть даны числа , и . Разложим их на простые множители: , , .

Составим новое число из данных чисел следующим образом: возьмем каждый встречающийся множитель в наименьшей из степеней, в которых он встре­чается, и затем перемножим: .

Полученное число есть НОД данных чисел: ча­стные от деления этих чисел на уже не имеют общих делителей, отличных от .

Составим другое число из данных чисел, отбирая каждый встречающийся множитель в наибольшей из степеней, в которых он встречается, и перемножая: . Полученное число есть НОК данных чисел; частные от деления числа на эти числа уже не имеют общих делителей, отличных от .

Таким же образом можно составлять НОД и НОК алгебраических одночленных выражений с целыми коэффициентами, обращаясь при этом с буквами как с це­лыми числами (хотя буквы могут иметь какие угодно, в том числе и дробные, значения). Так, если даны выражения , и , то их наибольший общий делитель равен , а их наи­меньшее общее кратное равно . После деления данных выражений на их НОД получаются частные , , , уже не имеющие общих множителей. После деления НОК на данные числа получаются частные , и , также не имеющие общих множителей.

Наибольший общий делитель двух чисел может быть полезен в арифметике при сокращении дробей: найдя НОД числителя и знаменателя и сократив на него, мы сразу получаем несократимую дробь. При этом нахож­дение НОД стоит некоторого труда, так как не всегда очевидно с первого взгляда, каковы простые множите­ ли данного числа и в каких степенях они входят.

В алгебре же такого рода применение НОД излишне, так как буквенные множители выписываются явно.

Если, например, дана дробь то НОД числителя и знаменателя равен ; сокращая на него, получим . Но и без наибольшего общего делителя можно сократить сначала, например, на , потом на .

Зато в алгебре НОД приносит больше пользы при вынесении за скобку общих множителей много­ членных выражений. Пусть дано выражение .

Мы видим сразу, что НОД всех членов равен , и, вынося его за скобку, получаем: .

Что касается наименьшего общего кратного, то мы увидим дальше, что в алгебре, как и в арифме­тике, оно позволяет значительно упрощать записи при сложении и вычитании дробей.

Более сложные случаи сложения и вычитания дробей

При сложении и вычитании дробей удобно пользо­ваться приемом составления общего знаменателя посредством перемножения знаменателей данных дро­бей только в том случае, если каждые два, попарно взятые, знаменателя не имеют общих — ни буквенных, ни числовых — множителей. В других случаях употреб­ление этого приема, хотя и дает верный результат, однако, ни коим образом не может быть рекомендовано, так как ведет к лишним записям и потере времени. Общее правило таково: в качестве общего знаменателя нескольких дробей следует брать НОК знаменателей всех данных дробей. Предварительно необходимо каждый знаменатель представить как про­ изведение отдельных множителей; в частности, если данный знаменатель — многочлен, нужно общие число­вые и буквенные множители его членов выносить за скобку. Если встречаются многочленные множители, отличающиеся только знаком, то знак нужно менять, пользуясь уже известными приемами.

После того как общий знаменатель найден, необхо­димо выяснить, на какой один и тот же «дополнитель­ный множитель» придется умножить знаменатель и числитель каждой дроби для того, чтобы ее знамена­тель стал равным выбранному общему знаменателю.

Дальше, раз уже дроби приведены к общему знамена­телю, сделать сложение или вычитание не представ­ляет труда.

Пример:

Произведение знаменателей равно . Однако есть возможность в качестве общего знаменателя взять более простое выражение, именно НОК знаме­нателей, равное . Дополнительным множителем для первой дроби является , для второй , для третьей : , , .

Итак,

Пример:

.

HOK знаменателей равно . Для первой дроби дополнительный множитель равен , для второй . Итак, .

Пример:

Принимая во внимание, что и что , мы можем переписать дан­ное выражение в следующем виде: .

Теперь ясно, что наименьшее общее кратное зна­менателей равно . Дополнительные мно­жители трех дробей соответственно равны , и . Итак, мы получаем сумму или же, после упрощений в числителе и сокращения на , .

Сложные дроби

Если приходится выполнять деление над выражениями, уже содержащими дроби, то, записывая частное в виде дроби (с чер­той), мы получаем сложную дробь. Для облегчения записи в таких случаях иногда пользуются знаком двоеточия, но смысл получаемого от этого, конечно, не изменяется. Например, если требуется разделить на , то результат можно записать в виде или .

Сложную дробь всегда можно преобразовать в простую. Для этого достаточно выполнить все действия в том порядке, как они указаны: сначала числитель и знаменатель сложной дроби записать в виде простых дробей и затем разделить дробь на дробь, согласно правилу деления. Так, в нашем примере мы получим:

Однако такой способ преобразования сложной дроби в простую практически менее удобен, чем следующий. Пользуясь основным свойством дроби, умножим в нашем примере числитель и знаменатель на ; тогда получим прежний результат: .

В качестве множителя, на который умножаются и числитель и знаменатель данной сложной дроби, следует, конечно, выбирать НОК знаменателей всех дробей, содержащихся в числителе и зна­менателе данной дроби.

Всякое дробное алгебраическое выражение содержит лишь ко­нечное число делений. Поэтому, сколько бы ни было «этажей» о сложной дроби, такую дробь всегда можно преобразовать в про­стую, постепенно уничтожая «этажи». Отсюда следует, что дробное алгебраическое выражение всегда может быте представлено в виде отношения двух целых алгебраических выражений.

Все действия с дробями. Расположенные многочлены в числителе и знаменателе дроби. Выделение целой части из неправильной дроби

Выполняя указанные действия над данными, про­стыми или сложными, алгебраическими дробями, мы получаем в результате простую алгебраическую дробь.

Если числители и знаменатели данных дробей — много­члены, расположенные по степеням одной и той же буквы, то числитель и знаменатель дроби, получающейся в результате выполнения действий, также представляют­ся в виде многочленов, расположенных по степе­ням той же буквы.

После этого, если удастся в числителе и знамена­ теле обнаружить общие множители, на них следует сокращать полученную дробь.

Простая дробь, у которой числитель и знаменатель — многочлены, расположенные по степеням одной и той же буквы, называется: правильной, если степень числителя меньше, чем степень знаменателя; неправильной, если степень числителя больше или равна степени знаменателя.

Если дробь — неправильная, то ее всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Это делается посредством деления числителя на знаменатель.

Неправильная дробь равна сумме: 1) частного, по­лучающегося при делении числителя на знаменатель, и 2) правильной дроби, у которой числитель равен остатку при этом делении, а знаменатель — знамена­телю данной дроби.

Например, деля многочлен на двучлен , получаем: ; значит, .

Описанное выше преобразование напоминает выде­ление целой части из неправильной арифметической дроби; сравните хотя бы с таким примером:

По указанной причине это преобразование назы­вается выделением целой части из неправильной алгебраической дроби.

Вынесение за скобки каких угодно выражении

Заменяя в тождестве (распределительный закон умножения) через и через , мы получим новое тождество выполняя в правой части умножения, затем переставляя множители в левой части и потом меняя местами пра­вую и левую части, мы будем иметь, наконец, новое тождество .

Оно говорит о следующем: любое отличное от нуля
число или алгебраическое выражение можно «вынести за скобки» из какой угодно алгебраической суммы. Вы­нося некоторое выражение из алгебраической суммы за скобки, нужно каждый член суммы разделить на это выражение.

Пример:

Вынести за скобки из выражения .

Мы получаем:.

Пример:

Из выражения вынести за скобки .

Мы получаем:

В многочленах, расположенных по степеням одной буквы, часто бывает полезно выносить за скобки или старший член или свободный член.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник