Внимание! К этой теме имеются дополнительные материалы в Особом разделе 555. Для тех, кто сильно «не очень. » И для тех, кто «очень даже. » )
Понятие арифметической прогрессии.
Я напишу незаконченный ряд чисел:
Сможете продлить этот ряд? Какие числа пойдут дальше, за пятёркой? Каждый. э-э-э. короче, каждый сообразит, что дальше пойдут числа 6, 7, 8, 9 и т.д.
Усложним задачу. Даю незаконченный ряд чисел:
Сможете уловить закономерность, продлить ряд, и назвать седьмое число ряда?
А теперь переведём ключевые моменты из ощущений в математику.)
Первый ключевой момент.
Арифметическая прогрессия имеет дело с рядами чисел. Это и смущает поначалу. Мы привыкли уравнения решать, графики строить и всё такое. А тут продлить ряд, найти число ряда.
Второй ключевой момент.
В арифметической прогрессии любое число отличается от предыдущего на одну и ту же величину.
Третий ключевой момент.
Этот момент не бросается в глаза, да. Но очень, очень важен. Вот он: каждое число прогрессии стоит на своём месте. Есть первое число, есть седьмое, есть сорок пятое, и т.д. Если их перепутать как попало, закономерность исчезнет. Исчезнет и арифметическая прогрессия. Останется просто ряд чисел.
Разумеется, в новой теме появляются новые термины и обозначения. Их надо знать. Иначе и задание-то не поймёшь. Например, придётся решать, что-нибудь, типа:
Термины и обозначения.
Эта величина называется разность арифметической прогрессии. Разберёмся с этим понятием поподробнее.
Разность арифметической прогрессии.
Один важный момент. Прошу обратить внимание на слово «больше». Математически это означает, что каждое число прогрессии получается прибавлением разности арифметической прогрессии к предыдущему числу.
Разность арифметической прогрессии может быть положительной, тогда каждое число ряда получится реально больше предыдущего. Такая прогрессия называется возрастающей. Например:
Здесь каждое число получается прибавлением положительного числа, +5 к предыдущему.
Разность может быть и отрицательной, тогда каждое число ряда получится меньше предыдущего. Такая прогрессия называется (вы не поверите!) убывающей.
Разность арифметической прогрессии обозначается, как правило, буквой d.
Определим, например, d для возрастающей арифметической прогрессии:
Берём любое число ряда, какое хотим, например, 11. Отнимаем от него предыдущее число, т.е. 8:
Это правильный ответ. Для этой арифметической прогрессии разность равна трём.
Определим d для убывающей арифметической прогрессии:
Разность арифметической прогрессии может быть любым числом: целым, дробным, иррациональным, всяким.
Другие термины и обозначения.
Каждое число ряда называется членом арифметической прогрессии.
Как записать прогрессию в общем виде? Не вопрос! Каждое число ряда записывается в виде буквы. Для обозначения арифметической прогрессии используется, как правило, буква a. Номер члена указывается индексом внизу справа. Члены пишем через запятую (или точку с запятой), вот так:
Прогрессии бывают конечные и бесконечные.
Записать конечную прогрессию через ряд можно вот так, все члены и точка в конце:
Или так, если членов много:
В краткой записи придётся дополнительно указывать количество членов. Например (для двадцати членов), вот так:
Бесконечную прогрессию можно узнать по многоточию в конце ряда, как в примерах этого урока.
Теперь уже можно порешать задания. Задания несложные, чисто для понимания смысла арифметической прогрессии.
Примеры заданий по арифметической прогрессии.
Разберём подробненько задание, что приведено выше:
Легко можно посчитать, например, a3. Мы знаем (по смыслу арифметической прогрессии), что a3 больше a2на величину d. Стало быть:
Ну и дальше, по накатанной колее:
Так, члены с третьего по шестой вычислили. Получился такой ряд:
Остаётся найти первый член a1 по известному второму. Это шаг в другую сторону, влево.) Значит, разность арифметической прогрессии d надо не прибавить к a2, а отнять:
Вот и все дела. Ответ задания:
Попутно замечу, что это задание мы решали рекуррентным способом. Это страшное слово означает, всего лишь, поиск члена прогрессии по предыдущему (соседнему) числу. Другие способы работы с прогрессией мы рассмотрим далее.
Из этого несложного задания можно сделать один важный вывод.
Если нам известен хотя бы один член и разность арифметической прогрессии, мы можем найти любой член этой прогрессии.
Запомнили? Этот несложный вывод позволяет решать большинство задач школьного курса по этой теме. Все задачи крутятся вокруг трёх главных параметров: член арифметической прогрессии, разность прогрессии, номер члена прогрессии. Всё.
Для примера рассмотрим некоторые популярные задания по этой теме.
2. Запишите конечную арифметическую прогрессию в виде ряда, если n=5, d = 0,4, и a1 = 3,6.
Здесь всё просто. Всё уже дано. Нужно вспомнить, как считаются члены арифметической прогрессии, посчитать, да и записать. Желательно не пропустить слова в условии задания: «конечную» и «n=5«. Чтобы не считать до полного посинения.) В этой прогрессии всего 5 (пять) членов:
Остаётся записать ответ:
3. Определите, будет ли число 7 членом арифметической прогрессии (an), еслиa1 = 4,1; d = 1,2.
Хм. Кто ж его знает? Как определить-то?
Как-как. Да записать прогрессию в виде ряда и посмотреть, будет там семёрка, или нет! Считаем:
Так, стоит считать дальше, или нет, как думаете?) Разумеется, нет! Запишем в виде ряда:
Сейчас чётко видно, что семёрку мы просто проскочили между 6,5 и 7,7! Не попала семёрка в наш ряд чисел, и, значит, семёрка не будет членом заданной прогрессии.
А вот задачка на основе реального варианта ГИА:
4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
Здесь записан ряд без конца и начала. Нет ни номеров членов, ни разности d. Ничего страшного. Для решения задания достаточно понимать смысл арифметической прогрессии. Смотрим и соображаем, что можно узнать из этого ряда? Какие параметры из трёх главных?
Номера членов? Нет тут ни единого номера.
Остались сущие пустяки. Какое число будет предыдущим для икса? Пятнадцать. Значит, икс можно легко найти простым сложением. К 15 прибавить разность арифметической прогрессии:
Вот и всё. Ответ: х=12
6. Известно, что число 5,5 является членом арифметической прогрессии (an), где a1 = 1,6; d = 1,3. Определите номер n этого члена.
7. Известно, что в арифметической прогрессии a2 = 4; a5 = 15,1. Найдите a3.
8. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии:
Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.
9. Поезд начал движение от станции, равномерно увеличивая скорость на 30 метров в минуту. Какова будет скорость поезда через пять минут? Ответ дайте в км/час.
Ответы (в беспорядке): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Всё получилось? Замечательно! Можно осваивать арифметическую прогрессию на более высоком уровне, в следующих уроках.
Не всё получилось? Не беда. В Особом разделе 555 все эти задачки разобраны по косточкам.) И, конечно, описан простой практический приём, который сразу высвечивает решение подобных заданий чётко, ясно, как на ладони!
В этом уроке мы рассмотрели элементарный смысл арифметической прогрессии и её основные параметры. Этого достаточно для решения практически всех задач на эту тему. Прибавляй d к числам, пиши ряд, всё и решится.
Решение «на пальцах» хорошо подходит для очень коротких кусочков ряда, как в примерах этого урока. Если ряд подлиннее, вычисления усложняются. Например, если в задачке 9 в вопросе заменить «пять минут» на «тридцать пять минут», задачка станет существенно злее.)
А ещё бывают задания простые по сути, но несусветные по вычислениям, например:
Дана арифметическая прогрессия (an). Найти a121, если a1=3, а d=1/6.
И что, будем много-много раз прибавлять по 1/6?! Это же убиться можно!?
Можно.) Если не знать простую формулу, по которой решать подобные задания можно за минуту. Эта формула будет в следующем уроке. И задачка эта там решена. За минуту.)
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
Последовательность yn = C называют постоянной или стационарной.
Арифметическая прогрессия — (an), задана таким соотношением: a1 = a, an+1= an + d.
Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: an+1 = an + an-1.
Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.
Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Свойства числовых последовательностей:
Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.
Пример числовой последовательности выглядит так:
В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.
N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.
Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a1, a2. a10. an.
N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:
Определение арифметической прогрессии
Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.
Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.
Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a1, a2. an. для которой для каждого натурального n выполняется равенство:
an+1= an + d, где d — это разность арифметической прогрессии.
Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.
Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:
Если известны первый член a1 и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:
Арифметическая прогрессия бывает трех видов:
Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.
Свойство арифметической прогрессии
Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.
Рассмотрим пример арифметической прогрессии.
Дано: арифметическая прогрессия (an), где a1 = 0 и d = 2.
Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.
Решение арифметической прогрессии:
По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:
Формулы арифметической прогрессии
В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:
Сумма первых n членов арифметической прогрессии (аn) обозначается Sn:
Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:
Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:
Формула n-го члена арифметической прогрессии
Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:
Значит,
Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.
Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.
Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии
Формулу n-го члена арифметической прогрессии можно доказать при помощи метода математической индукции.
Пусть дано:
Нужно доказать:
Действительно,
Согласно принципу математической индукции формула верна для любого натурального числа.
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — это последовательность (bn), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.
Если последовательность (bn) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:
bn+1 = bn * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии
Если в геометрической прогрессии (bn) известен первый член b1 и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:
Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:
Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.
Тема «прогрессия арифметическая» изучается в общем курсе алгебры в школах в 9 классе. Эта тема является важной для дальнейшего углубленного изучения математики числовых рядов. В данной статье познакомимся с прогрессией арифметической, ее разностью, а также с типичными задачами, с которыми могут столкнуться школьники.
Понятие о прогрессии алгебраической
Числовая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый последующий элемент можно получить из предыдущего, если применить некоторый математический закон. Известно два простых вида прогрессии: геометрическая и арифметическая, которую называют также алгебраической. Остановимся на ней подробнее.
Вам будет интересно: Как найти среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел?
Представим себе некоторое рациональное число, обозначим его символом a1, где индекс указывает его порядковый номер в рассматриваемом ряду. Добавим к a1 некоторое другое число, обозначим его d. Тогда второй элемент ряда можно отразить следующим образом: a2 = a1+d. Теперь добавим d еще раз, получим: a3 = a2+d. Продолжая эту математическую операцию, можно получить целый ряд чисел, который будет называться прогрессией арифметической.
Вам будет интересно: Причастия совершенного и несовершенного вида. Правила использования
Как можно понять из изложенного выше, чтобы найти n-ый элемент этой последовательности, необходимо воспользоваться формулой: an = a1 + (n-1)*d. Действительно, подставляя n=1 в выражение, мы получим a1 = a1, если n = 2, тогда из формулы следует: a2 = a1 + 1*d, и так далее.
Формулы разности прогрессии арифметической
Из приведенного выше определения рассматриваемого ряда чисел следует, что для его определения необходимо знать два числа: a1 и d. Последнее называется разностью этой прогрессии. Оно однозначно определяет поведение всего ряда. Действительно, если d будет положительным, то числовой ряд будет постоянно возрастать, наоборот, в случае d отрицательного, будет происходить возрастание чисел в ряду лишь по модулю, абсолютное же их значение будет уменьшаться с ростом номера n.
Чему равна разность прогрессии арифметической? Рассмотрим две основные формулы, которые используются для вычисления этой величины:
Эти две основные формулы используются для решения любых задач на нахождение разности прогрессии. Однако существует еще одна формула, о которой также необходимо знать.
Сумма первых элементов
Формула, с помощью которой можно определить сумму любого количества членов прогрессии алгебраической, согласно историческим свидетельствам, была впервые получена «принцем» математики XVIII века Карлом Гауссом. Немецкий ученый, еще будучи мальчиком в начальных классах деревенской школы, заметил, что для того, чтобы сложить натуральные числа в ряду от 1 до 100, необходимо сначала просуммировать первый элемент и последний (полученное значение будет равно сумме предпоследнего и второго, предпредпоследнего и третьего элементов, и так далее), а затем это число следует умножить на количество этих сумм, то есть на 50.
Формулу, которая отражает изложенный результат на частном примере, можно обобщить на произвольный случай. Она будет иметь вид: Sn = n/2*(an+a1). Заметим, что для нахождения указанной величины, знание разности d не требуется, если известны два члена прогрессии (an и a1).
Пример №1. Определите разность, зная два члена ряда a1 и an
Поскольку нам известны значения двух элементов числовой последовательности, при этом один из них является первым числом, то можно воспользоваться формулой №2 для определения разности d. Имеем: d =(-1*(-12,1)+(-5,6) )/12 = 0,54167. В выражении мы использовали значение n=13, поскольку известен член именно с этим порядковым номером.
Полученная разность свидетельствует о том, что прогрессия является возрастающей, несмотря на то, что данные в условии задачи элементы имеют отрицательное значение. Видно, что a13>a1, хотя |a13| 0 или, используя соответствующую формулу, перепишем неравенство: a1 + (n-1)*d>0. Необходимо найти неизвестное n, выразим его: n>-1*a1/d + 1. Теперь осталось подставить известные значения разности и первого члена последовательности. Получаем: n>-1*(-12,1) /0,54167 + 1= 23,338 или n>23,338. Поскольку n может принимать только целочисленные значения, из полученного неравенства следует, что любые члены ряда, которые будут иметь номер больше чем 23, будут положительными.
Пример №3. Сколько бревен поместится?
Приведем одну любопытную задачу: во время заготовки леса было решено спиленные бревна укладывать друг на друга так, как это показано на рисунке ниже. Сколько бревен можно уложить таким образом, зная, что всего поместится 10 рядов?
Общую сумму этой «пирамидальной» конструкции можно получить, если воспользоваться формулой Гаусса. Получаем: S10 = 10/2*(10+1) = 55 бревен.
Как найти разность арифметической прогрессии: формулы и примеры решений
Многие слышали об арифметической прогрессии, но не все хорошо представляют, что это такое. В данной статье дадим соответствующее определение, а также рассмотрим вопрос, как найти разность прогрессии арифметической, и приведем ряд примеров.
Математическое определение
Итак, если речь идет о прогрессии арифметической или алгебраической (эти понятия определяют одно и то же), то это означает, что имеется некоторый числовой ряд, удовлетворяющий следующему закону: каждые два соседних числа в ряду отличаются на одно и то же значение. Математически это записывается так:
Вам будет интересно: Как называли извозчика в старину? Извозчики на Руси: как назывались и что делали?
О чем говорит знание разности d? О том, как «далеко» друг от друга отстоят соседние числа. Однако знание d является необходимым, но не достаточным условием для определения (восстановления) всей прогрессии. Необходимо знать еще одно число, которым может быть совершенно любой элемент рассматриваемого ряда, например, a4, a10, но, как правило, используют первое число, то есть a1.
Вам будет интересно: Система Поливанова: особенности и история кириллизации японского языка
Формулы для определения элементов прогрессии
В общем, информации выше уже достаточно, чтобы переходить к решению конкретных задач. Тем не менее до того, как будет дана прогрессия арифметическая, и найти разность ее будет необходимо, приведем пару полезных формул, облегчив тем самым последующий процесс решения задач.
Несложно показать, что любой элемент последовательности с номером n может быть найден следующим образом:
Действительно, проверить эту формулу может каждый простым перебором: если подставить n = 1, то получится первый элемент, если подставить n = 2, тогда выражение выдает сумму первого числа и разности, и так далее.
Условия многих задач составляются таким образом, что по известной паре чисел, номера которых в последовательности также даны, необходимо восстановить весь числовой ряд (найти разность и первый элемент). Сейчас мы решим эту задачу в общем виде.
Итак, пусть даны два элемента с номерами n и m. Пользуясь полученной выше формулой, можно составить систему из двух уравнений:
Для нахождения неизвестных величин воспользуемся известным простым приемом решения такой системы: вычтем попарно левую и правую части, равенство при этом останется справедливым. Имеем:
Таким образом, мы исключили одну неизвестную (a1). Теперь можно записать окончательное выражение для определения d:
Выражение для разности d прогрессии следует подставить в любое из уравнений в начале решения задачи, чтобы получить значение первого члена.
Далее в статье приведем примеры решения задач на вычисления d и на восстановление числового ряда алгебраической прогрессии. Здесь же хотелось бы отметить один важный момент.
В наш век развития компьютерных технологий многие школьники стараются найти решения для своих заданий в Интернете, поэтому часто возникают вопросы такого типа: найти разность арифметической прогрессии онлайн. По подобному запросу поисковик выдаст ряд web-страниц, перейдя на которые, нужно будет ввести известные из условия данные (это могут быть как два члена прогрессии, так и сумма некоторого их числа) и моментально получить ответ. Тем не менее такой подход к решению задачи является непродуктивным в плане развития школьника и понимания сути поставленной перед ним задачи.
Рекомендуется по указанным причинам самостоятельно решать подобные задачи. Кроме того, они не являются сложными.
Решение без использования формул
Решим первую задачу, при этом не будем использовать никакие из приведенных формул. Пусть даны элементы ряда: а6 = 3, а9 = 18. Найти разность прогрессии арифметической.
Таким образом, неизвестная разность d = 5.
Конечно же, решение можно было выполнить с применением соответствующей формулы, но этого не было сделано намеренно. Подробное объяснение решения задачи должно стать понятным и ярким примером, что такое арифметическая прогрессия.
Задача, подобная предыдущей
Теперь решим похожую задачу, но изменим входные данные. Итак, следует найти разность прогрессии арифметической, если а3 = 2, а9 = 19.
Конечно, можно прибегнуть снова к методу решения «в лоб». Но поскольку даны элементы ряда, которые стоят относительно далеко друг от друга, такой метод станет не совсем удобным. А вот использование полученной формулы быстро приведет нас к ответу:
Здесь мы округлили конечное число. Насколько это округление привело к ошибке, можно судить, проверив полученный результат:
Этот результат отличается всего на 0,1 % от значения, данного в условии. Поэтому использованное округление до сотых можно считать успешным выбором.
Задачи на применение формулы для an члена
Рассмотрим классический пример задачи на определение неизвестной d: найти разность прогрессии арифметической, если а1 = 12, а5 = 40.
Когда даны два числа неизвестной алгебраической последовательности, причем одним из них является элемент a1, тогда не нужно долго думать, а следует сразу же применить формулу для an члена. В данном случае имеем:
Мы получили точное число при делении, поэтому нет смысла проверять точность рассчитанного результата, как это было сделано в предыдущем пункте.
Решим еще одну аналогичную задачу: следует найти разность арифметической прогрессии, если а1 = 16, а8 = 37.
Используем аналогичный предыдущему подход и получаем:
Что еще следует знать о прогрессии арифметической
Помимо задач на нахождение неизвестной разности или отдельных элементов, часто необходимо решать проблемы суммы первых членов последовательности. Рассмотрение этих задач выходит за рамки темы статьи, тем не менее для полноты информации приведем общую формулу для суммы n чисел ряда:
Вам будет интересно: Как найти среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел?
Вам будет интересно: Причастия совершенного и несовершенного вида. Правила использования
Вам будет интересно: Как называли извозчика в старину? Извозчики на Руси: как назывались и что делали?
Вам будет интересно: Система Поливанова: особенности и история кириллизации японского языка
