Что значит найти определение функции

Построение графиков функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

Определение числовой функции. Область определения функции. Область значения функции.

Что такое область определения функции? что такое область значения функции? Давайте, в этой статье разберемся в понятиях числовой функции и ее характеристиках и свойствах.

Определение функции.

Функция y=f(x) — это когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y или другими словами такая зависимость переменной y от переменной x.

х — называется независимой переменной или аргументом.

y – называется зависимой переменной или значением функции.

Множество чисел, где x∈X или D(f) — называется областью определения функции. Это множество всех допустимых значений переменной х.

Область значений функций, когда задаем правило или функцию, которая позволяет по произвольно выбранному значению x∈D(f) вычислить соответствующее значение y.

Переменную х или аргумент мы придумываем сами и подставляем в правило, которое задали или функцию. Далее рассчитываем переменную y или значение функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная х называется областью определения функции.

В тех диапазонах в которых существует переменная y называется областью значения функции.

Графиком функции y=f(x), x∈X называется множество точек (x; f(x)) координатной плоскости.

Разберём пример №1:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x 2

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

А теперь рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y принимает положительные значение, так как и самое минимальное значение 0. Следовательно, y∈[0; +∞).

Если посмотрим на график, то увидим, что графика ниже нуля нет. Следовательно, область значения функции E(f) = [0; +∞).

Разберём пример №2:

Найдите область определения и область значения числовой функции y=x+1?

Вместо переменной x мы можем брать любые числа и просчитать переменную y.

По графику также видно, что сколько бы угодно мы не проводили линий через ось х, мы найдем пересечение с графиком.

Рассмотрим переменную у. В таблице мы видим, что переменная y также принимает значения как в положительном, так и в отрицательном направлении. Следовательно, ограничений у переменной y нет, y∈(−∞; +∞). Область значения функции E(f) = (−∞; +∞).

Источник

Определение функции. Способы задания функции.

Что значить задать функцию? Какими способами можно задать функцию? Что такое определение функции?

Задать функцию — это значит указать правило, при задании любого значения аргумента x вы найдете значение функции y.

Функция y=f(x) – зависимость переменной y от переменной x. Когда задаем значение аргумента x, получаем единственное значение функции y.

Способы задания функции.

В данной статье рассмотрим 3 способа задания функции. На самом деле их больше, в школьной программе чаще всего разбирают эти способы задания функции.

Аналитический способ задания функции.

Чаще всего в школьной программе правило задают в виде формулы y=f(x), x∈X или нескольких формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Примеры аналитического задания функции:

Графический способ задания функции.

Также если по формуле построить график функции, то данный способ задания функции будет называться графическим. Не всегда вам будут давать график совместно с формулой. Иногда вам в заданиях будут давать только график функции, по которому вы должны будете найти определенные данные. По графику функции можно восстановить его формулу, но это не всегда легко сделать, все зависит от начерченного графика. В школьной программе вам будут задавать графики, по которым вы сможете рассчитать формулу.

Примеры, графического задания функции:

Табличный способ задания функции.

Следующий способ задания функции применяется чаще всего на практике называется табличный.

Все данные представлены в виде таблице. У этого способа имеется конечное множество значений аргумента. Такими таблицами вы уже пользовались в алгебре, например, таблица квадратов, таблица корней и т.д.

Примеры, табличного задания функции:

Рассмотрим примеры по теме «Способы задания функции»:

Пример №1:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №2:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

Сколько бы мы не проводили вертикальных линий, всегда будет одно пересечение с графиком. Следовательно, изображенная фигура является графиком функции.

Пример №3:

Является ли графическим заданием какой-либо функции фигура?

При проведении вертикальных линий у нас имеется два пересечения. То есть у одной вертикальной линии два пересечения с фигурой. По определению переменной x должно соответствовать только одно значение переменной y, а у нас два пересечения фигуры. Следовательно, данная фигура не является графиком функции.

Источник

В этом вопросе следует разбираться, поскольку понятие не только встречается в школьной и университетской программах, но и широко применяется в науке и программировании (разработке программного обеспечения и прошивки контроллеров).

Общие сведения

Областью определения произвольной функции является множество значений переменных, от которых она зависит и принимает определенное значение. Встречаются функции с одной или несколькими переменными. Для простоты исследования нужно рассмотреть первый тип. Для того чтобы найти область определения и множество значений функции, необходимо использовать простые примеры. Специалисты рекомендуют применять метод изучения «от простого к сложному».

Первый раз этот термин упоминается в школьной программе. Книга «Алгебра и начало анализа» дает базовые знания в этой области. Однако она написана не для всех понятным языком.

Обучаемый часто ищет информацию в интернете. В некоторых случаях ученики занимаются поиском готовых решений, а это не совсем правильно, поскольку математические дисциплины пригодятся при поступлении в высшие учебные заведения. Исследование функции — естественный процесс, который встречается в различных дисциплинах.

Основные понятия

Область определения функции обозначается буквой «D». Кроме того, указывается ее имя D (f). Допускается также следующее обозначение «D (y)». Если необходимо ее найти для нескольких функций, можно изменить обозначение. Для сложного типа функций z = f (a, b, x, y) эта величина обозначается таким образом: D (z). Аргумент — независимая переменная, принимающая определенные значения.

Существуют также сложные функции, которые включают в число своих переменных и другие функции. Пример, z = f (x, k, l, w, y). В нем величины x, k, l являются переменными, а w и y — следующими функциями: w = 2 * x1 + 5 и y = 2 / (x2 — 6). Для каждого типа функции существует определенный алгоритм, по которому следует находить D (f). Он основывается на многолетнем опыте специалистов и придуман для оптимизации вычислений.

Важно уметь правильно определять тип функции, поскольку от этого зависит процесс выбора алгоритма. Для одних можно сразу определить D (f), для других — решить уравнение или неравенство, для третьих следует решить систему уравнений и т. д.

Можно воспользоваться специальными программными модулями. Простым примером программы является онлайн-калькулятор, позволяющий не только вычислить D (f), но и начертить ее график. Кроме того, D (f) записывается в виде множества значений.

Например, D (y) = [0, 157). Это значит следующее: областью определения функции вида y = 3*x / sqrt (156 — |x|) является множество чисел, которые находятся в интервале от 0 включительно (скобка «[«) до 157 не включительно.

Типы функций

Функций существует огромное разнообразие. Они бывают простыми и сложными. Первые в математических дисциплинах классифицируются на несколько типов: алгебраические, тригонометрические и трансцендентные. Алгебраические классифицируются на рациональные и иррациональные. Рациональные бывают целыми и дробными. Тригонометрические включают в свой состав все функции с sin, cos, tg, ctg и т. д. Трансцендентные делятся на степенные, показательные и логарифмические.

Рациональные целые — выражения полиномиального типа (линейные). Они без корней и степеней, дробей и логарифмов, а также без тригонометрических функций. Областью их определения является множество всех действительных чисел (Z) от бесконечно малого до бесконечно большого числа.

Дробный тип — функции, в числителе и знаменателе которых находится переменная. Для нахождения D (f) нужно исключить все значения переменных в нем, приводящие к 0. Если встречается тригонометрические функции, то нужно вычислить все значения, приводящие к отсутствию D (f) на определенном интервале. Этот тип функций может быть иррациональным, дробным, линейным, а также использоваться вместе со степенью и логарифмом.

К иррациональным функциям относят выражения, которые содержат переменную величину под корнем. Значение D (f) — все Z, кроме переменных, приводящих к отрицательным значениям выражений с четными степенями корней. D (f) степенной функции являются все действительные числа. Однако если степень представлена дробным выражением, то значения переменных не должны приводить к неопределенности (например, 4/0, т. к. на 0 делить нельзя). Для функций с натуральным логарифмом выражение, находящееся под ним, должно быть больше 0.

Правильное обозначение

Очень важно правильно обозначать D (f), поскольку это существенно влияет на результат. Это позволит избежать многих ошибок в любой сфере.

Следует руководствоваться такими правилами:

Примером в первом случае является множество [0, 100]: от 0 включительно и до 100 не включительно. Во втором случае — (8, 10): значение, равное 9, поскольку 8 и 10 — нижняя и верхняя границы, не принадлежащие множеству.

Два предыдущих множества можно объединить: [0, 100] U (8, 10). Пример записи последнего случая следующий: (20, 50].

Алгоритмы определения

Для удобства определения D (f) необходимо применять специальные алгоритмы, которые упрощают операцию. Целая рациональная функция, как уже было описано ранее, имеет D (f), принадлежащую множеству Z (весь ряд действительных чисел). Кроме того, степенная функция также имеет D (f), которая соответствует Z.

Если функция является дробной, то следует использовать следующий алгоритм:

Если она представлена в виде четного корня, следует решить неравенство. Значение подкоренного выражения должно быть больше 0. В противном случае область определения под корнем не будет существовать (неопределенность).

Однако если корень нечетный, то D (f) — множество действительных чисел. Для функций с натуральным логарифмом (ln) значение выражения, которое находится под логарифмом, должно быть всегда больше 0. При отрицательных значениях ln «превращается» в неопределенность. Необходимо составить неравенство. Оно должно быть больше 0.

Для тригонометрических выражений синуса sin (x) и косинуса cos (x) множество всех Z является D (f). Однако для тангенса tg (x) и котангенса ctg (x) необходимо исключить значения переменной x = (Pi / 2) + Pi * k и x = Pi * k соответственно. В этих выражениях k является множеством действительных чисел.

Другие методы

Существуют также и другие методы определения D (f). Ее можно выяснить при помощи следующих инструментов: онлайн-калькулятора, специальных программ и построения графика. Первый способ позволяет довольно быстро найти необходимую величину. Но это не все его возможности. Можно с его помощью строить графики и находить все свойства функции.

Однако первый метод уступает второму, суть которого сводится к использованию специализированного программного обеспечения. В этом случае можно легко изобразить графики заданной функции, исследовать и найти ее основные свойства, а также D (f), представленных в виде функций. Например, зависимость амплитудных значений переменного электрического тока от времени.

В некоторых случаях можно найти D (f), построив ее график. Для этого следует подставить значение аргумента функции и получить ее значение. Построение таблицы зависимости значения функции от ее аргумента позволяет правильно построить графическое представление. Чтобы быстро строить графики, нужно знать их базовые виды: линейный, степенной (квадратичный, кубический и т. д. ), а также другие. Чем точнее графическая иллюстрация, тем легче определить D (f).

После заполнения таблицы значений следует приступать к построению графика. Для этого берутся точки с координатами из таблицы (x, y), и отмечаются на декартовой системе координат.

Затем их следует соединить. Получится график заданной функции, по которому не составит труда сделать определенные выводы.

Примеры решения

Теоретические знания необходимы, но некоторые люди делают огромную ошибку. Они не закрепляют их при помощи практики. Необходимо регулярно решать задачи на нахождения D (f), поскольку в этом случае набирается опыт. Наиболее простыми задачами считаются следующие: нахождения D (f) линейной, степенной, показательной и тригонометрической функций. Важным аспектом считается упрощение выражения. Для этого следует вспомнить также и формулы сокращенного умножения.

С дробными и иррациональными функциями могут возникнуть некоторые сложности, поскольку нужно решить уравнение или неравенство. Однако в последнем случае нельзя путать знак неравенства.

Для линейного вида

Нужно найти D (f) для y = 2*x — 3 * (x — 5). Для решения следует применить такой алгоритм:

В некоторых задачах следует также построить график функции. Для конкретного случая создается таблица зависимости значения «y» от аргумента. Не имеет смысла брать много значений «х», поскольку графиком является прямая. Известно, что необходимы только две точки для ее проведения. Подстановка количества значений «х», превышающих двух, является грубой и распространенной ошибкой.

Дробные и иррациональные

Пусть существует выражение вида y = 1 / [(x — 4) * (x + 4)]. Нужно определить D (f).

Решается задача таким способом:

В случае с иррациональным выражением: y = sqrt[4 * sqr (x) — 12 * x + 9], нужно решить уравнение подкоренного выражения.

Для решения квадратного уравнения следует применить такой алгоритм:

Множество чисел D (y) ограничивается следующим интервалом (-бесконечность, 1.5) U (1.5, +бесконечность).

Таким образом, для нахождения множества значений D (f) для конкретного выражения следует воспользоваться специальными алгоритмами. На первоначальном этапе исследования функции следует определить ее тип, поскольку это поможет избежать многих сложностей в процессе решения.

Источник