Что значит найти нули функции
Нули функции
Прежде чем перейти к изучению темы «Нули функции» внимательно изучите уроки
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».
Нули функции — это
значения « x » (аргумента функции),
при которых « y = 0 ».
В заданиях «Найдите нули функции» чаще всего сама функция задана через формулу (аналитически). Разберем алгоритм решения подобных задач.
Как найти нули функции, заданной формулой
По традиции разберемся на примере.
№ 260 (1) Мерзляк 9 класс
Найдите нули функции:
Подставим вместо значения функции « f(x) » ноль.
Решаем полученное линейное уравнение и записываем полученный ответ
для « x ».
Перенесем неизвестное « 0,2x » из правой части уравнения в левую с противоположным знаком.
Переведем десятичную дробь « 0,2 » в обыкновненную для упрощения дальнейших расчетов.
| 2 |
| 10 |
· x = −3 | · 10
| 2 |
| 10 |
· x · 10 = −3 · 10
| 2 · 10 |
| 10 |
· x = −30
Ответ: x = −15 является нулем
функции f(x) = 0,2x + 3
№ 260 (5) Мерзляк 9 класс
Найдите нули функции:
Вместо « f(x) » подставим ноль.
В левой части полученного уравнения у нас два множителя:
« x » и « (x 2 − 4) ». Результат их умножения равен нулю.
Это возможно, когда любой из множителей равен нулю. Поэтому рассмотрим оба варианта: когда множитель « x » равен нулю и когда множитель « (x 2 − 4) » равен нулю.
Решаем квадратное уравнение
« x 2 − 4 = 0 ». Используем формулу для решения квадратного уравнения с дискриминантом.
a · x 2 + b · x + c = 0
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| 0 ± √ 0 2 − 4 · 1 · (−4) |
| 2 · 1 |
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 2 | x2 = −2 |
Запишем все полученные корни уравнений в ответ в порядке возрастания. Они будут являться нулями функции.
Ответ: x = −2; x = 0; x = 2 являются нулями функции f(x) = x 3 − 4x
№ 260 (4) Мерзляк 9 класс
Найдите нули функции:
h(x) =
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
Подставим вместо « h(x) » ноль.
0 =
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
Перенесем правую часть
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
в левую, изменив ее знак на минус.
− (
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
) = 0 | · (−1)
| x 2 − x − 6 |
| x + 3 |
= 0
Единственный вариант, когда дробь будет равна нулю, только если
ее числитель « x 2 − x − 6 » будет равен нулю. Знаменатель « x + 3 » не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя.
Решим полученное квадратное уравнение через формулу с дискриминантом.
a · x 2 + b · x + c = 0
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −(−1) ± √ (−1) 2 − 4 · 1 · (−6) |
| 2 · 1 |
x1;2 =
| 1 ± √ 1 + 24 |
| 2 |
x1 =
| x2 =
| ||||
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 3 | x2 = −2 |
№ 261 (3) Мерзляк 9 класс
Найдите нули функции:
Заменим « f(x) » на ноль.
Единственное число, квадратный корень которого равен нулю — это сам ноль. Поэтому, квадратный корень
« √ x 2 − 4 = 0 » будет равен нулю, когда его подкоренное выражение « x 2 − 4 » будет равно нулю.
Осталось решить полученное квадратное уравнение, чтобы найти нули функции
« f(x) = √ x 2 − 4 ».
x1;2 =
| −b ± √ b 2 − 4ac |
| 2a |
x1;2 =
| −(−0) ± √ (−0) 2 − 4 · 1 · (−4) |
| 2 · 1 |
x1 =
| x2 =
| ||||
| x1 = 2 | x2 = −2 |
Ответ: x = −2; x = 2 являются нулями функции f(x) = √ x 2 − 4
Как найти нули функции на графике функции
Графически нули функции — это точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс).
По определению нули функции — это значения « x »,
при которых « y = 0 ». Другими словами, у точек графика функции, которые являются нулями функции,
координата « x » равна нулю.
Чтобы найти нули функции на графике нам остается, только найти, какая у них координата по оси « Ox ».
Рассмотрим на примере.
№ 255 (1) Мерзляк 9 класс
На рисунке ниже изображен график функции « y = f(x) », определенной на множестве действительных чисел. Используя график, найдите нули функции.
Отметим на графике функции его точки пересечения с осью « Ox ».
Точки « (·)А » и « (·)B » — нули функции. Теперь определим, чему равны их координаты по оси « Ox ».
На графике видно, что у точки « (·)А » координата « x » равна « 0 », а у точки « (·)B » координата « x » равна « 2 ».
Запишем полученные значения координат « x » в ответ.
Ответ: x = 0 ; x = 2 являются нулями функции.
Как найти нули функции, заданной таблицей
В некоторых заданиях, где требуется найти нули функции, сама функция задана не вполне привычно с помощью формулы, а с помощью таблицы. Поиск нулей в таких примерах является легкой задачей.
№ 1.83 (2) Кузнецова 9 класс
Найдите нули функции, заданной таблицей.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −3 | −1,5 | 0 | 2 | 1 | 0 |
Вспомним определение нулей функции.
Нули функции — это
значения « x » в функции, при которых « y = 0 ».
Согласно определению нулей функции нам достаточно найти значения « x » в таблице,
где « y = 0 ». Выделим их цветом.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −3 | −1,5 | 0 | 2 | 1 | 0 |
Остаётся только записать в ответ значения « x » из таблицы.
Ответ: x = 0; x = 3 являются нулями функции, заданной таблицей.
Свойства функции. Возрастание и убывание, наибольшее и наименьшее значения, нули, промежутки знакопостоянства.
теория по математике 📈 функции
Каждый из нас встречался с разными графиками, как на уроках, так и в жизни. Например, рассматривали, как изменяется температура воздуха в определенный период времени.
На рисунке видно, что температура воздуха была отрицательной с 0 часов до 6 часов, а также с 20 до 24 часов. Еще можем сказать, что температура повышалась до 14 часов, а затем понижалась. То есть по данному графику мы смогли определить некоторые свойства зависимости температуры воздуха от времени суток.
Остановимся подробнее на свойствах функций.
Нули функции
Нули функции – это значение аргумента, при которых функция обращается в нуль. Если смотреть нули функции на графике, то берем точки, где график пересекает ось х.
На рисунке он пересекает ось х при х=-1; х=4; х=6. Эти точки пересечения выделены красным цветом. Внимание!
Существует функция, которая не будет иметь нули функции. Это гипербола. Вспомним, что функция имеет вид у=k/x, где х не равное 0 число.
а) Для нахождения нулей функции необходимо в данную формулу вместо у подставить число 0, так как координаты точки пересечения графика с осью х (х;0). Нам нужно найти значение х. Получаем 0 = –11х +12. Решаем уравнение. Переносим слагаемое, содержащее переменную, в левую часть, меняя знак на противоположный: 11х=22
Находим х, разделив 22 на 11: х=22:11
Таким образом, мы нашли нуль функции: х=2
Пример №2. Найти нули функции у=f(x) по заданному графику.
Находим точки пересечения графика с осью х и выписываем значения х в этих точках. Это (-4,9); (-1,2); 2,2 и 5,7. У нас на рисунке точки пересечения выделены красным цветом.
Промежутки знакопостоянства
Промежутки, где функция сохраняет знак (то есть значение y либо положительное на этом промежутке, либо отрицательное), называется промежутками знакопостоянства.
Пример №3. Найдем промежутки знакопостоянства по заданному на промежутке [-2; 10] графику функции у=f(x).
Функция принимает отрицательные значения в промежутках (-1; 3) и (8; 10]. Обратите внимание на линии синего цвета.
Возрастание и убывание функции
Значения функции могут уменьшаться или увеличиваться. Это зависит от того, как изменяются значения х. Рассмотрим это свойство по рисунку.
Посмотрим на значения х, которые увеличиваются от 2 до 5. В этом случае значения у уменьшаются. На графике эта часть выделена зеленым цветом. Слева направо эта часть графика идет вниз. То есть в промежутке [2;5] функция у=f(x) является убывающей.
Функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.