Что значит найти наименьшее кратное чисел
Наименьшее общее кратное
Для того, чтобы находить общий знаменатель при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями необходимо знать и уметь рассчитывать наименьшее общее кратное (НОК).
Кратное числу « a » — это число, которое само делится на число « a » без остатка.
Числа кратные 8 (то есть, эти числа разделятся на 8 без остатка): это числа 16, 24, 32 …
Кратные 9: 18, 27, 36, 45 …
Чисел, кратных данному числу a бесконечно много, в отличии от делителей этого же числа. Делителей — конечное количество.
Общим кратным двух натуральных чисел называется число, которое делится на оба эти числа нацело.
Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое само делится нацело на каждое из этих чисел.
Как найти НОК
НОК можно найти и записать двумя способами.
Первый способ нахождения НОК
Данный способ обычно применяется для небольших чисел.
Второй способ нахождения НОК
Этот способ удобно использовать, чтобы найти НОК для трёх и более чисел.
Количество одинаковых множителей в разложениях чисел может быть разное.
24 = 2 · 2 · 2 · 3
НОК (12, 16, 24) = 2 · 2 · 2 · 3 · 2 = 48
Ответ: НОК (12, 16, 24) = 48
Особые случаи нахождения НОК
На нашем сайте вы также можете с помощью специального калькулятора найти наименьшее общее кратное онлайн, чтобы проверить свои вычисления.
Как найти наименьшее общее кратное, НОК для двух и более чисел
Школьникам задают немало заданий по математике. Среди них очень часто встречаются задачи с такой формулировкой: имеются два значения. Как найти наименьшее общее кратное для заданных чисел? Необходимо уметь выполнять такие задания, поскольку полученные навыки применяют для работы с дробями при разных знаменателях. В статье разберем, как найти НОК и основные понятия.
Основные понятия
Прежде чем найти ответ на вопрос как находить НОК, нужно определиться с термином кратное. Чаще всего формулировка этого понятия звучит следующим образом: кратным некоторому значению А называют такое натуральное число, которое без остатка будет делиться на А. Так, для 4 кратными будут 8, 12, 16, 20 и так далее, до необходимого предела.
При этом количество делителей для конкретного значения может быть ограниченным, а кратных бесконечно много. Также есть такая же величина для натуральных значений. Это такой показатель, которое делится на них без остатка. Разобравшись с понятием самого меньшего значения для определенных показателей, перейдем к тому, как его находить.
Находим НОК
Наименьшее кратное двух или больше показателей является наименьшим натуральным числом, которое целиком делится на все указанные числа.
Существует несколько способов найти такое значение, рассмотрим следующие способы:
Теперь мы знаем, какова общая методика нахождения самого небольшого значения для двух, трех и более значений. Однако есть и частные методы, помогающие искать НОК, если предыдущие не помогают.
Как находить НОД и НОК.
Частные способы нахождения
Как и для любого математического раздела, имеются частные случаи нахождения НОК, которые помогают в специфических ситуациях:
Частные случаи встречаются реже, нежели стандартные примеры. Но благодаря им можно научиться работать с дробями различной степени сложности. Особенно это актуально для дробей, где имеются неодинаковые знаменатели.
Немного примеров
Разберем несколько примеров, благодаря которым можно понять принцип нахождения наименьшего кратного:
Благодаря примерам можно понять, как находится НОК, какие есть нюансы и в чем заключается смысл таких манипуляций.
Находит НОК гораздо проще, чем может показаться изначально. Для этого применяется как простое разложение, так и умножение простых значений друг на друга. Умение работать с данным разделом математики помогает при дальнейшем изучении математических тем, в особенности дробей разной степени сложности.
Не забывайте периодически решать примеры различными методами, это развивает логический аппарат и позволяет запомнить многочисленные термины. Изучайте методы нахождения такого показателя и вы сможете хорошо работать с остальными математическими разделами. Удачного изучения математики!
Видео
Это видео поможет вам понять и запомнить, как находить наименьшее общее кратное.
Нахождение наименьшего общего кратного: способы, примеры нахождения НОК
Продолжим разговор о наименьшем общем кратном, который мы начали в разделе « НОК – наименьшее общее кратное, определение, примеры». В этой теме мы рассмотрим способы нахождения НОК для трех чисел и более, разберем вопрос о том, как найти НОК отрицательного числа.
Вычисление наименьшего общего кратного (НОК) через НОД
Мы уже установили связь наименьшего общего кратного с наибольшим общим делителем. Теперь научимся определять НОК через НОД. Сначала разберемся, как делать это для положительных чисел.
Решение
Решение
В этом примере мы использовали правило нахождения наименьшего общего кратного для целых положительных чисел a и b : если первое число делится на второе, что НОК этих чисел будет равно первому числу.
Нахождение НОК с помощью разложения чисел на простые множители
Теперь давайте рассмотрим способ нахождения НОК, который основан на разложении чисел на простые множители.
Для нахождения наименьшего общего кратного нам понадобится выполнить ряд несложных действий:
Решение
Найдем все простые множители чисел, данных в условии:
441 147 49 7 1 3 3 7 7
700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7
Дадим еще одну формулировку метода нахождения НОК путем разложения чисел на простые множители.
Раньше мы исключали из всего количества множителей общие для обоих чисел. Теперь мы сделаем иначе:
Решение
Нахождение НОК трех и большего количества чисел
Независимо от того, с каким количеством чисел мы имеем дело, алгоритм наших действий всегда будет одинаковым: мы будем последовательно находить НОК двух чисел. На этот случай есть теорема.
Теперь рассмотрим, как можно применять теорему для решения конкретных задач.
Решение
Как видите, вычисления получаются несложными, но достаточно трудоемкими. Чтобы сэкономить время, можно пойти другим путем.
Предлагаем вам следующий алгоритм действий:
Решение
Нахождение наименьшего общего кратного отрицательных чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное отрицательных чисел, эти числа необходимо сначала заменить на числа с противоположным знаком, а затем провести вычисления по приведенным выше алгоритмам.
Решение
Наименьшее общее кратное
Общее кратное
Число может быть кратно не одному, а сразу нескольким числам, такое число называется общим кратным данных чисел.
Числу 3 кратны числа: 6, 9, 12, 15 и т. д.
Числу 4 кратны числа: 8, 12, 16, 20 и т. д.
Можно заметить, что одно и тоже число (12) делится нацело сразу на оба числа 3 и 4. Следовательно, число 12 есть общее кратное чисел 3 и 4.
Общее кратное чисел — это любое число, которое делится без остатка на каждое из данных чисел.
Найти общее кратное нескольких натуральных чисел достаточно легко, можно просто перемножить данные числа, полученное произведение и будет их общим кратным.
Пример. Найти общее кратное для чисел 2, 3, 4, 6.
Число 144 — общее кратное чисел 2, 3, 4 и 6.
Для любого количества натуральных чисел существует бесконечно много кратных.
Пример. Для чисел 12 и 20 кратными будут числа: 60, 120, 180, 240 и т. д. Все они являются общими кратными для чисел 12 и 20.
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел — это самое маленькое натуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих чисел.
Пример. Наименьшим общим кратным чисел 3, 4 и 9 является число 36, никакое другое число меньше 36 не делится одновременно на 3, 4 и 9 без остатка.
Наименьшее общее кратное записывается так:
Числа в круглых скобках могут быть указаны в любом порядке.
Пример. Запишем наименьшее общее кратное чисел 3, 4 и 9:
Как найти НОК
Рассмотрим два способа нахождения наименьшего общего кратного: с помощью разложения чисел на простые множители и нахождение НОК через НОД.
С помощью разложения на простые множители
Чтобы найти НОК нескольких натуральных чисел, надо разложить эти числа на простые множители, затем взять из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножить эти множители между собой.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Наименьшее общее кратное должно делиться на 99, значит, в его состав должны входить все множители числа 99. Далее НОК должно делиться и на 54, т. е. в его состав должны входить множители и этого числа.
Выпишем из этих разложений каждый простой множитель с наибольшим показателем степени и перемножим эти множители между собой. Получим следующее произведение:
Это и есть наименьшее общее кратное данных чисел. Никакое другое число меньше 594 не делится нацело на 99 и 54.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Так как взаимно простые числа не имеют одинаковых простых множителей, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 12 и 49.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,
Применяя к этому случаю правило, мы придём к заключению, что взаимно простые числа надо просто перемножить:
2 2 · 3 · 7 2 = 12 · 49 = 980.
Ответ: НОК (12, 49) = 980.
Таким же образом надо поступать, когда нужно найти наименьшее общее кратное простых чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 5, 7 и 13.
Решение: так как данные числа являются простыми, то просто перемножим их:
Ответ: НОК (5, 7, 13) = 455.
Если большее из данных чисел делится на все остальные числа, то это число и будет наименьшим общим кратным данных чисел.
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 24, 12 и 4.
Решение: разложим каждое из этих чисел на простые множители:
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2 3 · 3,
12 = 2 · 2 · 3 = 2 2 · 3,
Можно заметить, что разложение большего числа содержит все множители остальных чисел, значит большее из этих чисел делится на все остальные числа (в том числе и само на себя) и является наименьшим общим кратным:
Ответ: НОК (24, 12, 4) = 24.
Нахождение НОК через НОД
НОК двух натуральных чисел равно произведению этих чисел, поделённого на их НОД.
Правило в общем виде:
Пример. Найдите наименьшее общее кратное двух чисел 99 и 54.
Теперь мы можем вычислить НОК этих чисел по формуле:
НОК (99, 54) = 99 · 54 : НОД (99, 54) = 5346 : 9 = 594.
Ответ: НОК (99, 54) = 594.
Чтобы найти НОК трёх или более чисел используется следующий порядок действий:
Пример. Найдите наименьшее общее кратное чисел 8, 12 и 9.
Решение: сначала находим наибольший общий делитель любых двух из этих чисел, например, 12 и 8:
Вычисляем их НОК по формуле:
НОК (12, 8) = 12 · 8 : НОД (12, 8) = 96 : 4 = 24.
Теперь найдём НОК числа 24 и оставшегося числа 9. Их НОД:
Вычисляем НОК по формуле:
НОК (24, 9) = 24 · 9 : НОД (24, 9) = 216 : 3 = 72.
Ответ: НОК (8, 12, 9) = 72.
Калькулятор НОК
Наименьшее общее кратное (НОК): определение, примеры и свойства
Приступим к изучению наименьшего общего кратного двух и более чисел. В разделе мы дадим определение термина, рассмотрим теорему, которая устанавливает связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем, приведем примеры решения задач.
Общие кратные – определение, примеры
В данной теме нас будет интересовать только общие кратные целых чисел, отличных от нуля.
Общее кратное целых чисел – это такое целое число, которое кратно всем данным числам. Фактически, это любое целое число, которое можно разделить на любое из данных чисел.
Определение общих кратных чисел относится к двум, трем и большему количеству целых чисел.
0 является общим кратным для любого множества целых чисел, отличных от нуля.
Для всех ли чисел можно найти НОК?
Общее кратное можно найти для любых целых чисел.
Сколько всего общих кратных могут иметь данные целые числа?
Группа целых чисел может иметь большое количество общих кратных. Фактически, их число бесконечно.
Наименьшее общее кратное (НОК) – определение, обозначение и примеры
Вспомним понятие наименьшего числа из данного множества чисел, которое мы рассматривали в разделе «Сравнение целых чисел». С учетом этого понятия сформулируем определение наименьшего общего кратного, которое имеет среди всех общих кратных наибольшее практическое значение.
Наименьшее общее кратное данных целых чисел – это наименьшее положительное общее кратное этих чисел.
Не для всех групп данных чисел наименьшее общее кратное очевидно. Часто его приходится вычислять.
Связь между НОК и НОД
Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель связаны между собой. Взаимосвязь между понятиями устанавливает теорема.
Установление связи между НОК и НОД позволяет находить наименьшее общее кратное через наибольший общий делитель двух и более данных чисел.
Теорема имеет два важных следствия:
Наименьшее общее кратное трех и большего количества чисел
Для того, чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо последовательно найти НОК двух чисел.
Доказать верность второй теоремы нам поможет первое следствие из первой теоремы, рассмотренной в данной теме. Рассуждения строятся по следующему алгоритму: