Что значит найти корень уравнения 6 класс примеры с ответами

Решение линейных уравнений. 6-й класс

Разделы: Математика

Класс: 6

Цели урока:

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

I. Проверка предыдущего домашнего задания.

II. Повторение теоретического материала.

III. Устные задания по слайдам.

1) Раскройте скобки:

2) Приведите подобные слагаемые:

3) Упростите выражение:

IV. Новая тема. Решение линейных уравнений.

До сегодняшнего урока мы не умели решать уравнения, в которых неизвестное находилось слева и справа от знака равенства: 3x+7=x+15. Некоторые из нас постоянно забывают правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Сегодня мы постараемся разрешить все эти затруднения.

Уравнение, которое можно привести к виду ax=b, где a и b − некоторые числа (a0), называется линейным уравнением с одним неизвестным.

Линейные уравнения обладают свойствами:

Рассмотрим план решения линейного уравнения:

Какими из свойств равенств мы воспользовались для решения уравнения? (вторым)

Рассмотрим примеры уравнений, при решении которых будет удобно воспользоваться и первым свойством.

х+3=х+5 │∙9 Удобно умножить на наименьшее общее кратное знаменателей дробей.

(х+3)∙9=(х+5)∙9 Далее − по плану.

Источник

Корень уравнения

Всего получено оценок: 132.

Всего получено оценок: 132.

Тема уравнения сопровождает учеников на протяжении всей школьной программа. Немного странно, что большая часть учащихся 6 класса математики забывают, что же такое корень и решают уравнения, не понимая своих действий. Чтобы не допускать этой ошибки поговорим обо всех особенностях корней уравнения

Неизвестное

Чтобы говорить об уравнениях, нужно вспомнить, что такое неизвестное. Под неизвестным понимается буквенное выражение, которое в общем случае может принимать абсолютно любое значение.

Неизвестные могут перемножаться с числом или друг с другом. Таким образом, получается классический одночлен. Например, выражение 3 а*в является одночленом.

Если одночлены складываются, вычитаются или делятся друг на друга, получается многочлен. Многочлен, приравненный к какому-то числу, называется тождеством.

После того, как многочлен приравняли к какому-то числу, превратив его в тождество, появляются некоторые ограничения. Этих ограничений может быть недостаточно для того, чтобы точно определить значения неизвестных, но они есть.

Функция

Именно такие ограничения и называются функцией. Функцией зовется зависимость одной неизвестной от другой или других неизвестных. Например, в выражении:

х+у=12 – от выбранного значения х зависит значение у и наоборот.

Число у зовется функцией, а число х аргументом. При этом у функции может быть множество аргументов, но у аргумента может быть только одна функция. Например, в функции у=x+z+n – 3 аргумента. Такие функции не используются в школьной программе, но нельзя забывать, что они существуют.

Функции часто изображаются в виде графиков. На плоскости можно отобразить зависимость функции лишь от одного аргумента. Но в пространстве можно отобразить изменение функции в зависимости от двух аргументов.

Существую типовые функции, поведение которых на графике изучено. Каждая из таких функций имеет свое название. Например:

Большую часть типовых функций ученики изучают в математике старших классов.

Корень уравнения

Важно понять, что любое уравнение это частный случай функции. Уравнение это точка или точки пересечения двух функций. Задачей любого уравнения является нахождение координат точки пересечения этих функций. Так как график функции может быть не только прямой линией, то количество корней уравнения может быть разным. Если количество корней определено, то их называют простыми корнями уравнения.

Корнем уравнения называют значение х, при котором тождество выполняется. То есть это значение, при котором не нарушается равенство правой и левой сторон. Приведем пример:

х+10=5 – это уравнение, как и любое другое, представляет собой равенство двух функций:

В любом степенном уравнении количество корней равняется старшей степени многочлена. Корни могут быть одинаковыми. Линейное уравнение является частным случаем степенного, со старшей степенью равной 1. По этой же причине, в линейных уравнениях всегда один корень.

Что мы узнали?

Мы подробно разобрали определение корня уравнения. Рассмотрели обозначения неизвестных и узнали, что такое функция.

Источник

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ по теме: «Уравнения, свойства уравнений. Решение задач с помощью уравнений» 6 класс

1. Правила действий с рациональными числами

Чтобы сложить два отрицательных числа, надо сложить их модули и перед результатом поставить знак «-» (минус).

Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо найти разность их модулей и перед результатом поставить знак числа с большим модулем.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Вычитание рациональных чисел всегда можно заменить сложением:

Чтобы умножить отрицательное число и положительное, надо умножить их модули и перед результатом поставить знак минус: (- a )* b =- ab .

Чтобы умножить два отрицательных числа, надо умножить их модули: (- a )*(- b )= ab .

Чтобы разделить одно рациональное число на другое, надо разделить их модули; если знаки делимого и делителя разные, то перед результатом нужно поставить знак минус.

Д) возведение в степень:

и т.д.

Е) порядок выполнения действий

Если в числовое выражение входит степень, то сначала выполняют возведение в степень, а потом действия в скобках (если есть), умножение или деление по порядку, сложение, вычитание по порядку.

2. Правило нахождения дроби от числа

Чтобы найти дробь от числа, надо число умножить на эту дробь.

от а равно а*.

от 200 равно 200*=80.

3. Правило нахождения числа по значению дроби

Чтобы найти число по значению дроби, надо значение дроби разделить на эту дробь.

Если от х равно с, то х=с: .

Если от числа равно 80, то число равно 80: =200.

4. Условие равенства нулю произведения

Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

a * b =0, если а=0 или b =0 или а= b =0.

5. Определение модуля числа

Модулем числа а называется расстояние в единичных отрезках от начала координат до точки с координатой а.

—4 4

.

6. Правило нахождения модуля числа

Модулем неотрицательного числа является само число, модулем отрицательного числа является противоположное ему число.

А (-2) 0 В(3)

а, если число а неотрицательное;

-а, если число а отрицательное.

7. Среднее арифметическое

Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на количество слагаемых.

8. Определение пропорции

Пропорция – это равенство двух отношений a : b = c : d или при

a и d – крайние члены пропорции, b и c – средние члены пропорции.

9. Основное свойство пропорции

Произведение крайних членов верной пропорции равно произведению ёё средних членов

Если 0,3:1=2,1:7, то 0,3*7=1*2,1.

10. Правило нахождения членов пропорции

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, достаточно произведение ёё крайних членов разделить на известный крайний. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, достаточно произведение её крайних членов разделить на известный средний.

А) ;

;

В)

11. Процент и процентное отношение

1%=0,01; 100%=1; 50%=0,5; 200%=2.

А) Пример: отношение 2 к 5 равно

Б) задача. Возле школы растёт 20 деревьев, из них 8 – липы. Сколько процентов этих деревьев составляют липы?

Отношение лип ко всем деревьям возле школы равно или 0,4 или 40%. Таким образом, липы составляют 40% всех деревьев, растущих возле школы.

12. Основные задачи на проценты

1. нахождение процентов от числа;

2. нахождение числа по процентам;

3. нахождение процентного отношения двух чисел.

Примеры задач (их можно решить несколькими способами)

Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы выполнили 40% задания. Сколько гектаров они вспахали в первый день?

Решение (способ подстановки)

300 га – 100%

Значит, в первый день вспахали 120 га.

В первый день трактористы вспахали 120 га, что составляет 40% всего поля. Найдите площадь всего поля.

120 га – 40%

Значит, площадь всего поля 300 га.

Надо вспахать поле, площадь которого равна 300 га. В первый день трактористы вспахали 120 га. Сколько процентов всего поля они вспахали в первый день?

300 га – 100%

Значит, в первый день они вспахали 40%.

13. Преобразование простейших выражений

1) Правила раскрытия скобок

А) перед которыми стоит знак «+».

Чтобы раскрыть в выражении скобки, перед которыми стоит знак «+», достаточно опустить скобки и знак перед ними.

Б) перед которыми стоит знак «-»

В) с помощью распределительного свойства умножения:

Приведение подобных слагаемых

А) определение подобных слагаемых

Слагаемые, отличающиеся только числовым множителем, называются подобными.

Б) Правило приведения подобных слагаемых

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и полученный результат умножить на их общий буквенный множитель.

14. Определение уравнения

Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестные числа, обозначенные буквами (значения которых надо найти).

15. Знак, который делит уравнение на левую и правую части – это знак «=».

6х-5 = 10

Левая часть правая часть

16. Определение корня уравнения

Корнем (или решением) уравнения называется то значение неизвестной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Для уравнения 2х+2=8

х=3 – корень уравнения, т.к. 2*3+2=8 = верно, а х=4 – не является корнем, т.к. 2*4+28.

17. Количество корней уравнения

Уравнение может иметь один корень, два, несколько или бесчисленное множество корней, а может совсем не иметь корней.

2х+7=1 имеет один корень — х=-3;

имеет два корня: ;

(х-3)(х-2)(х+1)=0 имеет три корня: ;

— не имеет корней;

— бесконечное множество корней.

18. Что значит решить уравнение

19. Решение уравнений с помощью правил нахождения количества действий

А) неизвестного слагаемого

Чтобы найти неизвестно слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример. Решите уравнение 78+х=100

Б) неизвестного вычитаемого

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Пример. Решите уравнение 108-х=96.

В) неизвестного уменьшаемого

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Пример. Решите уравнение х-34=32.

Г) неизвестного множителя

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Пример. Решите уравнение 5х=15.

Д) неизвестного делимого

Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

Пример. Решите уравнение х:21=16.

Е) неизвестного делителя

Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Пример. Решите уравнение 576:х=18.

20. Определение равносильных уравнений

Два уравнения называются равносильными, если каждое из них имеет те же корни, что и другое. Равносильными считают и те уравнение, которые не имеют корней.

21. Действия, позволяющие заменить данное уравнение равносильным ему

А) преобразование выражений (см. 13);

Б) Применение основных свойств уравнений (см. 22);

22. Основные свойства уравнений

А) о переносе слагаемых из одной части уравнения в другую

Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный. При этом получим уравнение, равносильное данному.

5х=21-2х и 5х+2х=21 имеют одни и те же корни.

Б) об умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, которое имеет те же корни, что и данное.

Пример. Решить уравнение .

Умножим обе части уравнения на 4:

2х=-3-х;

23. В чём заключается процесс решения уравнений

Процесс решения уравнений – это замена данного уравнения более простым уравнением, равносильным данному, которое мы получаем, используя (тождественные) преобразования выражений и свойства уравнений.

IV Определенные правила, используемые при решении задач на составление уравнения

24. Правило 1. Если в задаче несколько неизвестных, то обозначаем буквой х меньшее из них, либо то, с которым сравниваются остальные неизвестные.

1) Пример. Задача 1. В одной корзине в 3 раза меньше яблок, чем в другой, а вместе в двух корзинах 28 кг. Сколько килограммов яблок в каждой корзине?

Можно записать сначала условие как в младших классах, а затем обозначить неизвестные.

х кг

Если обозначить наоборот:

х:3 кг

то получаем уравнение , которое решить труднее, чем уравнение х+3х=28.

2) Задача 2. В трёх цехах завода 115 рабочих. В 1 цехе в 2 раза больше, чем во втором, а третьем на 5 меньше, чем во 2. Сколько рабочих в каждом цехе?

Решение

2х раб.

Например, если число а больше числа b на 5, то это условие можно записать таким образом:

a-b=5 или a-5=b, или b+5=a.

Задача 3. В одном ящике было в 5 раз больше винограда, чем в другом. Сколько килограммов винограда было в каждом ящике, если во втором было на 40 кг меньше, чем в первом?

Правильно записанное короткое условие задачи даёт возможность легко составить уравнение.

Значит, во втором ящике было 10 кг, а в первом 5*10=50 кг.

26. Правило 3. Если в задаче известно, во сколько раз одна величина меньше (больше), чем другая, то уравнение можно составить, используя три способа.

Например, если число а больше числа b в 5 раз, то это условие можно записать так: а=5 b или b =5: a , или b =1/5 a .

Задача 4. Я на 6 лет старше своей сестры, а она моложе меня в 4 раза. Сколько лет мне и моей сестре?

Я – (х+6) лет

Сестра – х лет, в 4 раза

Значит, сестре 2 года, тогда мне 2+6=8 лет.

Ответ: 2 года, 8 лет.

27. Правило 4. Во время решения задач на движение нужно, чтобы единицы измерения были в одной системе (км/час, час, км). Следует обратить внимание на единицы измерения времени.

Например, 1 ч 12 мин=

V Типы задач и запись их условий

28. 1) Условие задач на движение удобно изображать с помощью схемы

2) Тип 1. Задачи на движение по суше

Задача 5. Расстояние между двумя городами автомобиль преодолевает за 1,5 часа, а мотоциклист за 2 часа. Найдите расстояние между городами, если скорость мотоциклиста на 18 км/ч меньше скорости автомобиля.

Условие можно записать в таблицу

Значит, скорость мотоциклиста 54 км/ч, а расстояние между городами 2*54=108 км.

3) Тип 2. Задачи на движение по воде

В этих задачах есть собственная скорость катера (лодки и т.п.), которая должна быть больше скорости течения, и скорость течения. Тогда скорость катера и скорость течения. Тогда скорость катера

; (в озере стоячая вода)

.

Задача 6. Катер прошёл по реке от пристани А до пристани В и вернулся назад. От пристани А до пристани В катер шёл 2 часа. Через 2,5 часа после выхода катера от пристани В ему осталось пройти до пристани А ещё 3 км. Найдите расстояние между пристанями, если скорость течения реки 3 км/час.

Анализируем условие задачи. На путь о пристани А до В катер затратил меньше времени, чем на обратный путь, поэтому от пристани А до пристани В он шёл по течению реки. Запишем условие, обращая внимание на допустимые значения х.

А В (по теч.)

2(х+3)

В А (против теч.)

4) Тип 3. Задачи экономического содержания

Во время решения задач по теме «Цена, количество, стоимость» условие удобно записывать с помощью таблицы, выражая цену и стоимость в гривнях или в копейках.

Задача 7. За 7 тетрадей и 4 альбома для рисования заплптили 5 грн. 41 к. Сколько стоит одна тетрадь и одни альбом, если альбом дороже тетради на 72 к.?

Стоимость, к.

Получаем уравнение: 7х+ 4(х+2)=541.

5) Тип 4. Задачи геометрического содержания

а

Площадь: S =.

Задача 8. Длина прямоугольника в 4 раза больше его ширины, а периметр равен 60 м. Найдите площадь прямоугольника.

Условие можно записать так:

Площадь S =? ;

Значит, ширина прямоугольника 6м, а длина 4*6=24 м. Тогда площадь равна 6*24=144.

Ответ: 144.

Задача 9. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на другом. После того, как из первого склада взяли 20 телевизоров, а на другой привезли 14, на обоих складах стало поровну телевизоров. Сколько телевизоров было на каждом складе сначала?

Стало

Получаем уравнение: 3х-20=х+14.

7) Тип 6. Задачи на нахождение дроби от числа

Задача 10. Велосипедист проехал 5/7 запланированного пути и ещё 40 км, после чего ему осталось проехать 0,75 пути без 118 км. Какова длина всего пути?

С помощью схемы (см. рис) составим краткое условие задачи.

(5/7х+40)км (0,75х-118)км

Получаем уравнение: (5/7х+40)+ (0,75-118)=х.

8) Тип 7. Задачи на проценты

Задача 11. Кусок сплава меди, цинка и олова содержит 40% меди и 120 г олова. Найдите массу этого куска, если в нём цинка на 50 г меньше, чем меди.

Запишем проценты в виде дроби.

Медь – 0,4х г;

Получаем уравнение: 0,4х+(0,4х-50)+120=х.

9) Задачи повышенной сложности.

Задача 12 (сборник Сканави, №13.001). Из четырёх чисел первые три относятся как , а четвёртое составляет 15% второго. Найдите эти числа, если известно, что второе число больше суммы других на 8 единиц.

Рассмотрим отношения: . Значит, данные числа относятся как 6:10:1. Имеем:

Получаем уравнение: 10х-(6х+х+1,5х)=8.

Задача 13. (Сборник Сканави, 3 13.003). В двух баках 70 л воды. Если из первого бака перелить во второй 12,55 воды, вмещавшейся в нём, то в обоих баках воды станет поровну. Сколько литров воды в каждом баке?

Обратим внимание, что известна сумма. Обозначив через х количество воды в первом баке, будем иметь в другом баке (70-х)л.

Запишем условие в таблицу.

х — поровну

(70-х)+

Получаем уравнение: х-= (70-х)+ .

Задача 14. Цену товара снизили сначала на 20%¸ потом новую цену снизили ещё на 15% и в третий раз снизили цену товара ещё на 10%. На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?

После первого снижение на 20% — 0,8х грн.

После третьего снижения на 10% — 0,8х*0,85*0,9 грн.

Последняя цена составляет 0,8*0,85*0,9х=0,6120х=61,2%х.

29. Алгоритм решения уравнений

1. Избавиться от знаменателей

3. Перенести члены с переменными в левую часть уравнения,

а другие – в правую

4. Привести подобные слагаемые

30. Порядок выполнения действий в числовых выражениях

Источник