Что значит найти гмт

Геометрическое место точек. Метод геометрических мест

Определение: Геометрическим местом точек называется геометрическая фигура на плоскости, каждая точка которой обладает одним и тем же определенным свойством.

Метод геометрических мест применяется чаще всего при построениях. Например, серединный перпендикуляр к отрезку можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от точек концов отрезков; окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Теорема (о геометрическом месте точек). Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Доказательство. Пусть даны точки А и В, а точка С – середина отрезка АВ. Нужно найти геометрическое место точек, равноудаленных от точек А и В.

Доказательство основано на свойстве серединного перпендикуляра к отрезку.

Допустим, что есть еще точка К₁, расстояние до которой от А и В одинаково.

Рассмотрим ∆АК₁В, он разбит отрезком К₁С на два треугольника: ∆АК₁С и ∆К₁СВ. Если эти треугольники равны, то точка К₁ тоже удалена на одинаковое расстояние от А и В.

Через точку С проходят две прямые СК и СК₁. На основании теоремы 16 (о единственности перпендикуляра из точки к прямой), если СКꓕАВ по построению, то СК₁ не может быть перпендикулярна АВ.

Метод геометрических мест

Построить точку Х, равноудаленную от А и В и находящуюся на расстоянии h от точки С.

1.Построим геометрическое место точек, удовлетворяющее первому условию: это будет серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Прямая а, которая содержит серединный перпендикуляр к отрезку АВ, удовлетворяет полностью первому условию.

2.На перпендикуляре (прямая а) должна находится точка Х, которая удовлетворяла бы второму условию (расстояние от нее до С должно составлять h).

Если из точки С радиусом h провести окружность, то все точки окружности будут расположены от С на одинаковом расстоянии h (построили второе геометрическое место точек, равноудаленных от С).

3.Пересечение первого геометрического места точек (прямая а) и второго (окружности с центром в точке С) будет удовлетворять обоим условиям задачи. Точки пересечения окружности и прямой (Х₁ и Х) и будут теми искомыми точками, которые равноудалены от точек А и В и находятся от С на расстоянии h.

Источник

Геометрические места точек

Определение.

Геометрическим местом точек (в дальнейшем ГМТ), называется фигура плоскости, состоящая из точек обладающих некоторым свойством, и не содержащая ни одной точки, не обладающей этим свойством.

Мы будем рассматривать только те ГМТ, которые можно построить с помощью циркуля и линейки.

Рассмотрим ГМТ на плоскости, обладающие простейшими и наиболее часто выражающимися свойствами:

1) ГМТ, отстоящих на данном расстоянии r от данной точки О, есть окружность с центром в точке О радиуса r.

2) ГМТ равноудаленных от двух данных точек А и В, есть прямая, перпендикулярная к отрезку АВ и проходящая через его середину.

3) ГМТ равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, есть пара взаимно перпендикулярных прямых, проходящих через точку пересечения и делящих углы между данными прямыми пополам.

4) ГМТ, отстоящих на одинаковом расстоянии h от прямой, есть две прямые, параллельные этой прямой и находящиеся по разные стороны от нее на данном расстоянии h.

5) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной прямой m в данной на ней точке М, есть перпендикуляр к АВ в точке М (кроме точки М).

6) Геометрическое место центров окружностей, касающихся данной окружности в данной на ней очке М, есть прямая, проходящая через точку М и центр данной окружности (кроме точек М и О).

7) ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, составляет две дуги окружностей, описанных на данном отрезке и вмещающих данный угол.

8) ГМТ, расстояния от которых до двух данных точек А и В находятся в отношении m : n, есть окружность (называемая окружностью Аполлония).

9) Геометрическое место середин хорд, проведенных из одной точки окружности, есть окружность, построенная на отрезке, соединяющем данную точку с центром данной окружности, как на диаметре.

10) Геометрическое место вершин треугольников равновеликих данному и имеющих общее основание, составляет две прямые, параллельные основанию и проходящие через вершину данного треугольника и ему симметричного относительно прямой, содержащей основание.

Приведем примеры отыскания ГМТ.

ПРИМЕР 2. Найти ГМТ, являющихся серединами хорд, проведенных из одной точки данной окружности (ГМТ № 9).

Часто метод координат позволяет находить ГМТ.

ПРИМЕР 3. Найти ГМТ, расстояние от которых до двух данных точек А и В находятся в данном отношении m : n (m ≠ n).

(*)

Преобразуем наше равенство. Имеем

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, получаем

Разделим левую и правую части последнего неравенства на (это можно сделать, так как по условию ), затем выделим полный квадрат относительно х. Получаем

или

(**)

Но последнее уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом Таким образом, если точка удовлетворяет условиям задачи, то она принадлежит (**).

Обратно, пусть координаты точки С(x,y) удовлетворяют уравнению (**). Проделывая все выкладки в обратную сторону, приходим к равенству (*), что и доказывает принадлежность точки С нашему ГМТ.

Источник

Материал по математике «Геометрические места точек»

Описание разработки

Геометрическим местом точек (ГМТ) с данным свойством называется множество всех точек пространства, обладающих этим свойством.

В решении задач ГМТ должны присутствовать три момента:

1) предъявлено множество Р, про которое мы утверждаем, что оно-искомое;

2) доказано, что каждая точка множества Р обладает заданным свойством;

3) доказано, что нет других точек, обладающих данным свойством.

Важнейшими ГМТ в пространстве являются следующие:

а) ГМТ, удаленных на расстояние R > 0 от данной точки О, есть (по определению) сфера радиуса R с центром в точке О.

б) ГМТ, равноудаленных от двух различных точек А и В есть плоскость Р, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.

в) ГМТ, равноудаленных от трех не лежащих на одной прямой точек А, В и С есть прямая, перпендикулярная плоскости АВС и проходящая через центр окружности, описанной около треугольника АВС.

г) ГМТ, равноудаленных от сторон двугранного угла, есть его биссектральная плоскость.

д) Геометрическим местом точек М (х, у, z) пространства с системой координат Охуz таких, что Ах + Ву + Сz + D = 0 (А, В, С, D – числа такие, что А 2 + В 2 + С 2 не равно 0) является плоскостью, перпендикулярная вектору n .

Если мы знаем ГМТ, М₁, определяемое свойством Р₁ и ГМТ М₂, определяемое свойством Р₂, то ГМТ, для которых одновременно выполняются свойства Р₁ и Р₂, есть пересечение множеств М₁ и М₂.

Как правило, можно понять, как устроено искомое ГМТ, если разбить данное свойство на более простые, найти соответствующие более простые ГМТ и из них построить искомое. Иногда удается ввести систему координат и записать данное свойство в виде формулы f(х, у, z ) = 0. Иногда нужно угадать хорошую геометрическую закономерность, присутствующую в данном свойстве.

Задача 1. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из точки А на всевозможные прямые, проходящие через фиксированную точку В.

Решение. Искомое ГМТ есть сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре. В самом деле, если мы проведем произвольную плоскость через прямую АВ, то из всех точек искомого ГМТ в этой плоскости отрезок АВ будет виден под прямым углом, так что пересечение искомого ГМТ с плоскостью, проходящей через прямую АВ есть окружность, построенная на АВ как на диаметре.

Теперь уже ясно, что ГМТ обязано быть сферой радиуса AB/2 с центром в середине АВ.

Ответ: сфера, построенная на отрезке АВ как на диаметре.

Решение. Возьмем такую же систему координат, как в предыдущей задаче. Точка М (х, у, z ) принадлежит искомому ГМТ, если и только если

Очевидно, это уравнение плоскости, пертендикулярной оси Ох, т. е. прямой АВ. Точка пересечения этой плоскости с прямой АВ зависит от числа b 2 /4a.

Ответ: плоскость, перпендикулярная прямой АВ, пересекающая ее правее середины отрезка АВ на расстоянии b 2 /2AB от нее.

Задачи для самостоятельного решения.

Дана сфера. Найдите геометрическое место центров сфер, вписанных в тетраэдры, вписанные в данную сферу.

В провтранстве дана точка А. Найдите геометрическое место проекций А на всевозможные плоскости, проходящие через прчмую f, не содержащую точку А.

В пространстве дана точка О и две прямые. Найдите геометрическое место точек М, для которых сумма длин проекций отрезка ОМ на данные прямые есть величина постоянная.

Найдите геометрическое место середин общих касательных к двум заданным сферам.

Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных пересекающихся прямых.

Источник

Геометрическое место точек (методический материал)

Описание разработки

Определения.

Геометрическое место – термин, применявшийся в старой литературе по геометрии и до сих пор применяющийся в учебной литературе, для обозначения множества точек, удовлетворяющих некоторому условию, как правило, геометрического характера.

Например: геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек A и B – это серединный перпендикуляр к отрезку AB. Иногда говорят и о геометрическом месте прямых и других фигур.

Название связано с представлением о линии как о «месте», на котором располагаются точки.

Серединный перпендикуляр к отрезку есть геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка.

Окружность есть геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки, называемой центром окружности.

Парабола есть геометрическое место точек, равноудалённых от точки (называемой фокусом) и прямой (называемой директрисой).

Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO перпендикулярно AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d.

Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от его сторон.

Окружность есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (на рис. показана одна из этих точек – А).

Источник

• ← Что значит найти геометрическое место точек
• Что значит найти грамматическую основу в предложении →