Что значит найдите наименьшее значение выражения

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Решение:

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции

Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Источник

Нахождение наименьшего значения выражения

Найдите наименьшее значение выражения и значения х и у, при которых оно достигается:

.

Решение задачи

Данный урок показывает, как используя свойства модуля функции, перевести выражения, значение которого необходимо определить, в систему линейных уравнений с двумя неизвестными. При решении данного задания следует помнить, что минимальное значение модуля любого выражения это нуль (модуль любого значения не может быть отрицательным числом), а значит, минимальное значение выражения, которое записано внутри функций, содержащих модуль, также обращается в нуль. Так как по условию задачи у нас сумма двух модулей с двумя неизвестными, то и линейных уравнений мы получаем два – а это уже система двух линейных уравнений. Для решение данной системы можно использовать один из способов: метод сложения (сложение двух уравнений, приведя коэффициенты одной из неизвестных к одинаковому значению, но с противоположным знаком) или метод подстановки (выражение в одном уравнении одной неизвестной через другую и подстановка этого значения во второе уравнения, получая тем самым линейное уравнение с одной переменной). Нахождение значений неизвестных – это вторая часть вопроса, на первый мы уже ответили; минимальное значение суммы квадратов – это нуль.

Решение данной задачи рекомендовано для учащихся 9-х классов при изучении темы «Системы уравнений» («Основные определения, примеры систем двух уравнений», «Метод подстановки», «Метод алгебраического сложения»). При подготовке к ОГЭ урок рекомендован при повторении темы «Системы уравнений».

Источник

Что значит найдите наименьшее значение выражения

а) Можно ли при n = 5 написать на доске такие числа, чтобы также выполнялось равенство a₂ = a₅?

б) Можно ли при n = 100 написать на доске такие числа, сумма которых равна 2020?

в) При n = 10 на доске написаны такие числа, сумма которых равна 15. Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

а) Пусть такие числа написаны. Поскольку по условию выполнены равенства и получаем

Следовательно, если также выполняется равенство то Пришли к противоречию.

б) Пусть такие числа написаны. Поскольку при каждом натуральном числе по условию выполнены равенства и получаем

при каждом натуральном числе Значит,

При и при каждом натуральном числе имеем

в) Пусть такие числа написаны. Аналогично доказанному в п. б) получаем

Значит, сумма квадратов всех написанных чисел будет минимальна тогда и только тогда, когда максимально выражение Поскольку функция возрастает при и убывает при наибольшее значение выражения для целых равно 56. Оно достигается при и Таким образом, получаем, что сумма квадратов всех написанных чисел принимает наименьшее значение при и при каждом натуральном числе а также при и при каждом натуральном числе Это значение равно

Ответ: а) нет; б) да; в) 343.

Аналоги к заданию № 561735: 561776 Все

Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции на отрезке [−1; 3] не меньшее, чем −5.

Потребовать, чтобы наименьшее значение функции было не меньше чем −5 это все равно что потребовать, чтобы все ее значения были не меньше чем −5. То есть неравенство должно выполняться на всем промежутке То есть

Теперь заметим, что и наоборот — достаточно чтобы эти неравенства выполнялись в нескольких точках, если только одна из них (можно не выяснять какая) будет точкой с наименьшим значением. Поскольку квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом на любом отрезке принимает наименьшее значение либо в абсциссе вершины параболы — его графика (если эта точка лежит на отрезке) либо в одном из концов отрезка (если не лежит), то нужно проверить следующие неравенства

(верно при ),

(верно при ),

(верно при ).

при то есть при (нас не интересует, поскольку уже установлено что

при то есть при (то есть это обязательно надо проверить, при указанная точка точно лежит на интересующем нас отрезке).

Итак, совмещая все ограничения, получаем

Ответ:

Найдите все значения параметра при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

При получаем, что График этой функции на рассматриваемом промежутке состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии При находим а график этой функции на рассматриваемом промежутке — часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Наименьшее значение функции может принять только в точках или Поэтому наименьшее значение функции больше 1 тогда и только тогда, когда:

Если то второе неравенство принимает вид откуда Этот промежуток содержит интервал

Если то откуда Значит,

Объединяя найденные промежутки, получаем:

Ответ:

Приведём другое решение.

1. При функция принимает вид: а ее график есть две части параболы с ветвями, направленными вверх и осью симметрии

При функция принимает вид: а ее график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз и осью симметрии

Возможные виды графика функции показаны на рисунках.

2. Наименьшее значение функция может принимать только в точках или а если (то есть при ), то в точке

3. Следовательно, наименьшее значение функции больше тогда и только тогда, когда:

Ответ:

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n – также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n>100.

а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число x не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число x от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть a ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 кратно a.

Возможны три случая:

1) Число a не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число a делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна, соответственно, 475, 900, 1600 или 2400.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Длины сторон прямоугольника ― натуральные числа, а его периметр равен 200. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n ― также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n >100.

а) Так как периметр равен 200, то сумма смежных сторон прямоугольника равна 100. Известно, что наибольшее значение площади прямоугольника при фиксированном периметре достигается в том случае, если он является квадратом. Таким образом, его стороны должны быть равны 50, что не противоречит условию (длины обеих сторон натуральные числа, длина одной стороны равна 100% от длины другой). Значит, наибольшее значение площади прямоугольника равно 2500.

б) Пусть меньшая сторона прямоугольника (или равная другой стороне, если это квадрат) равна тогда другая сторона равна В этом случае площадь прямоугольника равна Графиком данной функции является парабола, ветви которой направлены вниз, а число не превосходит абсциссы вершины параболы. Следовательно, значение функции будет тем меньше, чем дальше находится число от абсциссы вершины. Таким образом, наименьшее значение функции достигается при а тогда площадь равна 99. В этом случае условие также соблюдается, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в) Пусть ― это сторона, n% от которой равны другой стороне. Тогда другая сторона равна Поскольку сумма смежных сторон прямоугольника равна 100, получаем:

Так как и ― целые числа, то число 10 000 кратно числу a.

Заметим, что так как Следовательно, требуется найти все делители числа 10 000, меньшие 50. Так как то искомый делитель может содержать в своем разложении на простые множители лишь 2 и 5, причем соответствующие степени не превосходят 4.

Возможны три случая:

1) Число не делится на 5. Тогда оно может быть только степенью двойки, причем не более, чем четвертой, т.е. a может принимать значения 1, 2, 4, 8 или 16, а площадь при этом будет равна, соответственно, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2) Число делится на 5, но не делится на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Площадь в этих случаях будет равна 475, 900, 1600 или 2400 соответственно.

3) Число a делится на 25. В этом случае оно может быть равно только 25. Тогда площадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875, 2400.

Аналоги к заданию № 501400: 501420 511358 Все

Дан выпуклый многоугольник M, который можно разрезать на 1292 квадрата площади 1.

а) Приведите пример такого многоугольника, если известно, что длина его наименьшей стороны больше 15.

б) Какое наибольшее число сторон может иметь многоугольник M?

в) Какое наибольшее и наименьшее значение может иметь периметр этого многоугольника?

а) Площадь многоугольника M равна Например, это может быть прямоугольник

б) Докажем, что многоугольник М является прямоугольником. Действительно, всякая вершина выпуклого многоугольника М является вершиной ровно одного из 1292 квадратов. Значит, все углы многоугольника М равны Пусть n — число вершин многоугольника М. Тогда откуда значит, многоугольник М — четырёхугольник,все углы которого равны т. е. прямоугольник. Тем самым, многоугольник М имеет 4 стороны.

в) Заметим, что стороны этого прямоугольника — целые числа. Пусть и — длины сторон прямоугольника Тогда а периметр прямоугольника М равен Заметим, что при фиксированном произведении положительных чисел и их сумма тем меньше, чем они ближе друг к другу, т. е. чем меньше величина Действительно, пусть и Тогда откуда и, следовательно,

Можно считать, что В силу сказанного выше, наибольший периметр имеет прямоугольник со сторонами Периметр такого прямоугольника равен 2586. Наименьший периметр будет иметь прямоугольник, у которого принимает наименьшее возможное значение. Перебирая возможные разложения числа 1292 на два множителя, убеждаемся в том, что наименьшее значение достигается при Периметр такого прямоугольника равен 144.

Другое решение пункта в):

Пусть a и b — длины сторон прямоугольника М. Тогда а периметр прямоугольника М равен где a и b ― натуральные числа. Исследуем функцию на отрезке [1; 1292]. Её производная: Так как на рассматриваемом отрезке при при и при своё наибольшее значение на этом отрезке функция принимает на одном из его концов, а наименьшее ― в точке

Поскольку число 1293 и является наибольшим значением функции, а наибольший периметр прямоугольника М равен 2586. Заметим, что и ближайшие слева и справа к натуральные числа, являющиеся делителями числа 1292, ― числа 34 и 38. Поскольку наименьший периметр прямоугольника M равен 144.

Ответ: а) Прямоугольник в) 2586; 144.

Источник