Что значит мощность множества

Мощность множества

Содержание

Определения [ править ]

Мощность счетных множеств минимальна по сравнению с другими бесконечными множествами.

Мощность Q [ править ]

[math] B \subset A [/math]

[math] a_1 \in A \Rightarrow A \backslash \ < a_1 \>= A_1 [/math] — бесконечное множество.

[math] a_2 \in A_1 \Rightarrow A_1 \backslash \ < a_2 \>= A_2 [/math] — также бесконечное множество.

Для счетных множеств часто применяется следующий важный факт:

Выпишем все элементы этих множеств в таблицу:

[math] \begin a^1_1 & a^1_2 & a^1_3 & \cdots \\ \\ a^2_1 & a^2_2 & a^2_3 & \cdots \\ \\ a^3_1 & a^3_2 & a^3_3 & \cdots \\ \\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end [/math]

Будем нумеровать их по диагоналям: [math] \begin 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ a^1_1 & a^2_1 & a^1_2 & a^3_1 & a^2_2 & a^1_3 & \cdots \end [/math]

В частности, множество рациональных чисел [math] \mathbb Q [/math] — счетно.

Континуум [ править ]

Будем доказывать от противного. Применим принцип вложенных отрезков:

В результате выстраивается система вложенных отрезков:

[math] \ < \Delta_n : \Delta_\subset \Delta_n, x_n \notin \Delta_n \> [/math]

По свойству системы вложенных отрезков:

[math] \exists d = \bigcap\limits_^ <\infty>\Delta_n [/math]

Мощность R [ править ]

Применим следующий прием:

Между счетными множествами можно установить биекцию: [math] B \leftrightarrow A \Rightarrow (0, 1) \backslash A \leftrightarrow [0, 1] \backslash B \Rightarrow (0, 1) \leftrightarrow [0, 1] \Rightarrow |(0, 1)| = |[0, 1]| [/math]

В итоге получили, что [math] |\mathbb R| = |[0, 1]| [/math][math]\triangleleft[/math]

Так как [math] \mathbb Q [/math] — счетно. [math] |\mathbb R \backslash \mathbb Q| = |I| \Rightarrow [/math] иррациональных чисел по мощности континииум.

Источник

Мощность множества

Мощность множества, кардинальное число множества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Мощность множества обозначается через . Сам Кантор использовал обозначение . Иногда встречаются обозначения и .

Содержание

Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности.

Комментарий

Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является множеством.

Связанные определения

Примеры

Свойства

См. также

Литература

Полезное

Смотреть что такое «Мощность множества» в других словарях:

Мощность множества — в математике, обобщение на произвольные множества понятия «число элементов». М. м. определяется методом абстракции как то общее, что есть у всех множеств, эквивалентных (количественно) данному; при этом два множества называемых… … Большая советская энциклопедия

МОЩНОСТЬ (в математике) — МОЩНОСТЬ множества, понятие теории множеств, обобщающее на произвольные множества понятие «число элементов». Мощность множества характеризует то общее, что присуще всем множествам, количественно эквивалентным данному; при этом два множества… … Энциклопедический словарь

мощность — и; ж. 1. к Мощный (1 5 зн.). М. голоса. М. землетрясения. Удивиться мощности животного. М. организма. М. угольного пласта. М. государства. Проверить м. армии. 2. Физ., техн. Величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение… … Энциклопедический словарь

Мощность — 1) (в физике) некоторая физическая величина, характеризующая работу в единицу времени (имеет место в механике, электричестве, акустике, оптике и т. д.); 2) (в математике) определяют мощность множества, которая характеризует то общеелчто присуще… … Начала современного естествознания

Мощность (значения) — Мощность: Мощность (в физике и технике) отношение работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени. Мощность множества (в математике) число элементов множества. Вычислительная мощность компьютера число операций,… … Википедия

МОЩНОСТЬ — кардинальное число, множества А такое свойство этого множества, к рое присуще любому множеству В, эквивалентному А. При этом два множества наз. эквивалентными (или равно мощным и), если между ними возможно установить взаимно однозначное… … Математическая энциклопедия

Мощность статистических критериев (power of tests) — Проверка гипотезы предполагает сопоставление двух конкурирующих гипотез. Нулевая гипотеза указывает на невозможность редких, необычных событий. Альтернативная гипотеза, напротив, утверждает, что такие события возможны. Напр., нулевая гипотеза… … Психологическая энциклопедия

Упорядоченные и частично упорядоченные множества — (математичексие) множества, в которых каким либо способом установлен порядок следования их элементов или, соответственно, частичный порядок. Понятия порядка и частичного порядка следования элементов определяются следующим образом. Говорят … Большая советская энциклопедия

Источник

Что значит мощность множества

Работы основателя этой теории, Георга Кантора из Галле, исходят как раз от исследований вопроса о существовании трансцендентных чисел и дают этому факту совершенно иное освещение.

Если тот краткий обзор учения о множествах, который я намерен вам предложить, имеет какую-либо особенность, то последняя заключается в том, что на первый план выступает изучение конкретных примеров вместо отвлеченных рассуждений совершенно общего характера, вследствие которых учение о множествах часто принимает весьма трудную для понимания форму, отпугивающую читателя.

1. Мощность множества

В соответствии со сказанным я прежде всего напомню вам, что в течение этих лекций мы не раз имели дело с различными характерными собраниями чисел, которые мы теперь будем называть числовыми совокупностями или множествами. В области действительных чисел мы имели дело с такими множествами:

1) целые положительные числа,

2) рациональные числа,

3) алгебраические числа,

4) все действительные числа.

Каждое из этих множеств содержит бесконечно много чисел. И вот прежде всего возникает такой вопрос: нельзя ли, несмотря на это, в некотором определенном смысле сравнить между собой эти множества по величине или объему: другими словами, нельзя ли «бесконечность» одного множества считать большей, равной или меньшей, чем «бесконечность» другого множества? Великой заслугой Кантора является то, что он установил точные понятия и с их помощью разъяснил и разрешил этот на первый взгляд совершенно неопределенный вопрос. А именно, здесь на первом плане стоит понятие мощности или кардинального числа: два множества имеют одинаковую мощность (эквивалентны), если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, т. е. если одно множество можно так отобразить на другое, что каждому элементу первого взаимно однозначно соответствует некоторый элемент второго. Если же подобное отображение невозможно, то множества имеют различную мощность; при этом оказывается, что в последнем случае, каким бы образом мы ни пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которое имеет поэтому «большую мощность».

Все это мы поясним теперь на четырех упомянутых выше примерах. Может быть, на первый взгляд кажется естественным считать, что мощность множества натуральных чисел меньше мощности множества всех рациональных чисел, а эта последняя в свою очередь меньше мощности всех алгебраических чисел и что, наконец, последняя меньше мощности всех действительных чисел, ибо каждое из этих множеств возникает из предшествующего путем присоединения новых элементов. Но в действительности такое заключение лишено всякого основания: хотя всякое конечное множество всегда имеет большую мощность, чем любая его собственная часть, но это предложение ни в какком случае нельзя переносить на бесконечные множества.

В конце концов такие уклонения не так уж удивительны, если иметь в виду, что здесь мы переходим в совершенно новую область.

Убедимся сперва на совсем простом примере в том, что собственная часть бесконечного множества действительно может иметь равную с ним мощность; для этого мы сравним множество всех натуральных чисел с множеством всех четных чисел:

Сопоставление, указываемое двойными стрелками, очевидно, обладает описанными выше свойствами, а именно, всякому элементу одного множества соответствует один и только один элемент другого множества. Следовательно, согласно определению Кантора, множество натуральных чисел имеет такую же мощность, как и его собственная часть, состоящая из четных чисел.

Итак, исследование мощностей наших четырех множеств не так уж просто. Тем поразительнее тот простой результат, который составляет содержание замечательного открытия Кантора, сделанного им в 1873 г.: три множества — всех натуральных, всех рациональных и всех алгебраических чисел — имеют одинаковую мощность, а множество всех действительных чисел имеет отличную от них, а именно, большую мощность. Множество, которое допускает взаимно однозначное сопоставление его элементов с натуральным рядом чисел (которое, следовательно, имеет с последним одинаковую мощность), называют счетным. Теперь мы можем так выразить упомянутую теорему: все рациональные, а также все алгебраические числа образуют счетное множество, а множество всех действительных чисел представляет собой несчетное множество.

Источник

Мощность множества

Мо́щность мно́жества, кардина́льное число́ мно́жества (лат. cardinalis ← cardo — главное обстоятельство, стержень, сердцевина) — характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

В основе этого понятия лежат естественные представления о сравнении множеств:

До построения теории мощности множеств, множества различались по признакам: пустое/непустое и конечное/бесконечное, также конечные множества различались по количеству элементов. Бесконечные же множества нельзя было сравнить.

Мощность множеств позволяет сравнивать бесконечные множества. Например, счётные множества являются самыми «маленькими» бесконечными множествами.

Обычные арифметические операции над числами натурального ряда можно обобщить на случай кардинальных чисел. Можно также показать, что в случае конечных кардинальных чисел эти операции совпадают с соответствующим арифметическими действиями над числами. Помимо этого, операции над кардинальными числами сохраняют многие свойства обычных арифметических операций.

Следующее по порядку кардинальное число

Сложение кардинальных чисел

Нейтральность нуля относительно сложения:

Монотонность (неубывание) сложения по обоим аргументам:

Вычитание

Умножение кардинальных чисел

Нейтральность единицы относительно умножения:

Монотонность (неубывание) умножения по обоим аргументам:

Дистрибутивность умножения относительно сложения:

Деление

Возведение кардинальных чисел в степень

Возведение в степень определяется следующим образом:

κ 0 = 1 <\displaystyle \kappa ^<0>=1> (в частности, 0 0 = 1 <\displaystyle 0^<0>=1> ), см. Пустая функция 1 ≤ μ → 0 μ = 0 <\displaystyle 1\leq \mu \rightarrow 0^<\mu >=0> 1 μ = 1 <\displaystyle 1^<\mu >=1> κ 1 = κ <\displaystyle \kappa ^<1>=\kappa > κ μ + ν = κ μ ⋅ κ ν <\displaystyle \kappa ^<\mu +\nu >=\kappa ^<\mu >\cdot \kappa ^<\nu >> κ μ ⋅ ν = ( κ μ ) ν <\displaystyle \kappa ^<\mu \cdot \nu >=(\kappa ^<\mu >)^<\nu >> ( κ ⋅ μ ) ν = κ ν ⋅ μ ν <\displaystyle (\kappa \cdot \mu )^<\nu >=\kappa ^<\nu >\cdot \mu ^<\nu >>

1 ≤ ν ∧ κ ≤ μ → ν κ ≤ ν μ <\displaystyle 1\leq \nu \land \kappa \leq \mu \rightarrow \nu ^<\kappa >\leq \nu ^<\mu >> κ ≤ μ → κ ν ≤ μ ν <\displaystyle \kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^<\nu >\leq \mu ^<\nu >>

Все последующие утверждения, приведенные в этом разделе, опираются на аксиому выбора.

Извлечение корней

Логарифмы

Источник

Мощность множества

Нам нужно осмыслить полученный резуль­тат и подвести некоторые итоги всему до сих пор сказанному. Мы начали с понятия взаим­но-однозначного соответствия между двумя множествами, возможность которого (в случае конечных множеств) равносильна тому, что оба множества состоят из одного и того же числа элементов. Это обстоятельство указывает путь и к установлению количественного равенства, или количественной эквивалентно­сти, между двумя бесконечными множест­вами. Мы скажем, что два (конечных или бес­конечных) множества количественно эквива­лентны, или имеют одну и ту же мощность, если между ними возможно установить взаим­но-однозначное соответствие. Понятие «одина­ковой мощности» означает для конечных мно­жеств, что они состоят из одного и того же числа элементов.

Для того чтобы убедиться в том, что всякое несчетное множество имеет большую мощность, чем каждое счетное множество (все счетные мно­жества имеют, очевидно, одну и ту же мощ­ность), надо доказать следующие два пред­ложения:

1. Всякое подмножество счетного множе­ства или конечно, или счетно.

2. Всякое бесконечное (значит, в частности, всякое несчетное) множество содержит счетное.

Доказательство первого утверждения. Пусть X — счетное множество, Х₀ — какое-нибудь подмножество (т. е. часть) множества X. Элементы множества X могут быть занумерованы посредством натуральных чисел, т. е. записаны в виде:

Среди этих элементов содержатся и все элементы множества Х₀. Пусть это будут — в порядке возрастания номеров в последовательности (2) — элементы:

Возможно одно из двух: или последовательность (3) обрывается на каком-то конечном

шаге k, т. е. множество Х₀ состоит из конеч­ного числа элементов:

или же мы имеем бесконечную последовательность:
которую можем переписать, полагая

в виде:

непосредственно показывающем, что Х₀ — счетное множество.

Доказательство второго ут­верждения. Пусть X — бесконечное мно­жество. Выбираем в X какой-нибудь элемент x₁.

Несомненно, в X имеются элементы, отлич­ные от х₁ (иначе X состояло бы из одного элемента и было бы конечным). Возьмем один из таких элементов и обозначим его через x₂, Элементы х₁ и х₂ не исчерпывают множества X, поэтому существует элемент х₃ множества X, отличный как от х₁, так и от x₂. И так далее. Продолжая этот процесс, получим счет­ное множество: x₁, x₂, x₃. x_n. содержаще­еся в X.

Итак, на вопрос, поставленный в начале нашего изложения: существуют ли бесконечные множества разных «степеней бесконечности» (т. е. разных мощностей),— мы можем ответить утвердительно: существуют состоящие. из действительных чисел множества двух раз­личных мощностей — множество всех дейст­вительных чисел какого-нибудь интервала, с одной стороны, и любое счетное множества действительных чисел (например, множество положительных рациональных чисел) — с дру­гой. К этому выводу мы пришли, обосновывая количественную оценку бесконечных множеств, при помощи понятия взаимно-однозначного со­ответствия. Однако не следует думать, что взаимно-однозначное соответствие между беско­нечными множествами во всем похоже на взаимно-однозначное соответствие между мно­жествами конечными.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

получим взаимно-однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и его частью — множеством одних лишь чет­ных чисел.

Другой пример: существует взаимно-одно­значное отображение между множеством всех действительных чисел (между всей числовой прямой) и любым ее интервалом.

Для того чтобы получить такое соответст­вие, можно поступить так. Построим в пло­скости окружность, касающуюся сверху оси абсцисс, и возьмем нижнюю полуокружность PQ этой окружности (рис. 4). Концы Р и Q полуокружности к ней не причисляются. Уста­новим взаимно-однозначное соответствие меж­ду всеми точками полуокружности PQ и всеми точками числовой прямой. Для этого сначала поставим в соответствие каждой точке x пря­мой ту точку h полуокружности, в которой ее пересекает луч, идущий из центра окруж­ности в точку x.

Теперь спроектируем полуокружность PQ на интервал Р’Q’ оси абсцисс и поставим в соответствие точке h полуокружности ее проекцию h’.

В результате каждой точке x прямой ока­залась поставленной в соответствие точка h’ интервала P’Q’, и полученное соответствие есть взаимно-однозначное отображение всей числовой прямой на интервал P’Q’.

Можно доказать и другие, кажущиеся на первый взгляд парадоксальными, теоремы в мощности различных множеств. Упомянем лишь одну из них: существует взаимно-одно­значное соответствие между всеми точками прямой и всеми точками плоскости.

Заметим, наконец, следующее. В матема­тике наибольшее значение имеют так называ­емые числовые множества, т. е. множества, эле­ментами которых являются действительные числа. Все известные в настоящее время чис­ловые множества или счетны, или имеют ту же мощность, что и вся числовая прямая. Воз­никла, таким образом, гипотеза, что всякое несчетное числовое множество имеет ту же мощность, что и вся числовая прямая. Эта гипотеза была высказана еще Кантором и из­вестна под названием континуум-гипотезы. Она не доказана до сих пор, что связано, по-види­мому, с большими трудностями, возникающими при рассмотрении произвольных числовых множеств. Трудности эти получают свое осве­щение в так называемой математической ло­гике, и мы о них здесь, конечно, говорить не можем.

Эта статья имеет своей целью дать лишь начальное представление о некоторых простей­ших понятиях обширной области математики — теории множеств, области, возникшей менее чем сто лет назад.

1 Всякий интервал числовой прямой может быть взаимно-однозначно отображен на интервал (0; 1) например, подобным растяжением или сжатием).

Источник