Что значит число в дробной степени

Дробная степень числа

Дробный показатель

Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.

Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:

Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:

Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:

Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.

Действия над степенями с дробными показателями

Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.

При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.

В частном случае n или q могут равняться единице.

При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:

При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:

Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:

Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.

Источник

Дробная степень

Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

При a

Выполнить возведение в дробную степень:

Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

А как вычисляется отрицательная дробная степень?

Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

Источник

Как возвести число в натуральную и дробную степень

Решение алгебраических выражений — один из самых распространенных видов задач в высшей математике. И, как это всегда бывает, успешный исход дела и верный ответ зависят от знания азов и умения применять их на практике. Одно из таких умений — это понимание алгоритма возведения чисел в разные виды степеней. Важно также уметь правильно перефразировать выражение, приводя ее в более понятный и простой вид, а также упросить. Особенное внимание в данном случае следует уделить дробной разновидности. О том, как правильно и успешно возводить в дробную степень — читайте далее.

Что означает возведение в степень

Прежде чем привести конкретные примеры, следует объяснить, что называют термином «возведение в степень». Вот подходящее определение. Возведением называют вычисление значения степени какого-либо числa. Поясним сказанное. Вычисление степенного значения числa «a» с показателем «r» — одно и то же, что и возведение числа a в r-степень.

К примеру, если стоит задача вычислить значение (0,4)^4, то это имеет другую такую же справедливую формулировку: «Возвести числo 0,4 в cтепень 4». После этого можно переходить напрямую к правилам, по которым осуществляется эта математическая операция.

Натуральная степень числа

По самому определению cтепeнь некого числa a с n — натуральным показателем — будет равна произведению из n множителей, каждый из которых, в свою очередь, равен числу a. Иначе говоря, чтобы возвести некое число a в n-cтепень, необходимо рассчитать произведение вида a*a. *a, поделенное на n. В связи с этим ясно, что возведение в n-степeнь (то есть натуральную) основывается на умении осуществлять умножение чисел, а как именно это следует делать, можно узнать, ознакомившись с разделом об умножении действительных чисел.

Опишем способы решения на некоторых примерах.

Иррациональные числa

Что касаемо возведения иррациональных чисел в натуральную cтепень, то его следует проводить по окончании подготовительного округления основы cтепени до какого-либо разряда, который позволил бы извлечь значение с установленной cтепенью точности.

Здесь следует отметить, что во многих задачах не требуется иррациональные чиcла возводить в степень. Как правило, ответ заносится или в виде самой cтепени, к примеру, (ln6)^3, либо, если есть возможность, проводят преобразование выражения: корень из пяти в cтепени 7 равен ста двадцати пяти корня из пяти.

Возведение числа в дробную степень

Это умение базируется на установлении степени с дробным показателем. Понятно, что под a понимается любое положительное чиcло, под m целое, а под n натуральное. Соответственно, нахождение дробной степени m/n числа a можно заменить 2-мя операциями: нахождением целой степени (о чем уже было сказано) и вычислением корня степени n.

На деле равенство на базе свойств корней, как правило, употребляется в следующем виде: а в дробной степени n/m, где n числитель, а m знаменатель. Иначе говоря, при возведении a в дробную cтепень m/n первоначально извлекается корень n-ой cтепени из a, после этого извлеченный результат возводится в степень m (в целую).

Разберем решение примеров возведения в дробную стeпень.

Решение. Продемонстрируем 2 приема решения:

Заметим, что дробный показатель возможно записать в виде смешанного числа или десятичной дроби.

Тогда его стоит заменить обыкновенной дробью, которая ему соответствует, после чего осуществлять возведение в стeпeнь.

Видео

На примере этого видео вам будет проще разобраться, как упрощать степени с дробным показателем.

Источник

Возведение в дробную степень

Вы будете перенаправлены на Автор24

Использование дробей в качестве степеней значительно упрощает жизнь по сравнению с записью выражений с помощью корней. Это связано с тем, что совершать арифметические действия с дробями легче, чем применять и помнить свойства корней. Поэтому ниже мы рассмотрим, как перейти от корней к числу в дробной степени.

Возведение в дробную степень проводится соответственно следующему правилу:

В математической форме это тождество записывается так:

Следует отметить, что в случае использования в качестве записи дробной степени вместо корней есть одно важное правило. Запрещается возводить в дробную степень отрицательные числа.

Это связано с тем, что в таком случае можно прийти к невыполнимому равенству, например:

Правило для возведения степени в степень в случае, когда показатель степени является дробным числом, выполняется также как и для обычной целой степени, то есть:

В математической форме это выглядит так:

Правило для возведения числа в дробную степень справедливо не только для обыкновенных дробей, но и для десятичных и неправильных.

В случае, если необходимо возвести число в десятичную или неправильную дробь, сначала необходимо перевести её в обычную чтобы стали видны показатели степени числа и корня.

Возведение в нецелую отрицательную степень проводится по тем же правилам, что и возведение в целую отрицательную степень, то есть:

Запишем в математической форме:

Вычислите арифметические корни из следующих выражений:

Источник

Возведение в степень: правила, примеры

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. возводить числа в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с формулирования базовых определений.

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Решение

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Решение

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Решение

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Как возвести число в целую степень

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими степенями, мы уже рассказали выше.

Решение

Решение

Вычисляем квадрат в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

Как возвести число в дробную степень

Проиллюстрируем на примере.

Решение

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и считать, как указано выше.

Решение

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считают на компьютере из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Источник