Что значит четная нечетная функция

Понятие четной и нечетной функции

Понятие четности и нечетности функции

Главное условие при исследовании функции на четность/нечетность — это симметричность области определения относительно 0. Если она не симметрична, то функция не является ни четной, ни нечетной, и дальнейшее исследование производить не нужно. Например, \(D(y)\in(-\infty;+\infty)\) симметрична относительно 0, а \(D(y):x\in(-5;9)\) — нет.

Четная функция

Функцию \(f(x)\) называют четной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=f(x).\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

График четной функции симметричен относительно оси Ох.

Нечетная функция

Функцию \(f(x)\) называют нечетной, если для любого значения х из области определения функции \(f(x)\) соблюдается равенство \(f(-x)=-f(x).\)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Произведение четной и нечетной функции

Произведение четной и нечетной функций есть нечетная функция.

Пусть \(f(x)\) — четная функция, а \(g(x)\) — нечетная. Тогда \(f(x)=f(-x), а g(-x)=-g(x).\)

Исследование функций в примерах

Доказать, что функция \(y=x^2\) четная.

1. Найдем область определения: \(D(y):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функцию \(f(x)=8x^3-7x.\)

1. Найдем область определения: \(D(f):x\in(-\infty;+\infty)\) — симметрична относительно 0.

Исследовать на четность и нечетность функции \(f_1(x)=\frac\) и \(f_2(x)=\frac4\)

Рассмотрим первую функцию:

1. Найдем область определения: x — любое число, кроме 1. Она не симметрична относительно 0, значит \( f_1(x)\) относится к функциям общего вида, то есть не является ни четной ни нечетной.

Рассмотрим вторую функцию:

Источник

Четные и нечетные функции

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Например, — четные функции.

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например, — нечетные функции.

Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:

1. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения функции

Проверим, является ли чётной или нечётной. Если функция четна. Если функция нечетна.

— значит, функция нечётная, её график симметричен относительно нуля.

2. Проверьте, является ли функция четной (нечетной)

Область определения: все действительные числа.

— чётная, как сумма двух чётных функций.

Её график симметричен относительно оси y.

3. Проверьте, является ли функция четной (нечетной).

Область определения функции симметрична относительно нуля.

— чётная, её график симметричен относительно оси y.

Источник

Чётные и нечётные функции

Сегодня мы разберём:

1. Определение

Примеры чётных функций:

Примеры нечётных функций:

2. Исследование функции на чётность

Чтобы узнать, является функция чётной или нечётной (или вообще общего вида), нужны две проверки:

Главное, чтобы функция была задана формулой, а не таблицей, графиком или ещё как. Тогда исследование на чётность занимает несколько секунд. Мы сейчас убедимся в этом, но сначала важное замечание.

Примеры симметричных множеств:

Примеры несимметричных множеств:

Первые два множества несимметричны всего в одной точке (кстати, какой?). Но этого достаточно, чтобы прекратить исследование и отнести функцию к общему виду.

Разберём несколько примеров. Для начала — стандартный:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

А вот более хитрый случай:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

Область определения. Перед нами рациональная дробь. Её знаменатель должен быть отличен от нуля:

\[\begin 4-x & \ne 0 \\ x & \ne 4 \\ \end\]

Следовательно, область определения

Дальше попробуйте сами:

Исследуйте на чётность / нечётность функцию

Умение быстро определять чётность — чрезвычайно полезный навык. Особенно когда вы начнёте решать задачи с параметрами и всевозможные варианты ДВИ.

3. График чётной и нечётной функции

Всего два факта, которые нужно знать:

Ниже приведены графики нескольких чётных функций. Попробуйте построить их самостоятельно.

Постройте график функции

Постройте график функции

Это обычная гипербола, сдвинутая на 1 влево и на 2 вверх. Итого получим:

Обратите внимание на последний график. При всяком сдвиге и симметрии желательно показывать не только новое положение самого графика, но и положение всех ориентиров: вспомогательная система координат, вертикальные и горизонтальные асимптоты (особенно актуально для гипербол) и т.д.

Зачем всё это нужно? Исследование функции на чётность и нечётность незаменимо для решения сложных уравнений и задач с параметром:

4. Дополнение. Задачи с параметром

Чётность функций редко встречается сама по себе. Прежде всего это инструмент для решения сложных задач.

Задача решена. Ответы:

И ещё одна задача. Попробуйте решить её самостоятельно:

А чтобы действительно разобраться с чётностью, обязательно изучите ещё две темы:

После этого половина задач с параметром перестанет казаться вам сложными.:)

Источник

Четные и нечетные функции

Вы будете перенаправлены на Автор24

Четные функции

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будет совпадать, то график этих функции будет подчиняться закону осевой симметрии по отношению к оси ординат (рис. 1).

Нечетные функции

Так как при выборе равных по модулю с обоими знаками значений независимых переменных для любой четной функции значения самой функции будут также совпадать по модулю и отрицательны по знакам, то график этих функции будет подчиняться закону центральной симметрии по отношению к началу координат (рис. 2).

Готовые работы на аналогичную тему

Функция общего вида

Функция общего вида никогда не будет симметрична оси ординат и началу координат. Пример функции общего вида изображен на рисунке 3.

Пример задачи

Исследовать функцию на четность и нечетность и построить их графики.

Изобразим её на графике:

Изобразим её на графике:

Изобразим её на графике:

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 07 2021

Источник

Четные и нечетные функции

Нечётная фу́нкция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного.

Чётная фу́нкция — это функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного.

Нечётная фу́нкция — функция, симметричная относительно центра координат, а чётная — функция, симметричная относительно оси ординат.

Содержание

Определения

Свойства

Примеры

Нечётные функции

Чётные функции

Вариации и обобщения

Полезное

Смотреть что такое «Четные и нечетные функции» в других словарях:

Нечетные и четные функции — f(x) = x пример нечётной функции. f(x) = x2 пример чётной функции. f(x) = x3 … Википедия

Земляков — Земляков, Александр Николаевич Файл:Zemlyakov.jpg Александр Николаевич Земляков (17 апреля 1950(19500417), Бологое 1 января 2005, Черноголовка) математик,выдающийся советский и российский педагог, автор учебно педагогической… … Википедия

Земляков, Александр Николаевич — Александр Николаевич Земляков (17 апреля 1950(19500417), Бологое 1 января 2005, Черноголовка) математик, выдающийся советский и российский педагог, автор учебно педагогической литературы. Биография Закончил в 1967 году с золотой… … Википедия

Ряд Фурье — Добавление членов ряда Фурье … Википедия

H.265 — или HEVC (англ. High Efficiency Video Coding высокоэффективное видеокодирование) предполагаемая будущая рекомендация ITU T и проект стандарта ISO/IEC по сжатию видео с применением более эффективных алгоритмов по сравнению с H.264/MPEG… … Википедия

МАРЦИАН КАПЕЛЛА — МАРЦИАН КАПЕЛЛА (Martianus Minneius Felix Capeila) (2 я пол. 5 в. н. э.), латинский платоник, последний латинский выразитель «религии культуры» спасения через пайдейю. Известен как автор сочинения «О браке Филологии и Меркурия» (De nuptiis… … Античная философия

Link 16 — (TADIL J) тип военной тактической сети обмена данных, близкому к реальному. Используется США и странами НАТО. Является одной из составных частей семейства тактических сетей передачи данных TADIL (англ. Tactical Digital Information Link … Википедия

ЛАНДАУ ТЕОРЕМЫ — теоремы для регулярных в круге функций, устанавливающие нек рые связи между геометрич. свойствами производимого этими функциями конформного отображения и начальными коэффициентами представляющих их степенных рядов. В 1904 Э. Ландау показал [1],… … Математическая энциклопедия

Источник