Что такое tpn в физике

Расчет случайной погрешности

При обработке прямых измерений результаты наблюдений и вычислений удобно оформлять в виде табл. 2.

Таблица 2

Расчет среднего значения и случайной погрешности

По методу Стьюдента

№

ai

Dai

Dai 2

s

P

tPN

Daсл

В колонке 1 указывается номер опыта по порядку (обычно проводится 3-7 измерений).

В колонке 2 записываются значенияизмеряемой величины.

В колонку 3 вносится среднее значение измеряемой величины, рассчитанное по формуле:

. (1)

В колонке 4 представлены отклонения каждогозначения измеряемой величины от среднего:

. (2)

Каждый результат, полученный по последней формуле, возводится в квадрат и заносится в колонку 5.

В колонке 6 следует расположить среднеквадратичную погрешностьs, рассчитанную по формуле:

. (3)

Она характеризует разброс средних значений измеряемой величины. Среднеквадратичная погрешность тем больше, чем сильнее измеренные величины отличаются друг от друга.

В колонку 7 заносится значение доверительной вероятности (или надежности) Обычно достаточно выбрать значение Р = 0,95 (или, что то же самое, 95%).

Коэффициент Стьюдента, учитывающий заданную доверительную вероятность и число измерений t_PN, находится по табл. 1 и располагается в колонке 8.

Случайная погрешность рассчитывается по формуле

и заносится в колонку 9.

Учет систематических погрешностей

К учитываемым систематическим погрешностям относятся погрешности средств измерения и погрешности отсчета.

В форме абсолютных погрешностей задаются погрешности линеек, штангенциркулей, секундомеров, термометров и т.п. Абсолютная погрешность средства измерения в этом случае может быть вычислена по формуле

, (5)

где d- цена деления прибора.

В форме приведенных погрешностей задаются пределы допускаемых погрешностей электроизмерительных приборов, манометров. Этим приборам присваиваются классы точности. Класс точности равен пределу допускаемой приведенной погрешности, выраженной в процентах, которая определяется по формуле

,

Пользуясь этой формулой, можно определить абсолютную погрешность измерительного прибора:

. (6)

Полная абсолютная погрешность прямых измерений рассчитывается по формуле

. (7)

Обработка результатов косвенных измерений

Постановка задачи

Пусть в результате обработки результатов прямых измерений a, b, c получены их средние значения , а также их абсолютные погрешности Da, Db, Dc. Требуется найти наилучшее значение (наиболее близкое к истинному) величины А, связанной с измеряемыми величинами a, b, c функциональной зависимостью (расчетной формулой)

,

а также ее абсолютную и относительную погрешности.

Наиболее близкое к истинному значение величины А (его также называют средним значением) получается при подстановке в расчетную формулу средних значений измеряемой величины:

. (8)

На погрешность величины А влияют погрешности, связанные с измерением каждой из величин a, b, c. Обозначим через DА_а ,DА_b ,DA_c вклады в полную погрешность DА, связанные с погрешностями измерения величин a, b и c соответственно. Методы математической статистики дают следующую формулу для расчета абсолютной погрешности DА косвенно измеренной величины А:

. (9)

Расчет погрешности косвенных измерений можно осуществить различными способами.

Метод приращения функции

Если в расчетную формулу подставить не , а значение, измененное на величину абсолютной погрешности , оставляя прежними остальные величины , то мы получим новое значение величины А, отличающееся от на величину DА_а:

. (10)

Видно, что DА_а, представляет собой приращение функции при приращении аргумента а на величину Da.

,

.

Полученные значения подставляются в формулу (9).

Этот метод расчета особенно удобен при проведении расчета на компьютере с помощью программ типа Excel.

Лабораторная работа “Определение момента инерции маховика динамическим методом”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид

.

Прежде всего находится среднее значение момента инерции; в расчетную формулу подставляется среднее значение времени:

.

Затем по той же формуле проводятся вычисления момента инерции со значениями аргументов, измененными на величину погрешности, т.е.

,

,

.

Нахождение вкладов в абсолютную погрешность момента инерции за счет неточности определения диаметра вала, времени падения груза и высоты проводится по формулам

,

,

.

Полная погрешность косвенных измерений

.

Метод частных производных

; ; . (11)

Отметим, что производные , , рассчитываются при средних значениях .

Полная погрешность DА получается путем подстановки выражений (11) в формулу (9):

. (12)

Этот метод расчета применяется, если выражения производных значительно проще, чем сама функция (например, если расчетная формула представляет сумму слагаемых, являющихся громоздкими выражениями).

Пример

Лабораторная работа “Определение ускорения свободного падения методом катающегося шарика”

Расчетная формула в этой лабораторной работе имеет вид:

.

Измеряемыми величинами являются время t числа N колебаний, высота h сферического сегмента, измеренная сферометром, расстояние l между ножками сферометра и диаметр шарика d, измеренный штангенциркулем или микрометром. Погрешности в измерении расстояния l и диаметра d определяются погрешностями средств измерения. Dl = Dl_си и Dd = Dd_си. Время колебаний шарика t и высота h имеют статистический разброс, поэтому измерения обрабатываются по методу Стьюдента, т.е. находятся средние значения и , а также их случайные погрешности Dt_сл и Dh_сл Как правило, и , поэтому полные погрешности прямых измерений определяются случайными погрешностями: и .

После обработки результатов прямых измерений рассчитывается наилучшее значение ускорения свободного падения; для этого в расчетную формулу подставляются средние значения времени и высоты:

.

Абсолютная погрешность в определении ускорения свободного падения рассчитывается по формуле

,

в которой вклады в полную погрешность находятся через частные производные:

,

,

,

.

Источник

Что такое tpn в физике

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины :

Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Δx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.

Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде

Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений , его ошибку Δx и надежность P.

Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.

В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой

где Δx – отклонение от величины истинного значения;

σ – истинная среднеквадратичная ошибка;

σ 2 – дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.

Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)

где – n число измерений.

Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению μ измеряемой величины при n → ∞.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n → ∞ S стремится к постоянному пределу σ

С увеличением σ увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины . Результат записывается в виде:

Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 – 50 раз.

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.

Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Для этого удобнее воспользоваться таблицей 3, в которой интервалы заданы в долях величины σ, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.

Таблица 2

Таблица 3

При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:

Рассмотрим на числовом примере применение приведенных выше формул.

Пример. Измерялся микрометром диаметр d стержня (систематическая ошибка измерения равна 0.005 мм ). Результаты измерений заносим во вторую графу таблицы, находим и в третью графу этой таблицы записываем разности , а в четвертую – их квадраты (таблица 4).

Таблица 4

Задавшись надежностью P = 0.95, по таблице коэффициентов Стьюдента для шести измерений найдем t = 2.57. Абсолютная ошибка найдется по формуле (10).

Сравним случайную и систематическую ошибки:

следовательно, δ = 0.005 мм можно отбросить.

Источник