Что такое tan в математике

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Что такое тангенс угла и как его найти

Живущим людям на Земле
всегда хотелось знать,
как путь найти в пустыне, море,
и можно к звёздам ли попасть.

Хотелось труд свой облегчить,
создать машины, чтоб летать.
И чтоб вопросы разрешить,
пришлось про тангенс всем узнать.

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Впервые встречаясь с тригонометрией в восьмом классе на геометрии, школьники оглядываются на свою жизнь, задавая вопрос, насколько пригодится им эта область науки в дальнейшем.

Редко кто задумывается, что раздел математики, позволяющий рассказать о заданном треугольнике всё (найти все его стороны и углы, выделить особенности), позволил в своё время сделать великие открытия.

Тригонометрия, дав возможность строить корабли и самолёты, отправлять человека в космос, создавать приборы для ориентирования на море, в лесу, в пустыне, определять расстояния, не измеряя их непосредственно линейкой, шагами или чем-то иным, помогла упростить жизнь человечества, раскрыть новые горизонты знаний.

Тангенс угла

Первые встречи с тангенсом происходят при изучении прямоугольных треугольников.

В них соотношения сторон, образующих прямой угол (катетов), и стороны, лежащей напротив угла в 90º (гипотенузы), задают важные параметры для изучения углов.

Для понимания связи между объектами рассматриваются отношения различных отрезков. Задавая связь между ними, вводят понятия синуса, косинуса (это что?), тангенса, котангенса.

Важно, что это отвлечённые понятия, не связанные с какими-либо единицами измерения.

Введя функции угла, определяют их свойства. Некоторые полученные формулы могут иметь довольно громоздкий вид. Чтобы избежать затруднённого чтения, вводятся другие объекты.

Так произошло и с тангенсом. Ему посчастливилось получить два определения. Каждое характеризует заданное отношение по-своему. С одной стороны, рассматривается связь между катетами и острыми углами прямоугольного треугольника, с другой – даётся возможность упростить формулы, содержащие синусы и косинусы.

Мало кто задумывается, изучая тангенс в школе, что первоначально он был необходим, чтобы найти касательные линии к заданной кривой. Само понятие возникло от латинского слова tangens, которое означает «трогающий», «касающийся» и является причастием настоящего времени от tangere («трогать», «касаться»).

Тангенс — это отношение.

Итак, есть два определения:

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Это определение удобно использовать при изучении геометрических фигур. Оно даёт возможность, минуя вычисления гипотенузы, находить углы или катеты. Выделяя прямоугольные треугольники в произвольных фигурах, задача по изучению свойств исследуемых объектов становится проще.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу.

Благодаря этому определению, многие тригонометрические формулы принимают более удобный вид, становятся легче воспринимаемыми.

» alt=»»>

Вместо «тангенс угла альфа» пишут: tgα. На калькуляторах, в различных программах ЭВМ и ПК закрепилось другое обозначение: tan⁡(α).

Как найти тангенс угла (формулы)

Первое свойство тангенса вытекает из его определения как отношения катетов.

Сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника равна 90º. Поэтому

Так как тангенс – это отношение катетов, то

Учитывая особенности некоторых треугольников (равностороннего, прямоугольного, равнобедренного), а также записанное свойство, была составлена таблица значений тангенса для углов 30º, 45º, 60º.

Задача нахождения других углов по значению тангенса была решена с помощью составления более обширных таблиц. За счёт появления современных вычислительных средств необходимость применения табулированных значений уменьшилась.

Как найти тангенс по клеточкам

Учитывая первое определение, можно определить, как найти тангенс угла по клеточкам. Рисунок дополняется перпендикулярными линиями (строится высота), затем считается количество клеточек в полученном прямоугольном треугольнике на катетах, противолежащем и прилежащем искомому углу, а затем берётся их отношение.

Благодаря второму определению, задачу, как найти тангенс угла, можно решить, минуя таблицы и построение прямоугольных треугольников. Достаточно знать синус и косинус, связанные между собой основным тригонометрическим тождеством:

Из формулы тангенсов, записывающей кратко второе определение

и основного тригонометрического тождества можно понять, как найти тангенс, зная только косинус или синус угла.

Достаточно поделить основное тригонометрическое тождество на квадрат косинуса, подставить формулу тангенса. В результате получится зависимость тангенса и косинуса:

Если выразить в последнем случае косинус, то запишется связь между тангенсом и синусом:

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (5)

Я Очень Люблю Правила, Теоремы, Формулы по Предмету «Математика», «Алгебра».

Прочитал статью и остался один главный вопрос, а собственно без вспомогательных таблиц найти угол В ГРАДУСАХ вообще возможно и есть ли у вас статья, где рассказыввается как это сделать? Спасибо.

Я ни разу не математик, но почему у вас сумма углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. А так все хорошо начиналось. Объясняете хорошо, но после таких ошибок у меня сомнения что информация верная.

Спасибо. Уточнил в тексте, что это сумма двух непрямых углов прямоугольного треугольника.

Пишу стихи. Востребован тангенс для решения жизненных ситуаций поскольку состоит из тех же функций,как-то, касающийся,прилежащий, трогающий. Куда без них денешься.

Источник

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Угол поворота

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Синус (sin) угла поворота

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Основные функции тригонометрии

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Источник

Тангенс

Тангенс (tg) — это отношение синуса к косинусу (tgα = sinα / cosα). Либо отношение противолежащего катета (дальнего/противоположного) к прилежащему (который находится рядом с углом).

В этом треугольнике тангенс угла вычисляется по этой формуле:

Обратите внимание, что в вычислении принимают участие только катеты, гипотенузы здесь нет (противолежащий делится на прилежащий — это тангенс острого угла прямоугольного треугольника).

Вычислите длину стороны BC, зная, что tan α = 0,4:

tan α = противолежащий катет / прилежащий катет = BC / AB = x / 15

x / 15 = 0,4 x = 15 * 0,4 x = 6

Таблица тангенсов и котангенсов (главных углов от 0° до 360°)

Основные тригонометрические тождества

Что такое синус?

Синус угла (sin) — это отношение противолежащего катета (который находится напротив угла) к гипотенузе (самой длинной стороне, находится напротив прямого угла).

В нашем примере sin α = BC/AC.

Что такое косинус?

Косинус угла (cos) — это отношение прилежащего катета (находится рядом с углом) к гипотенузе (самой длинной стороне, находится напротив прямого угла). В нашем примере cos α = AB/AC.

Что такое котангенс?

Котангенс угла (ctg) — это отношение прилежащего катета (который находится рядом с углом) к противолежащему (напротив угла). В нашем примере ctg α = AB / BC. Обратите внимание, что котангенс — это как «тангенс наоборот» (прилежащий делится на противолежащий), т. е. ctg α = AB / BC, а tg α = BC / AB (противолежащий делится на прилежащий).

Что такое секанс?

Секанс (sec или sec x) — это отношение гипотенузы (самой длинной стороны, напротив прямого угла) к прилежащему катету (рядом с углом) острого угла в прямоугольном треугольнике. Ещё секанс определяется формулой:

Что такое гипотенуза и катет?

Гипотенуза — это та сторона, которая находится напротив прямого угла (она самая длинная), в нашем треугольнике это сторона AC. Катеты — это две другие стороны, которые находятся рядом с прямым углом, в нашем треугольнике это стороны BC и AB:

Источник

Что такое tan в математике

Первый раз с тригонометрией мы обычно сталкиваемся в школе, хотя скорее всего ваш учитель в основном говорил о функции синуса, фундаментальном инструменте для оценки отношения сторон и острых углов прямоугольного треугольника. Давайте представим прямоугольный треугольник. Как вы думаете, как изменится сторона b, если мы будем увеличивать угол α? Верно, сторона b станет длиннее. Теперь представим, что угол равен 0°, тогда треугольник «схлопнется» в горизонтальный отрезок длины c, а сторона b и вовсе исчезает. Интересно, а что если угол α = 90°? Теперь треугольник схлопнется в вертикальную прямую и сторона b сольётся со стороной c, то есть b = c.

Треугольник:

3 стороны | 3 угла | Сумма трёх углов = 180° | α + β + γ = 180°

Прямоугольный треугольник:

Один прямой угол (90°) | Cумма двух других углов = 90° | α + β = 90°

Зачем мы проделали эти манипуляции? Это поможет нам понять истоки зарождения тригонометрии, ведь в переводе с греческого слово «тригонометрия» дословно означает «измерение треугольников». Расчёты соотношений между сторонами прямоугольного треугольника и было первоначальным предназначением тригонометрии. Понятие синуса угла определяется через соотношения сторон прямоугольного треугольника. Если вы понимаете, как изменяется треугольник по мере изменения угла, то вы поймёте, как будет изменяться синус этого угла.

Так вот, синусом угла α называется отношение противолежащего катета (стороны b) к гипотенузе (сторона c).
sin α = b/c

Аналогично задаётся понятие косинуса угла. Это отношение прилежащего катета (сторона a) к гипотенузе (сторона c).
cos α = a/c

Для того, чтобы увидеть, как в тригонометрии связаны треугольники, круги и волны, давайте проведём мысленный эксперимент. Представьте, что вы катаетесь на колесе обозрения.

Как меняется ваша высота над уровнем земли? Для выяснения этого, возьмём с собой GPS-приемник, который измеряет высоту, секунду за секундой, пока вы поднимаетесь и опускаетесь на колесе. Хотя вы все время двигались только по окружности, GPS выдаст вам результат не похожий на окружность.

Знакомьтесь, это синусоида. Она помогает нам описать повторяющиеся движения. Когда вы катались на колесе обозрения, вы совершали подобные движения. А причём здесь треугольники? Как это относится к функции синуса, о которой мы говорили? Мы сделали первый шаг – показали связь движения по окружности с волной. Осталось сделать ещё один маленький шаг.

Вернёмся к нашему колесу обозрения. Представьте, что оно сломалось и вы застряли. В этот момент вы находитесь под определённым углом по отношению к земле, назовём этот угол α (угол к пунктирной линии на рисунке).

Не трудно заметить, что три точки: вы, центр окружности и ваша проекция образуют прямоугольный треугольник (гипотенуза – радиус колеса). Для удобства предположим, что радиус колеса равен 1. Тогда синус угла α показывает вашу высоту над центром колеса.

Вам повезло и спустя пару минут колесо обозрения вновь заработало. По мере движения угол α увеличивается и в конце концов, когда вы будете проходить наивысшую точку, он перевалит за 90°. С этого момента уже нельзя говорить, что угол α «принадлежит» нашему правому треугольнику. Ничего страшного. Математики уже давно расширили определение функции синуса, которое разрешает использовать любое значение угла α.

В нашем случае эта функция будет показывать высоту кабинки относительно центра колеса, а график синусоиды как раз показывает вашу высоту по мере увеличения угла α. Угол даже можеть быть отрицательным, если колесо внезапно начнет вращаться в обратную сторону. И синусоида повторяет себя, каждые 360°, точно также, как и вы будете оказываться на одном и том же месте, совершая все новые и новые обороты.

Вроде бы с тем, что такое синус и косинус мы разобрались. Выяснили, что по мере изменения угла значения синуса и косинуса повторяются.

Заранее прошу прощения за то, что сейчас произойдёт. Стало ли вам легче понимать, что значит эта запись?

Если вы сморщили лицо и всё равно испытываете неприязнь к математике, то ответ на это неравенство вовсе вызывает головокружение.

У меня для вас две новости. Хорошая заключается в том, что если вы дочитали до этого места, вы близки к тому, чтобы понять, что такое «тригонометрия». Плохая новость заключается в том, что нам всё ещё нужно сделать пару шагов.

Давайте последовательно разберём задачу. Пока забудем про то, что заключено в скобках и заменим 3x − π/4 на α. Забудем про знак «≥» и решим вначале такое равенство.

Синус α равен −1/2.

Что это значит в контексте нашего мысленного эксперимента с колесом обозрения? Это значит, что ваша высота должна быть − 1/2 относительно центра колеса. То есть, вы должны быть ниже центра колеса на 1/2.

На колесе есть две точки, где вы будете находиться на нужной высоте (две красные точки на рисунке). Следовательно, существует два нужных нам угла α ₁ и α₂. Обратите внимание на два прямоугольных треугольника, выделенных зелёным цветом. Они одинаковые, так как являются зеркальным отображением друг друга. Давайте так же зеркально отобразим правый треугольник, но уже «вверх». Этот треугольник, выделенный красным цветом, имеет гипотенузу равную 1 (радиус колеса) и противолежащий катет (высота над центром) равный 1/2. В силу того, что все три треугольника одинаковые, они имеют одинаковые острые углы. Давайте найдём острый угол красного треугольника, при котором его синус равен 1/2. Поступим также, как древние астрономы, и заглянем в таблицу значений синуса для различных углов. Итак, sin α = 1/2 при = 30°. Интуитивно понятно, что наши три угла и значения их синусов связаны. Но как?

Полный круг составляет 360°. Разделим его на четыре четверти по 90° и пронумеруем их. Первая точка находится в третьей четверти. Так как две четверти в общем дают 180°, а угол α = 30°, то искомый угол α ₁ = 210°. Нашли первый угол. Вторая точка находится в четвертой четверти. Три четверти в общем дают 270°, но прибавлением 30° тут не отделаешся, так как нужно прибавить угол β, а не угол α. Так как угол α + β= 90°, то угол β = 90°− 30°=60°. И второй искомый угол равен 270°+ 60°=330°. Остался один маленький ньюанс. Помните, как мы говорили о том, что тригонометрические функции описывают повторяющиеся процессы? Если наше колесо не остановится после того, как совершит полный оборот в 360°, то с каждым новым оборотом вы будет проходить через две точки, находящиеся на уровне –1/2. Эти точки определяются простым прибавлением 360° к найденным нами углам.

При этом n – любое целое число, то есть, на нашем примере это количество оборотов колеса. Стоит заметить, что число n может быть и отрицательным, если колесо крутится в обратную сторону.

Равенстно sin α=−1/2 мы решили. Перейдем к неравенству sin α ≥ −1/2. Если для решения равенства мы нашли значения углов, при которых наша высота над центром колеса равна −1/2, то для решения неравенства нам нужно найти все углы, при которых наша высота больше либо равна −1/2. Помните мы говорили о том, что угол может быть отрицательным? Сейчас нам это пригодится. Определим угол α₂ не как 330°, а как −30° (330°−360°) На рисунке эта область выделена зелёным цветом.

Для того, чтобы правильно записать решение неравенства, обратите внимание на рисунок синусоиды и прямой y=−1/2(высота). Нас интересуют области синусоиды, которые выше прямой y=−1/2. На рисунке они заштрихованы красным цветом. Обратите внимание на точки, которые выделяют эти отрезки. Это те же точки, которые мы получили при решении равенства sin α=−1/2 и они повторяются каждые 360°. Ответ можно записать так:

Дело осталось за малым. Во-первых, вспомнить, что математики обозначают 180° как π, когда записывают формулы с углами, и переписать решение так:

Во-вторых, произвести обратную замену α на 3x − π/4.

Путём нехитрых алгебраических преобразований, а именно прибавления π/4 и деления на 3 ко всем частям неравенства, получаем:

Источник