Что такое mean в статистике

Описательная статистика для числовых переменных

6.2. Вывод статистических характеристик

Чтобы получить описательную статистику числовых переменных, можно щелкнуть в диалоге Frequencies на кнопке Statistics. (Статистика). Откроется диалоговое окно Frequencies: Statistics (Частоты: Статистика).

Рис. 6.2: Диалоговое окно frequencies: Statistics

В группе Percentile Values (Значения процентилей) можно выбрать следующие варианты:

Quartiles (Квартили): Будут показаны первый, второй и третий квартили. Первый квартиль (Q₁) — это точка на шкале измеренных значений, ниже (левее) которой располагаются 25% измеренных значений. Второй квартиль (Q₂) — это точка, ниже которой располагаются 50% измеренных значений. Второй квартиль также называется медианой. Третий квартиль (Q₃) — это точка на шкале измеренных значений, ниже которой располагаются 75% значений. Если данные имеются только в форме порядкового отношения, то качестве меры разброса используется межквартильная широта. Она определяется как

Cut points (Точки раздела): Будут вычислены значения процентилей, разделяющие выборку на группы наблюдений, которые имеют одинаковую ширину, то есть включают одно и то же количество измеренных значений. По умолчанию предлагается количество групп 10. Если задать, к примеру, 4, то будут показаны квартили, то есть квартили соответствуют процентилям 25, 50 и 75. Видно, что число показываемых процентилей на единицу меньше заданного числа групп.

Percentile(s) (Процентили): Здесь имеются в виду значения процентилей, определяемые пользователем. Введите значение процентиля в пределах от 0 до 100 и щелкните на кнопке Add (Добавить). Повторите эти действия для всех желаемых значений процентилей. Значения в порядке возрастания будут показаны в списке. Например, если ввести значения 25, 50 и 75, то мы получим квартили. Можно задавать любые значения процентилей, например, 37 и 83. В первом случае (37) будет показано значение выбранной переменной, ниже которого лежат 37% значений, а во втором случае (83) — значение, ниже которого располагаются 83% значений.

В группе Dispersion (Разброс) можно выбрать следующие меры разброса:

Std. deviation (Стандартное отклонение) — это мера разброса измеренных величин; оно равно квадратному корню из дисперсии. В интервале шириной, равной удвоенному стандартному отклонению, который отложен по обе стороны от среднего значения, располагается примерно 67% всех значений выборки, подчиняющейся нормальному распределению.

Variance (Дисперсия) — это квадрат стандартного отклонения и, следовательно, эта характеристика также является мерой разброса измеренных величин. О на определяется как сумма квадратов отклонений всех измеренных значений от их среднеарифметического значения, деленная на количество измерений минус 1.

Range (Размах) — это разница между наибольшим значением (максимумом) и наименьшим значением (минимумом).

Minimum (Минимум) — Наименьшее значение.

Maximum (Максимум) — Наибольшее значение.

Обычно мерами разброса переменных, относящихся к интервальной шкале и подчиняющихся нормальному распределению, служат стандартное отклонение и стандартная ошибка. Как было сказано выше, стандартное отклонение позволяет задать диапазон разброса отдельных значений. По так называемому правилу кулака, в одном диапазоне стандартного отклонения (охватывающем ширину стандартного отклонения в обе стороны от среднего значения) располагается примерно 67% значений, в диапазоне удвоенного стандартного отклонения — примерно 95%, а в диапазоне утроенного стандартного отклонения — примерно 99% значений.

С другой стороны, стандартная ошибка позволяет задать доверительный интервал для среднего значения. В диапазоне удвоенной стандартной ошибки по обе стороны от среднего значения с вероятностью примерно 95% находится среднее значение генеральной совокупности. С вероятностью примерно 99% она лежит в диапазоне утроенной стандартной ошибки. Часто указывают только одну из этих двух мер разброса, обычно — стандартную ошибку, так как ее значение меньше. Во всех случаях следует точно выяснить, какая из мер разброса имеется в виду.

В группе Central Tendency (Средние) можно выбрать следующие характеристики:

Mean (Среднее значение) — это арифметическое среднее измеренных значений; оно определяется как сумма значений, деленная на их количество. Например, если имеется 12 измеренных значений и их сумма составляет 600, то среднее значение будет х = 600 : 12 = 50.

Median (Медиана) — это точка на шкале измеренных значений, выше и ниже которой лежит по половине всех измеренных значений. Например, если измеренные значения таковы:

то сначала они располагаются в порядке возрастания: 23344567889.

В данном случае медианой будет значение 5. Всего у нас 11 измеренных значений, следовательно, медианой является шестое значение. Выше него располагается 5 значений, и ниже — тоже 5. При нечетном количестве значений медиана всегда будет совпадать с одним из измеренных значений. При четном количестве медиана будет средним арифметическим двух соседних значений. Например, если имеются следующие измеренные значения:

то медиана в этом случае будет равна: (6 + 7) : 2 = 6,5.

Mode (Мода) — это значение, которое наиболее часто встречается в выборке. Если одна и та же наибольшая частота встречается у нескольких значений, то выбирается наименьшее из них.

Sum (Сумма) — сумма всех значений.

В группе Distribution (Распределение) можно выбрать следующие меры несимметричности распределения:

Skewness (Коэффициент асимметрии) — это мера отклонения распределения частоты от симметричного распределения, то есть такого, у которого на одинаковом удалении от среднего значения по обе стороны выборки данных располагается одинаковое количество значений. Если наблюдения подчиняются нормальному распределению, то асимметрия равна нулю. Для проверки на нормальное распределение можно применять следующее правило: Если асимметрия значительно отличается от нуля, то гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенной генеральной совокупности, следует отвергнуть. Если вершина асимметричного распределения сдвинута к меньшим значениям, то говорят о положительной асимметрии, в противоположном случае — об отрицательной.

Kurtosis (Коэффициент вариации или эксцесс) — указывает, является ли распределение пологим (при большом значении коэффициента) или крутым. Коэффициент вариации равен нулю, если наблюдения подчиняются нормальному распределению. Поэтому для проверки на нормальное распределение можно применять еще одно правило: Если коэффициент вариации значительно отличается от нуля, то гипотезу о том, что данные взяты из нормально распределенной генеральной совокупности, следует отвергнуть.

Как правило, для переменных, относящихся к интервальной шкале и подчиняющихся нормальному распределению, в качестве основной характеристики используют среднее значение, а в качестве меры разброса — стандартное отклонение или стандартную ошибку. Для порядковых или интервальных переменных, не подчиняющихся нормальному распределению — соответственно медиану или первый и третий квартили. Для переменных относящихся к номинальной шкале, нельзя дать других значимых характеристик кроме моды.

В диалоге есть еще один флажок:

Values are group midpoints (Значения являются средними точками групп): Если установить этот флажок, то при вычислении медианы и остальных значений процентилей оценки этих характеристик будут определяться для концентрированных данных. Этому вопросу посвящен отдельный раздел.

Для переменной alter (возраст) мы определим следующие характеристики: среднее значение, медиану, моду, квартили, стандартное отклонение, дисперсию, размах, минимум, максимум, стандартную ошибку, асимметрию и эксцесс. Поступите следующим образом:

Выберите в меню команды Analyze (Анализ) / Descriptive Statistics (Дескриптивные статистики) / Frequencies. (Частоты)

В диалоге Frequencies щелкните на кнопке Reset (Сброс), чтобы отменить прежние настройки.

Перенесите переменную alter в список выходных переменных.

Щелкните на кнопке Statistics. (Статистика).

В диалоге Frequencies: Statistics установите флажки желаемых характеристик. Затем щелкните на кнопке Continue (Продолжить). Вы вернетесь в диалог Frequencies.

В диалоге Frequencies деактивируйте опцию Display frequency tables (Показывать частотные таблицы). Щелкните на кнопке ОК.

В окне просмотра появятся следующие результаты:

Alter

Респонденты опроса о психическом состоянии и социальном положении имеют средний возраст 22,24 года. Медиана составляет 22. Большинству респондентов 21 год (это мода). Самому молодому респонденту 18 лет (минимум), самому старшему — 29 лет (максимум). Самый старший респондент на 11 лет старше самого молодого (размах). Стандартное отклонение составляет 2,19. Следовательно, дисперсия — квадрат стандартного отклонения — равна (2,19) 2 = 4,79. Асимметрия и коэффициент вариации даны со соответсвующими стандартными ошибками.

Источник

Конспект курса «Основы статистики»

1. Введение

Способы формирования репрезентативной выборки:

Простая случайная выборка (simple random sample)

Стратифицированная выборка (stratified sample)

Групповая выборка (cluster sample)

Типы переменных:

непрерывные (рост в мм)

дискретные (количество публикаций у учёного)

Ранговые (успеваемость студентов)

Гистограмма частот:

Позволяет сделать первое впечатление о форме распределения некоторого количественного признака.

Описательные статистики:

Меры центральной тенденции (узкий диапазон, высокие значения признака):

( используется для среднего значения из выборки, а для генеральной совокупности латинская буква )

Свойства среднего:

Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.

Если к каждому значению выборки прибавить определённое число, то и среднее значение увеличится на это число.

Если для каждого значения выборки, рассчитать такой показатель как его отклонение от среднего арифметического, то сумма этих отклонений будет равняться нулю.

Меры изменчивости (широкий диапазон, вариативность признака):

При добавлении сильно отличающегося значения данные меняются сильно и могут быть некорректные.

Дисперсия генеральной совокупности:

(среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности)

(среднеквадратическое отклонение выборки)

Свойства дисперсии:

Квартили распределения и график box-plot

Нормальное распределение

Отклонения наблюдений от среднего подчиняются определённому вероятностному закону.

Стандартизация

Правило «двух» и «трёх» сигм

Центральная предельная теорема

Есть признак, распределенный КАК УГОДНО* с некоторым средним и некоторым стандартным отклонением. Тогда, если выбирать из этой совокупности выборки объема n, то их средние тоже будут распределены нормально со средним равным среднему признака в ГС и стандартным отклонением .

30″ alt=»SE = \frac<\sqrt>, n>30″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/20c/135/3bc/20c1353bcfedf2ff8851752cf7f49f37.svg»/>

Доверительные интервалы для среднего

Доверительный интервал является показателем точности измерений. Это также показатель того, насколько стабильна полученная величина, то есть насколько близкую величину (к первоначальной величине) вы получите при повторении измерений (эксперимента).

Идея статистического вывода

2. Сравнение средних

T-распределение

Если число наблюдений невелико и \sigma неизвестно (почти всегда), используется распределение Стьюдента (t-distribution).

Унимодально и симметрично, но: наблюдения с большей вероятностью попадают за пределы от

«Форма» распределения определяется числом степеней свободы ().

С увеличением числа распределение стремится к нормальному.

t-распределение используется не потому что у нас маленькие выборки, а потому что мы не знаем стандартное отклонение в генеральной совокупности.

Сравнение двух средних; t-критерий Стьюдента

Критерий, который позволяет сравнивать средние значения двух выборок между собой, называется t-критерий Стьюдента.

Условия для корректности использования t-критерия Стьюдента:

Две независимые группы

Формула стандартной ошибки среднего:

Формула числа степеней свободы:

Формула t-критерия Стьюдента:

Переход к p-критерию:

Проверка распределения на нормальность, QQ-Plot

Однофакторный дисперсионный анализ

Часто в исследованиях необходимо сравнить несколько групп между собой. В таком случае применятся однофакторный дисперсионный анализ.

Группы:

Нулевая гипотеза:

Альтернативная гипотеза:

Среднее значение всех наблюдений:

Общая сумма квадратов (Total sum of sqares):

Показатель, который характеризует насколько высока изменчивость данных, без учёта разделения их на группы.

Число степеней свободы:

— Межгрупповая сумма квадратов (Sum of sqares between groups)

— Внутригрупповая сумма квадратов (Sum of sqares within groups)

F-значение (основной статистический показатель дисперсионного анализа):

При делении значения межгрупповой суммы квадратов на число степеней свободы, полученный показатель усредняется.

Поэтому формула F-значения часто записывается:

Множественные сравнения в ANOVA

Проблема множественных сравнений:

Поправка Бонферрони

Самый простой (и консервативный) метод: P-значения умножаются на число выполненных сравнений.

Критерий Тьюки

Критерий Тьюки используется для проверки нулевой гипотезы против альтернативной гипотезы , где индексы и обозначают любые две сравниваемые группы.

Указанные сравнения выполняются при помощи критерия Тьюки, который представляет собой модифицированный критерий Стьюдента:

где — рассчитываемая в ходе дисперсионного анализа внутригрупповая дисперсия.

Многофакторный ANOVA

При применении двухфакторного дисперсионного анализа исследователь проверяет влияние двух независимых переменных (факторов) на зависимую переменную. Может быть изучен также эффект взаимодействия двух переменных.

Исследуемые группы называют эффектами обработки. Схема двухфакторного дисперсионного анализа имеет несколько нулевых гипотез: одна для каждой независимой переменной и одна для взаимодействия.

Условия применения двухмерного дисперсионного анализа:

Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены.

Выборки должны быть независимыми.

Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными.

Группы должны иметь одинаковый объем выборки.

АБ тесты и статистика

3. Корреляция и регрессия

Понятие корреляции

Коэффициент корреляции – это статистическая мера, которая вычисляет силу связи между относительными движениями двух переменных.

Принимает значения [-1, 1]

— показатель силы и направления взаимосвязи двух количественных переменных.

Знак коэффициента корреляции показывает направление взаимосвязи.

Коэффициент детерминации

— показывает, в какой степени дисперсия одной переменной обусловлена влиянием другой переменной.

Равен квадрату коэффициента корреляции.

Принимает значения [0, 1]

Условия применения коэффициента корреляции

Для применения коэффициента корреляции Пирсона, необходимо соблюдать следующие условия:

Сравниваемые переменные должны быть получены в интервальной шкале или шкале отношений.

Распределения переменных и должны быть близки к нормальному.

Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных и должно быть одинаковым.

Коэффициент корреляции Спирмена

Регрессия с одной независимой переменной

Уравнение прямой:

— (intersept) отвечает за то, где прямая пересекает ось y.

— (slope) отвечает за направление и угол наклона, образованный с осью x.

Метод наименьших квадратов

Формула нахождения остатка:

— остаток

— реальное значение

— значение, которое предсказывает регрессионная прямая

Сумма квадратов всех остатков:

Параметры линейной регрессии:

Гипотеза о значимости взаимосвязи и коэффициент детерминации

Коэффициенты линейной регрессии

Коэффициенты регрессии (β) — это коэффициенты, которые рассчитываются в результате выполнения регрессионного анализа. Вычисляются величины для каждой независимой переменной, которые представляют силу и тип взаимосвязи независимой переменной по отношению к зависимой.

Коэффициент детерминации

— доля дисперсии зависимой переменной (Y), объясняем регрессионной моделью.

— сумма квадратов остатков

— сумма квадратов общая

Условия применения линейной регрессии с одним предиктором

Линейная взаимосвязь и

Нормальное распределение остатков

Регрессионный анализ с несколькими независимыми переменными

Множественная регрессия (Multiple Regression)

Множественная регрессия позволяет исследовать влияние сразу нескольких независимых переменных на одну зависимую.

Требования к данным

линейная зависимость переменных

нормальное распределение остатков

проверка на мультиколлинеарность

нормальное распределение переменных (желательно)

Источник