Что такое lim в алгебре 10 класс

Урок по теме «Предел функции»

Разделы: Математика

Тип урока: первый урок

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная

Необходимое оборудование: интерактивная доска, мультимедиа проектор, карточки с устными и подготовительными упражнениями.

План урока

1. Организационный момент (3 мин.)
2. Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения. (12 мин.)
3. Вычисление пределов функции (10 мин.)
4. Самостоятельные упражнения (15 мин.)
5. Подведение итогов урока (2 мин.)
6. Домашнее задание (3 мин.)

1. Организационный момент

Приветствие учителя, отметить отсутствующих, проверить подготовку к уроку. Сообщить тему и цель урока. В дальнейшем все задания выводятся на интерактивную доску.

2. Ознакомление с теорией предела функции. Подготовительные упражнения.

Предел функции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.
Записывается предел следующим образом .

Вычислим предел:
Подставляем вместо х – 3.
Заметим, что предел числа равен самому числу.

Примеры: вычислите пределы

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция называется непрерывной (в данной точке).

Вычислим значение функции в точке x₀ = 3 и значение его предела в этой точке.

Значение предела и значение функции в этой точке совпадает, следовательно, функция непрерывна в точке x₀ = 3.

Но при вычислении пределов зачастую появляются выражения, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределённостями.

Основные виды неопределенностей:

Раскрытие неопределенностей

Пример: вычислим предел.
Разложим числитель на множители

3. Вычисление пределов функции

Пример 1. Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность:

Разложим на множители числитель и знаменатель и вычислим предел.

Пример 2. Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель, и знаменатель на .

Учтем, что если число разделить на бесконечно большое число получится ноль. То есть предел Аналогично

Пример 3. Вычислите предел функции:

При прямой подстановке, получается неопределенность.

Помножим и числитель, и знаменатель на .

Мы учли, что

4. Самостоятельные упражнения

5. Подведение итогов урока

Данный урок первый по теме: «Предел функции». На уроке рассмотрены способы нахождения пределов. Разобрано что такое неопределенность, как раскрывать неопределенности. Надо заметить, что есть пределы, для которых невозможно найти числовое значение.

6. Домашнее задание

Домашнее задание раздается на карточках каждому ученику.

Источник

Предел функции: примеры решений

Обновлено: 24 Октября 2021

Рассмотрим понятие и определение предела, разберем основные решения пределов.

Разбор записи предела на математическом языке

Любой предел состоит из трех частей:

Данная запись читается так: «предел функции \(\lim_\frac<3x^2-2x-5>\) при икс стремящемся к единице». Что же значит выражение «икс стремится к единице»?

Понятие предела, в отличие от большинства известных математических понятий, динамическое, то есть нет какого-то статичного, неменяющегося числа или тождества в качестве его определения. Построим последовательность:

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность:

Все данные значения x и разница между ними настолько малы и близки к одной точке (в данном случае к единице), что можно сказать, что «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Это и означает «икс стремится к единице».

Предел последовательности: определение и свойства

Предел последовательности, как и предел функции, является одним из основных понятий математического анализа. По сути, каждое вещественное число может быть представлено в виде последовательности максимально приближенных к нему чисел.

Вещественные (действительные) числа обозначаются как ε (эпсилон) и принадлежат множеству R, которое включает в себя все натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

Теперь обратимся к определению предела последовательности и разберем, что же оно означает.

Для лучшего восприятия понятия «окрестность» рассмотрим следующее изображение:

Окрестностью в данном случае являются интервалы слева и справа от x₀, причем окрестность может быть проколотой (третий случай), то есть сама точка x₀ не входит в заданный интервал.

На математическом языке данное определение записывается следующим образом:

Свойства

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела. На математическом языке данное утверждение выглядит так:

\(\lim_\;(c\times x_n)=cA=c\;\lim_\;x_n\) В данном случае n стремится к бесконечности, то есть мы имеем неопределенно большое количество значений x₀ . Теперь докажем это свойство. Примем \(\lim_\;x_n\) за A, тогда переменную \(x_n\) мы можем представить в виде:

где \(a_n\) — бесконечно малая величина. Очевидно, что:

где \(\alpha_n\) и \(\beta_n\) — некоторые бесконечно малые величины.

Тогда \(x_n\pm y_n=(A\pm B)+(\alpha_n\pm\beta_n)\)

Учитывая, что \((\alpha_n\pm\beta_n)\) — бесконечно малая величина, получаем:

\(\lim_<>(x_n\pm y_n)=(A\pm B)=\lim_<>(x_n)\pm\lim_<>(y_n) \) Аналогично:

\(x_n\times y_n=(A\pm\alpha_n)(B\pm\beta_n)=AB+(B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\)

Осталось распознать в выражении \( (B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\) бесконечно малую величину, что влечет за собой:

\(\lim_<>(x_n\times y_n)=AB=\lim_<>x_n\times\lim_<>y_n\\\\ \)

Далее покажем, что отношение \(\frac\) можно представить в виде:

Что и требовалось доказать.

Определенного доказательства данного свойства нет, однако интуитивно мы можем провести следующие умозаключения.

Пусть \(\underset<><\lim\;>y_n=A,\) тогда:

\(y_n=A+\alpha_n\)

где \( \alpha_n\) – некоторая бесконечно малая величина.

Что и требовалось доказать.

Предел функции

Обратимся сразу к определению.

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав некоторое произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 \(\lim_f(x)=f(a)\)

Для того, чтобы функция являлась непрерывной, обязательно должны выполнятся 3 условия:

Существуют и другие определения, которые, как и в случае с определением пределов по Коши и по Гейне, различаются по формулировке для наиболее удобного использования.

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Также можно дать определение непрерывности справа или слева от точки.

Функция f(x) называется непрерывной справа/слева в точке x₀, если она определена на некоторой правосторонней/левосторонней окрестности \(U(x_0+0)/U(x_0-0)\) этой точки, и если правый/левый предел в точке x₀ равен значению функции в x₀.

Вычисление пределов

Рассмотрим примеры вычисления пределов.

Простейшие пределы

Для начала обратимся к простейшему пределу, который был рассмотрен в самом начале: \(\lim_\frac<3x^2-2x-5>\)

В данном случае можно попробовать просто подставить единицу (так как предел стремится к единице) в выражение. Тогда:

Да, это работает только с простейшими пределами, которые, на самом деле, на практике встречаются не редко, так что попробовать просто подставить икс в выражение — одно из возможных решений.

Теперь попробуем сделать то же самое с пределом, который стремится к бесконечности.

Икс стремится к бесконечности \((x\rightarrow\infty)\) означает, что икс неограниченно возрастает (например, х=10, х=100, х=1000, х=10000 и так далее).

Рассмотрим предел \(\lim_(1-x)\) и подставим в функцию (1-x) бесконечность. Получается, что функция стремится к минус бесконечности. В данном случае метод «подстановки» тоже работает.

Даже если числитель функции в пределе, стремящимся к бесконечности, кажется очень большим — миллион, миллиард и т. п., весь предел все равно будет равен нулю, так как знаменатель, зависящий от бесконечности, в какой-то момент начнет принимать значения, гораздо большие, чем числитель. То есть:

Итак, когда мы видим простейший предел, сначала нужно попробовать подставить в функцию «х».

Выражения для самостоятельного решения:

Пределы с неопределенностью вида \(\frac\infty\infty\)

Неопределенность вида \(\frac\infty\infty\) появляется, когда мы пытаемся подставить «х» в предел стремящийся к бесконечности и имеющий дробную функцию:

Для начала находим и в числителе, и в знаменателе старшую степень икса, а затем выбираем наибольшую из них. В данном случае старшие степени числителя и знаменателя равны, однако это частный случай.

Теперь мы должны и числитель, и знаменатель разделить на х в старшей степени:

Затем анализируем дроби с иксом, мысленно подставляя вместо х бесконечность. Получается, что все эти дроби стремятся к нулю, соответственно, их можно принять за ноль. Значит:

Однако, ответом при решении предела, стремящегося к бесконечности, может быть как любое число — в том числе и ноль, — так и сама бесконечность.

Рассмотрим еще 2 примера, чтобы в этом убедиться.

Поделив числитель и знаменатель на \(x^4\) и подставив бесконечность в получившиеся дроби (для закрепления материала лучше высчитать это самостоятельно), получаем:

Пределы с неопределенностью вида \(\frac00\)

Сразу же возникает логичный вопрос: почему мы делим на ноль, если каждый школьник знает, что на ноль делить нельзя? Если обратиться к определению предела, все встанет на свои места: дело в том, что мы работаем не с самим нулем, а с бесконечно малыми числами и функциями, однако для удобства записываем «0».

Рассмотрим конкретные примеры и научимся решать подобные пределы.

Теперь запомним правило:

Почти всегда для этого необходимо решить квадратное уравнение и/или использовать ФСУ (формулы сокращенного умножения).

В знаменателе мы имеем x+1, это уже простейшая функция, так что знаменатель мы не трогаем.

Применяя стандартные операции для решения квадратного уравнения, раскладываем числитель и получаем (x+1)(5x-7).

Два важных момента, на которые стоит обратить внимание при вычислении дискриминанта:

Очевидно, что (х+1) в числителе и знаменателе можно сократить.

Очень важно при разложении на множители замечать формулы сокращенного умножения! Они могут быть видны не сразу, а после проведения одного или нескольких шагов, например, вынесения числа за скобку.

Чтобы облегчить процесс решения, всегда сразу выносите число за скобку, если это условие это позволяет. Кроме того, часто целесообразно выносить такие числа и за знаки предела, так как они не будут мешаться во время вычислений. Однако нужно быть крайне внимательным, чтобы не потерять в какой-то момент число или знак.

Теперь, для того, чтобы упростить выражение, нужно избавиться от корней. Вообще, в математике стараются избавляться от иррациональности в любом случае, когда это возможно, — так гораздо проще жить.

Что же это за метод? А основан он на всей известной формуле разности квадратов:

Теперь, учитывая формулу в числителе дроби, проводим ряд преобразований и получаем:

Да, избавившись от иррациональности в числителе, мы обрели ее в знаменателе, однако оперировать суммой корней, которую мы получили, гораздо легче. И, вообще, можно сразу подставить в корни тройку и вынести полученное число за знак предела, как упоминалось об это ранее.

А теперь просто раскладываем дробь на множители и получаем конечный ответ:

Примеры для самостоятельного решения:

Мы рассмотрели основное понятие пределов функции и последовательности и разобрали классические варианты решения пределов.

Если же быстро разобраться в этой сложной теме не получается, а сдача важной работы не за горами, вы всегда можете обратиться к авторам ФениксХелп, которые помогут с решением.

Источник

Предел функции

п.1. Предел функции в точке и на бесконечности

п.2. Свойства предела функции

1. Одна и та же функция в одной и той же точке может иметь только один предел: \begin \left. \begin \lim_f(x)=a\\ \lim_f(x)=b \end \right\> \Rightarrow a=b \end 2. Если функция непрерывна, то её предел в точке \(x_0\) совпадает со значением функции в этой точке: \begin \lim_f(x)=f(x_0) \end 3. Если функция «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел \(a\), то предел этой функции также равен \(a\): \begin \left. \begin g(x)\leq f(x)\leq h(x)\\ \lim_g(x)=a\\ \lim_h(x)=b \end \right\> \Rightarrow \lim_f(x)=a \end 4. Операция перехода к пределу сохраняет нестрогие неравенства: \begin \left. \begin f(x)\leq g(x)\\ \lim_f(x)=a\\ \lim_g(x)=b \end \right\> \Rightarrow a\leq b \end 5. Переход к пределу для строгих неравенств в общем случае приводит к нестрогому неравенству: \begin \left. \begin f(x)\lt g(x)\\ \lim_f(x)=a\\ \lim_g(x)=b \end \right\> \Rightarrow a\leq b \end 6. Предел суммы (разности, произведения, частного) равен сумме (разности, произведению, частному) пределов: \begin \left. \begin \lim_f(x)=a\\ \lim_g(x)=b \end \right\> \Rightarrow \lim_(f(x)\pm g(x))=a\pm b \\ \left. \begin \lim_f(x)=a\\ \lim_g(x)=b \end \right\> \Rightarrow \lim_(f(x)\cdot g(x))=a\cdot b \\ \left. \begin \lim_f(x)=a\\ \lim_g(x)=b\ne 0 \end \right\> \Rightarrow \lim_\left(\frac\right)=\frac ab \end

п.3. Раскрытие неопределенностей \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) и \(\left[\infty-\infty\right]\)

Для пределов функций правила раскрытия неопределенностей \(\left[\frac<\infty><\infty>\right]\) и \(\left[\infty-\infty\right]\) аналогичны правилам для пределов последовательностей (см. §37 данного справочника).

п.4. Раскрытие неопределенности \(\left[\frac00\right]\)

п.5. Примеры

Пример 1. Докажите, используя определение предела функции в точке:
a) \( \lim_(3x+1)=4 \)

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 мы находим \(\delta(\varepsilon)=\frac<\varepsilon><3>\), при этом из \(0\lt|x-1|\lt\delta(\varepsilon)\Rightarrow |(3x+1)-4|\lt\varepsilon\).
Что и требовалось доказать.

Пусть \(\varepsilon\gt 0\) – сколь угодно малое число. Найдем множество значений x, для которых \(|f(x)-a|\lt \varepsilon\).

Выбираем в качестве \(\delta(\varepsilon)\) меньшую оценку \(\delta_2\): \begin \delta(\varepsilon)=min(5-\sqrt<25-\varepsilon>;\sqrt<25+\varepsilon>-5)=\delta_2=\sqrt<25+\varepsilon>-5\\ 0\lt|x-5|\lt\sqrt<25+\varepsilon>-5\\ \delta(\varepsilon)=\sqrt<25+\varepsilon>-5 \end Например:

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 мы находим \(\delta(\varepsilon)=\sqrt<25+\varepsilon>-5\), при этом из \(0\lt|x-1|\lt\delta(\varepsilon)\Rightarrow |(x^2-1)-24|\lt\varepsilon\).
Что и требовалось доказать.

Источник

Пределы

Пределы — одни из самых трудных сущностей в математике для понимания. Сложно объяснить просто, что такое предел, поэтому чаще всего этого никто и не делает.

И тем более, мало к то из преподавателей может привести пример из жизни, когда пределы все-таки могут пригодиться. Но мы попытаемся объяснить так, чтобы было и понятно и несложно и по сути. Как обычно «на пальцах».

Что такое пределы простыми словами

Наверное самое наглядное, что можно вспомнить из истории, это знаменитый парадокс Зенона «Ахиллес и черепаха». Зенон был философом, а не математиком, поэтому мог вполне свободно упражняться в остроумии не заботясь о доказательствах.

Ахиллес и черепаха бегут на перегонки. Черепаха начинает первой, человек догоняет. Ахиллес бежит быстрее, но когда он пробегает 100 шагов, черепаха все рано проползает один. Еще 100 шагов и еще один. Таким образом Ахиллес приближается к черепахе но и она чуть-чуть отдаляется от него. Зенон делает вывод, что Ахиллес будет бесконечно к ней приближаться, но никогда не догонит черепаху!

В этой истории важно не то, что на самом деле она не реальна, а ее «математический смысл». Человек приближается к черепахе но никогда ее не настигает. То есть некий предел (черепаха) к которому стремится Ахиллес.

Говоря простым языком, предел это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизится.

То есть, в пределе определенного промежутка времени Ахиллес действительно не догонит черепаху (времени не хватит), но приблизится к ней на бесконечно малое расстояние.

Что такое пределы в математике

Стоит сразу сказать, что определение пределов больше чем одно, потому, что они бывают разные. Есть придел последовательности, а есть предел функции.

Давайте разделим число 10 пополам:

10/2=5, и еще раз, 5/2=2,5 и еще…

Это последовательность n/2: 10…2,5…1,25…

Если делать это 20 раз получится вот такое значение: 0,000019

А если сделать 100 раз, то вот такое: 0,000000000000000000000000000016

Если делить пополам бесконечно, результат будет уменьшатся, в реальной жизни, это будет уже фактически ноль, но в математике, все еще не ноль… Предел этой последовательности будет стремиться к нолю.

Если взять другу последовательность, например n+1. 2…3…4…5… и снова устремимся в бесконечность. Предел этого множества тоже будет стремится к бесконечности.

Еще один пример

Бросаем монетку. Может выпасть «орел», а может и «решка». Теория вероятности утверждает, что шансы всегда 50/50, то есть вероятность «орла» — 1/2=0,5.

Каждый раз, значение реальной вероятности, приближается к расчетным 0,5. Чтобы получить вероятность ровно 0,5 нужно подбросить монетку бесконечное количество раз.

То есть, при условии, что количество бросков стремится к бесконечности предел предел будет равен 0,5.

Это именно та бесконечность из матанализа о которой было сказано в статьях об интегралах и делении на ноль. Это не какое-то определенное число — это понятие.

Предел последовательности

Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения.

А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.

ε — это произвольное положительное число.

Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».

Можно сказать и так:

Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно.

Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.

Математическим языком можно записать так: s-ε Предел функции простыми словами объяснить также просто. Предел в какой-то произвольной точке — это величина к которой значение функции приближается. Например, f(x)=2x, а х→0 (икс стремится к нулю).

В этом случае предел функции будет равен lim 2x=0. Или в случае если х→2 то предел равен lim 2x=4. Пока все просто. Вот только зачем вычислять пределы, если можно просто выбросить «lim» и расчеты останутся те ми же?….

Зачем нужны пределы

Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.

Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.

В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.

В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.

Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.

Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.

x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.

Примеры из жизни

Зачем все это нужно где применяется пределы в реальных расчетах?

Простое объяснение пределов невозможно, если не привести наглядный пример. Но только где его взять? Существует ли какой-то физический смысл пределов? Не точный аналог но что-то похожее есть.

Можно провести простой эксперимент, взять, например, спичку. Или что-угодно, чего не жалко. Начинаем пытаться сломать спичку, сначала одно усилие, потом чуть больше и еще больше. В один из моментов спичка треснет пополам.

Поздравляем, вы достигли предела прочности. Можно повторить эксперимент с другими спичками и установить, значение при котором спичка ломается.

Что тут общего с пределами из математики, кроме названия.

Есть множество значений силы до предела прочности и оно ограничено, и множество значений после предела прочности, их неограниченное множество. Ведь спичка уже сломана, любое усилие выше предела прочности будет ломать новую и новую спичку. Точно так же как и с пределом функции или множества.

Все, что лежит за пределом, уже не имеет практического значения — спичка не устоит.

Еще один пример, это «практический потолок» летательного аппарата. Это максимальная высота на которую может «взобраться» самолет, чтобы подняться выше будет уже не хватать подъемной силы. Хотя на есть еще и понятие «динамический потолок» — это высота на которую можно подняться хорошенько разогнавшись.

Но, выскочив на эту высоту, через некоторое время самолет все равно опустится на свой «потолок».

Посмотрите на картинку ниже, это наглядный пример такого явления как резонанс.

Колебание моста из-за резонанса

Мост так раскачивается из-за того, что собственная частота колебания совпадает с той частотой с которой его раскачивает ветер, амплитуда колебаний постоянно возрастает и мост разрушается. В этом случае амплитуда стремится к бесконечности, так как в знаменателе формулы находится выражение w₀-w (собственная частота колебаний минус вынужденная частота), а так как обе w равны, получается то самое деление на ноль, а значит амплитуда → ∞.

Самое понятное объяснений пределов в реальности, с которым может столкнуться каждый — это сложные банковские проценты по кредиту. И если вы не умеете рассчитывать сложны проценты, не берите кредит. Для тех, кто силен в матанализе совет будет не лишним.

Также может понадобится рассчитать предельную стоимость товара, зная зависимость (функцию) цены от объема продаж или предельный объем производства или много еще чего.

Самый наглядный пример, возможно, это предел в маркетинге. Вот зависимость стоимости клика от количества кликов в контекстной рекламе.

И все же, в повседневной жизни обыватель редко встречается с таким понятием как предел функции или последовательности. Поэтому и так сложно понять и принять абстрактные математические формулировки.

Но, если постараться, математика может открыть новые грани реальности, по крайней мере, все это уже не будет казаться таким скучным и непонятным.

Источник