Обратные гиперболические функции

Расчет обратных гиперболических функций.

Гиперболические функции уже есть, теперь для общности и обратные гиперболические функции. А там, глядишь, и до решения кубических уравнений дойдем.
Итак, калькулятор ниже, описание обратных гиперболических функций — под ним.

Обратные гиперболические функции

Обратный гиперболический синус, гиперболический арксинус, ареасинус:

Функция нечетная, строго возрастает. Определена для всей числовой оси. Область значений — вся числовая ось.

Обратный гиперболический косинус, гиперболический арккосинус, ареакосинус

Функция строго возрастает. Определена для интервала от единицы включительно до плюс бесконечности. Область значений — от нуля до плюс бесконечности.

Обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс:

Функция нечетная, строго возрастает. Определена для интервала от минус единицы до плюс единицы исключительно. Область значений — вся числовая ось.

Обратный гиперболический котангенс, гиперболический арккотангенс, ареакотангенс:

Функция нечетная, строго убывает на интервалах от минус бесконечности до минус единицы исключительно и от единицы исключительно до плюс бесконечности.

Обратный гиперболический секанс, гиперболический арксеканс, ареасеканс:

Функция строго убывает на интервале от нуля до единицы включительно. Функция многозначная, то есть каждому аргументу соответствует два результата — положительный и отрицательный.

Обратный гиперболический косеканс, гиперболический арккосеканс, ареакосеканс:
0\end\right» />
Функция нечетная, строго убывает на интервалах от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности.

Источник

Учебник. Гиперболические функции

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе.

Графики функций y = sh x и y = ch x

Тангенс определён на всей числовой оси, котангенс – при всех x ≠ 0 ( lim x → ± 0 cth x = ± ∞ ). Обе функции непрерывны на всей области определения, нечетны и имеют горизонтальные ( и (

Графики функций y = th x и y = сth x

Приведём некоторые формулы, связанные с гиперболическими функциями.

sh x + ch x = e x
ch 2 x – sh 2 x = 1 ch 2x = ch 2 x + sh 2 x sh 2x = 2 sh x ch x sh (x + y) = sh x ch y + ch x sh y ch (x + y) = ch x ch y + sh x sh y

Функции, обратные гиперболическим синусу и тангенсу, определены и непрерывны на всей числовой оси. Они обозначаются соответственно arsh x и arth x. У гиперболического косинуса определены сразу две обратные функции: arch_– x при x ≤ 0 и arch₊ x при x ≥ 0.

Графики функций y = arsh x и y = arth x. Графики функции y = arch_– x и y = arch₊ x.

Источник

Гиперболические функции

Гиперболи́ческие фу́нкции — семейство элементарных функций, выражающихся через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями.

Содержание

Определение

Определение гиперболических функций через гиперболу

Один из способов определения тригонометрических функций через единичную окружность

Гиперболические функции задаются следующими формулами:

Существует сленговые названия: «шинус», «шимус»(?). Однако их использование не научно.

Существует сленговые названия: «чосинус», «кошинус». Однако их использование не научно.

Существует сленговые названия: «щангенс», «тахинус». Однако их использование не научно.

Иногда также определяются

Существует сленговые названия: «кочангенс», «кохинус». Однако их использование не научно.

Геометрическое определение

Ввиду соотношения гиперболические функции дают параметрическое представление гиперболы (, ). При этом аргумент , где — площадь криволинейного треугольника , взятая со знаком «+», если сектор лежит выше оси , и «−» в противоположном случае. Это определение аналогично определению тригонометрических функций через единичную окружность, которое тоже можно построить подобным образом.

Свойства

Связь с тригонометрическими функциями

Гиперболические функции выражаются через тригонометрические функции от мнимого аргумента.

.

Важные тождества

Разложение в степенные ряды

Здесь — числа Бернулли.

Графики

Аналитические свойства

Гиперболический синус и гиперболический косинус аналитичны во всей комплексной плоскости, за исключением существенно особой точки на бесконечности. Гиперболический тангенс аналитичен везде, кроме полюсов в точках , где — целое. Вычеты во всех этих полюсах равны единице. Гиперболический котангенс аналитичен везде, кроме точек , вычеты его в этих полюсах также равны единице.

Обратные гиперболические функции

Читаются ареа… (-синус и т. д.) — от лат. «area» — «площадь».

— обратный гиперболический синус: — обратный гиперболический косинус — обратный гиперболический тангенс — обратный гиперболический котангенс — обратный гиперболический секанс 0\end>\right.>» /> — обратный гиперболический косеканс

Эти функции имеют следующее разложение в ряд:

1>» />

История

Гиперболические функции были введены Винченцо Риккати (Vincenzo Riccati) в 1757 году («Opusculorum», том I). Он получил их из рассмотрения единичной гиперболы.

Применение

Гиперболические функции часто встречаются при вычислении различных интегралов. Некоторые интегралы от рациональных функций и от функций, содержащих радикалы, довольно просто выполняются с помощью замен переменных с использованием гиперболических функций.

Ссылки

cs:Hyperbolická funkce he:פונקציות היפרבוליות hu:Hiperbolikus függvények is:Breiðbogafall nl:Hyperbolische functie pl:Funkcje hiperboliczne sr:Хиперболичне функције sv:Hyperbolisk funktion

Источник

Обратные гиперболические функции, их графики и формулы

Определения обратных гиперболических функций, их области определений и значений

Ареасинус строго возрастает на всей числовой оси.

Ареакосинус строго возрастает на своей области определения.

Вторая ветвь ареакосинуса также определена при x ≥ 1 и расположена симметрично относительно оси абсцисс, – ∞ 0 :
. Она строго убывает на области определения.

Ареатангенс строго возрастает на своей области определения.

Ареакотангенс строго убывает на своей области определения.

Графики обратных гиперболических функций

Формулы с обратными гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

Четность

Формулы связи обратных гиперболических синусов через тангенсы и косинусов через котангенсы

Формулы суммы и разности

Производные обратных гиперболических функций

Интегралы от arsh x, arch x, arth x, arcth x

arsh x

Для вычисления интеграла от гиперболического арксинуса, делаем подстановку x = sh t и интегрируем по частям:
.

arch x

Аналогично, для гиперболического арккосинуса. Делаем подстановку x = ch t и интегрируем по частям учитывая, что t ≥ 0 :
.

arth x

arcth x

Разложения в ряды

arsh x

При |x| 1 имеет место следующее разложение:

arth x

При |x| 1 имеет место следующее разложение:

arcth x

При |x| > 1 имеет место следующее разложение:

Обратные функции

Гиперболический синус

При – ∞ и – ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический косинус

При 1 ≤ y и 0 ≤ x имеют место формулы:
,
.

Гиперболический тангенс

При – 1 1 и – ∞ имеют место формулы:
,
.

Гиперболический котангенс

При – ∞ 1 или 1 и x ≠ 0 имеют место формулы:
,
.

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Источник

Обратные гиперболические функции

Данный калькулятор делает расчет обратных гиперболических функций

Категории

ИТ (30) Дата и время (29) Математика (120) Дети (3) Домашние питомцы (4) Юмор (7) Здоровье и красота (14) Календарь (1) Цена (6) Автомобили (13) Бухгалтерия (6) Кадры (4) Навигация (8) Недвижимость (6) Статистика (19) Строительство и ремонт (10) Телекоммуникации (6) Финансовые (33) Астрономия (2) Физика (40) Химия (5) Инженерные (32)

Недавние записи

Экзотические единицы длины

Следующий уникальный калькулятор служит для перевода экзотических единиц длины в…

Чей фунт тяжелее?

Следующий онлайн калькулятор о фунтах. Ранее он был очень популярен,…

Уровень жидкости в наклоненном цилиндрическом баке

Следующий онлайн калькулятор может вычислить уровень жидкости в цилиндрической таре…

Температурные шкалы

Следующий онлайн калькулятор переводит температуры между разными шкалами. Помните калькулятор…

Старинные русские деньги

Следующий калькулятор интересен тем, что он переводит древние российские денежные…

Соответствие размеров обуви

Следующий калькулятор будет очень полезен тем, кто решил купить или…

Системы измерения плоских углов

Следующий калькулятор работает очень просто, вам нужно ввести всего одно…

Рост в русской системе мер

Следующий онлайн калькулятор считает рост человека благодаря русской системе мер…

Размер экрана

Следующий онлайн калькулятор может вычислить габариты экрана телевизоров, компьютеров, проекторов,…

Размер снимка в пикселях и формат фотографии

Перед вами 2 калькулятора: один поможет вам подобрать формат снимков…

Перевод числа плиток в единицы площади и обратно

Следующие 2 калькуляторы переводят заданное число плиток в квадратные метры…

Перевод мер площади из метрической в английскую систему и обратно

Перед вами 2 онлайн-калькулятора. Они переводят меры площади из метрической…

Перевод мер длины из русской системы в метрическую и обратно

Следующий необычный калькулятор переводит меры длины из русской системы в…

Перевод мер длины из метрической в имперскую систему и обратно

Перед вами 2 калькулятора, которые предназначены для перевода мер длины…

Перевод кельвинов в градусы цельсия

Следующий простенький калькулятор переводит введенную вами toC из кельвинов в…

Перевод из фунтов в килограммы и обратно

Следующий калькулятор предназначен для перевода кг в фунты. Также есть…

Перевод из фунтов в дюймы

Следующий онлайн калькулятор переводит калибр древних артиллерийских орудий из фунтов…

Перевод из градусов Фаренгейта в градусы Цельсия

Давайте вспомним калькулятор, который переводит градусы Цельсия в градусы Фаренгейта:…

Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Как вы уже могли заметить на нашем сайте есть несколько…

Перевод градусов Цельсия в градусы Фаренгейта

Следующий уникальный калькулятор переводит градусы Цельсия в градусы Фаренгейта. Наверное,…

Перевод градусов минут и секунд в десятичные градусы и обратно

Следующий калькулятор умеет переводить значение угла, которое задано в градусах,…

Перевод градусов в радианы

Следующий калькулятор делает перевод единиц измерения углов из градусов, минут,…

Объем сегмента цилиндра

Следующий калькулятор делает расчет объема сегмента цилиндра. Давайте посмотрим каким…

Объем жидкости в наклоненном цилиндрическом баке

Следующий онлайн-калькулятор считает объем жидкости в бочке, которая имеет цилиндрическую…

Общее время наработки аппарата

Следующий калькулятор служит для детального подсчета суммарной работы аппарата. Вам…

Сочетание цветов

Перед вами отличный помощник для IT специалистов. С помощью данного…

О римских цифрах

Следующий калькулятор переводит числа, записанные римскими цифрами в простые десятичные…

Метров в секунду и километров в час

Следующий калькулятор переводит скорость из м/с в км/час. Часто при…

Конвертер единиц давления

Начнем с истории. В 17 веке итальянским ученым Торричелли было…

Калькулятор горловины для цилиндрического бака

Следующий онлайн-калькулятор рассчитывает параметры горловины для цилиндрического бочки. Все работает…

Источник