Что такое абстрактное число

абстрактное число

Смотреть что такое «абстрактное число» в других словарях:

ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия

АБСТРАКТНОЕ И КОНКРЕТНОЕ — философские категории, обозначающие ступени познания действительности, выраженные в гносеологическом законе восхождения от А. к К. А. (лат. abstractio отвлечение, удаление) мысленный образ, полученный путем отвлечения (абстрагирования) от тех или … Новейший философский словарь

Абстрактное — Абстракция, или абстракт, (от лат. abstractio «отвлечение», введённого Боэцием как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем) мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для… … Википедия

Абстрактное мышление — Абстракция, или абстракт, (от лат. abstractio «отвлечение», введённого Боэцием как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем) мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для… … Википедия

∞ (число) — ∞ Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Финитизм отрицает понятие Бесконечность. Бесконечность в большинстве… … Википедия

Число — 1) символ или объединение нескольких символов, представляющие количественную величину в определенной системе счисления; 2) абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какого либо члена некоторого ряда, в котором этому члену… … Начала современного естествознания

АБСТРАКТНОЕ и КОНКРЕТНОЕ — философские категории, обозначающие ступени познания действительности, выраженные в гносеологическом законе восхождения от А. к К. А. (лат. abstractio отвлечение, удаление) мысленный образ, полученный путем отвлечения (абстрагирования) от тех или … Социология: Энциклопедия

Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия

Абстракция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Абстрагирование — Абстракция, или абстракт, (от лат. abstractio «отвлечение», введённого Боэцием как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем) мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для… … Википедия

Источник

§ 5. Абстрактное и конкретное число.

Проблема о существовании числа вполне аналогична проблеме об универсалиях, и она получает в схоластике решение, примиряющее враждующие стороны (хотя число вовсе не фигурирует как универсалия).

Могут ли они быть отнесены к умопостигаемому платоновскому мир)’, представившему по существу переработку философской мыслью политеистического мира богов, отвергаемого христианством?

Чисто платоновское мировоззрение отличается от платоновско-пи- фагорейского именно тем, что идеи пополняются в последнем числами. По словам Аристотеля, пифагорейцы мыслили числа пространственно. Числа платоно-пифагорейские, так называемые идеальные числа, отличаются от математических, для античных мыслителей всегда конкретных, как идея отличается от ее отображения в мире материи; но вместе с тем они отличаются и от абстрактных, чисел, совершенно чуждых античной мысли, совершенно так же, как идеи Платона отличаются от схоластических универсалий.

Аристотелевское опровержение реального существования таких идеальных чисел52 основывается иа том, что в мире идей каждая единица должна быть индивидуализирована, в мире идей единицы поэтому не могут быть однородны, но каждая должна быть образцом как идея, а при таком положении не может уже образоваться число. Вследствие того же число приходится спустить вниз, оно может быть только конкретным числом.

И не идеальное число Платона, а это конкретное число Аристотеля, состоящее, по его словам, из смешиваемых и однородных, ио обязательно конкретных единиц, эволюционирует в схоластической мысли в абстрактное число, состоящее тоже из смешиваемых и однородных, ио уже абстрактных единиц.

Еще Альберт Великий33 раздваивает число, отделяя формальное, акцидепциалыюе от абстрактного.

Если мы имеем пять вещей, то число три, приложенное к трем вещам, обязательно должно рассматриваться, как часть пяти, между тем, как абстрактное число, ему соответствующее, должно рассматриваться вполне самостоятельно, а ие как часть объемлющего его числа.

Так как вещей может быть не пять, а семь, девять и т.д., то возникает странная мысль рассматривать приложенное число всегда как часть восходящего над ним числа, и наконец, наибольшего конкретного числа, которое утверждается с отрицанием, согласно Аристотелю, актуально-бесконечного.

Но бесспорно, что это половинчатое признание реального числа, т.е. признание реальности приложенного, по нашей терминологии, конкретного числа, не устраняет всех затруднений. Как только что указано, с признанием реальности только приложенных чисел ставится высшая граница для реальных чисел.

Но вместе с тем открывается и брешь в другом месте, через которую входит отвергаемая Аристотелем бесконечность.

Получается актуальная бесконечность пар, троек, четверок. Если существует пара камней и пара людей, то есть и пары пар и т.д. до бесконечности.

Но некоторые схоластики находят другую лазейку: пара разнородных пар уже не признается парой, для такой пары не усматривается числового единства, за ней признается только единство трансцендентное55.

Точно таким же образом разрешается вопрос и о рефлективности36 числа, чуждой реальным вещам.

Свойство это состоит в том, что операция, произведение которой над элементами а, Ь, с. дает А, В, С. будучи приложено к А, В, С^дает А,, В,, Cj. той же совокупности.

Нет белизны белизны, но пара пар. такое же число, как и просто пара. Это, конечно, верно для абстрактных чисел. Но для чисел приложенных это неверно, и приходится возражать, что две пары уже не число, а только множество, связанное не числовым, а только трансцендентным единством,

Источник

Методика формирования понимания абстрактного числа

Эльмира Искалиева
Методика формирования понимания абстрактного числа

«Методика формирования понимания абстрактного числа».

Дошкольное детство является важным и благоприятным периодом для развития математических представлений. От того, как заложены элементарные математические представления, в значительной мере зависит весь дальнейший путь математического развития ребенка. Понятие развития математических способностей включает взаимосвязанные и взаимообусловленные представления о пространстве, форме, величине, времени, количестве, их свойствах и отношениях, которые необходимы для формирования в процессе овладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы. По словам Л. С. Выготского, научные понятия не усваиваются и не заучиваются ребенком, не берутся памятью, а возникают и складываются с помощью величайшего напряжения всей активности его собственной мысли. Основные логические структуры мышления формируются в возрасте от 5 до 11 лет. При этом именно в математике заложены возможности для развития мышления детей, формирования и развития его логических структур. Результатом обучения математике являются не только знания, но и определенный стиль мышления.Дети дошкольного возраста спонтанно проявляют интерес к математическим категориям: количество, форма, время, пространство, которые помогают им лучше ориентироваться в вещах и ситуациях, упорядочивать и связаны их друг с другом, способствуют формированию понятий. Элементарные математические представления складываются у детей рано, т. к.речь изобилует математическими понятиями: круг, шар, квадрат, угол, прямая, кривая и т. д. уже к четырем годам у дошкольников есть некоторый «багаж» элементарных математических представлений, который необходимо обобщить и систематизировать.

I Формирование математических представлений у дошкольников

1.1. Особенности формирования математических представлений у дошкольников

Мы часто наблюдаем такую картину, если малышу часто читали одну и ту же книжку, то он её так хорошо запоминает, что пересказывает наизусть, переворачивая в нужном месте листы. Со стороны может показаться, что он умеет читать. Но стоит дать ему незнакомый текст, и ясно, что это не так. Со счетом происходит похожая история. Некоторые вещи, очевидные для взрослого, для ребенка являются загадкой. Так исследования знаменитого психолога Ж. Пиаже показали, что маленькие дети не понимают, что количество воды будет одним и тем же и в узком стакане, где уровень воды поднимается высоко, и в широком, где уровень воды низок. Они не понимают этого даже тогда, когда воду переливают в их присутствии, и они видят, что её количество не уменьшилось и не увеличилось. Если малышу предложить сравнить несколько крупных предметов с аналогичными маленькими предметами, и спросить каких по количеству предметов больше, он будет показывать на большие предметы, даже, если их количество явно меньше. Мало того, если перед ним разложить несколько предметов одинаковой формы, а затем раздвинуть эти предметы так, чтобы они занимали большую площадь, при этом, задав вопрос, предметов стало больше, меньше или осталось столько же, он будет утверждать, что количество их увеличилось. Некоторые дети, заучив порядковый счет, не умеют правильно пересчитывать, то есть каждому номеру ставить в соответствие последовательно один предмет. Возникают и затруднения, если уже от заданного количества требуется продолжить счет. Все эти трудности говорят о еще несформированном понятии числа, над которым следует работать. В противном случае данное понятие может не сформироваться и в первом классе, что значительно затормозит процесс усвоения предмета математики. Проверить, умеет ли ребенок считать осознанно,можно с помощью несложного теста:

1. Положите перед ребенком 2 яблока и кучку из трех горошин. Спросите, чего больше яблок или горошин?

2. Взрослый хлопает в ладоши, а ребенок, при каждом хлопке откладывает по одной пуговице.

3. Попросите принести ребенка столько же игрушек, сколько у него в руках карандашей, при этом, не пересчитывая ни то, ни другое. А теперь попросите каждой игрушке раздать по карандашу.

4. Возьмите 7-10 монет одинакового достоинства. Выложите их перед ребенком, но не просите пересчитывать. Раздвиньте при нем монеты так, чтобы они занимали большую площадь. Спросите, монет стало больше, меньше или осталось столько же?

5.Взрослый показывает и говорит ребенку: «Здесь четыре карандаша»,затем добавляет еще три и спрашивает: сколько получится всего карандашей?

Но даже, если ребенок справляется со всеми заданиями, полное понимание понятия числа может так и не прийти, если он не осознает, что данное математическое понятие является абстракцией. Часто ребенку и не приходится задумываться над этим, ведь взрослый заведомо предлагает ему пересчитать конкретные единичные предметы. Выше уже говорилось, что простой счет не является гарантией развития математических способностей. Понимание же того, что в единицу счета может входить несколько объектов, или, что одному объекту может соответствовать разное число, в зависимости от используемой мерки, подводит ребенка к более глубокому пониманию числа и способствует уже развитию у него предпосылок математического мышления. Такое правильное введение числа, и, к тому же, преподносимое правополушарным способом, то есть образно, к сожалению, большая редкость. В основном обучение сводится к практическому счету, и даже, если ребенок пересчитывает большие и маленькие предметы, а затем их сравнивает по количеству, а не по величине, то делает это не из-за понимания, а потому что его так научили. Работа над преодолением признака Пиаже на примере пластилина, воды, сыпучего материала, исследование понятия числа с помощью мерок, образная подача абстрактности числа, вот что способствует развитию математического мышления. Но добиться развития предпосылок математического мышления одним только изучением понятия числа и обучением осознанному счету невозможно, ведь предмет математики является более широким понятием, включающим в себя много направлений.

1.2 Требования к методике преподавания математики дошкольникам в современных ДОУ

Современная программа по математике направлена на развитие и формирование математических представлений и способностей, логического мышления, умственной активности, смекалки, то есть умения делать простейшие суждения, пользоваться грамматически правильными оборотами речи.

В математической подготовке предусмотренной программой, наряду с обучением детей счету, развитием представлений о количестве и числе в пределах первого десятка, делению предметов на равные части большое внимание уделяется операциям с наглядным материалом, проведению измерений с помощью условных мерок, определению объема жидких и сыпучих тел, развитию глазомера ребят, их представлений о геометрических фигурах, о времени, формированию понимания пространственных отношений. Когда ребёнок видит, ощущает, щупает предметы, обучать его математике значительно легче, так как с помощью него ребёнок лучше воспринимает, запоминает, усваивает знания. Наглядно-дидактический материал по формированию элементарных математических представлений активизирует, заинтересовывает детей, даёт им положительный эмоциональный настрой.

Наглядно-дидактические средства являются орудием труда педагога и инструментом познавательной деятельности детей. Следует различать понятия «наглядность» и «дидактические средства». Дидактические – более широкое понятие. Сюда входят совокупность предметов, явлений, знаки, модели действия, слово.Дидактические средства выполняют следующие функции:

-реализуют принцип наглядности;

-переводят абстрактные математические понятия в доступную для детей форму;

-способствуют накоплению чувственного, логико-математического опыта и овладению способами действий;

-увеличивают объём самостоятельной деятельности детей; интенсифицируют процесс обучения.

Дидактические средства можно разделить на следующие группы:

— комплекты наглядно-дидактического материала;

— оборудование для самостоятельных игр и занятий детей;

— пособия для воспитателей (учебники, методическая литература, конспекты, сборники дидактических игр и др.);

— учебно-познавательные книги для детей, тетради с печатной основой.

Значение раздаточного заключается, прежде всего, в том, что он даёт возможность придать процессу обучения действенный характер, включить ребёнка непосредственно в практическую деятельность. Наглядность в математике характеризуется тем, что внимание детей обращается только на те особенности демонстрируемых материалов, которые являются объектом изучения в математике; постепенно наблюдается ослабление конкретного в предлагаемой наглядности (натуральный предмет – изображение предмета в виде картинки – чёрточка – число).

Большую помощь воспитателю оказывают цветные палочки Кюизенера помогают детям усвоить различные абстрактные понятия. Дети узнают, что у каждого цвета палочки своё число, усваивают правило построения числового ряда, состав числа из двух меньших чисел. Палочки Кюизенера способствуют решению задачи на формирование понятий «левее», «правее», «между», позволяют моделировать числа, свойства, отношения, зависимости между ними с помощью цвета и длины. Они вызывают самостоятельность в поиске способов действия с материалом.

В работе по развитию интеллектуальных способностей детей хорошо использовать блоки Дьенеша. Блоки Дьенеша представляют собой набор их 48 логических блоков. В наборе нет ни одного одинакового блока. В играх с логическими блоками используются карточки с символами свойств (цвет, форма, размер, толщина). На ряду с использованием карточек-символов, которые позволяют придумать с детьми разнообразные игры, можно предложить и логические кубики. Своеобразие логических кубиков – это возможность «случайного» выбора свойств, а это всегда нравится детям. Логические блоки Дьенеша способствуют развитию таких мыслительных операций, как классификация, группировка предметов по свойствам, исключение лишнего, анализ и синтез, дети учатся догадываться, доказывать.

Игра «Кубики-Хамелеон» развивает у детей умение сочетать и варьировать цвет и форму, что ведёт к созданию образа. В комплект игры входит 16 кубиков. Все кубики одинаковые по размеру, у каждого 3 грани, сходящиеся в одной вершине, окрашены одним цветом, а три следующие – другим цветом. Сущность игры состоит в воспроизведении на плоскости построек по образцам. По собственному желанию, замыслу дети могут одну и ту же постройку варьировать многократно. При этом надо соблюдать архитектурную точность, правильность взгляда сбоку (слева или справа, правильность окраски спереди, сверху и сбоку. Игра необходима всем детям, но особенно тем, у кого недостаточно развито образное мышление, умение осуществлять комбинаторные действия.

Из всего многообразия занимательного математического материала в дошкольном возрасте наибольшее применение находят дидактические игры. Дидактическая игра представляет сочетание наглядности, слово воспитателя и действий самих детей с игрушками, игровыми пособиями, предметами, картинками. Наглядность в игре, прежде всего, и представлена в предметах, которыми играют дети, которые составляют материальный центр игры. Основное назначение дидактических игр – обеспечить упражняемость детей в различении, в выделении, назывании множеств предметов, чисел, геометрических фигур, направлений и т. д. Каждая игра решает конкретную задачу совершенствования математических представлений (количественных, пространственных, временных).

Так игры «Найди недостающую фигуру», «Чем отличаются?», «Вычислительная машина» направлены на тренировку мышления и предполагают строгую логику действий.

Особое значение для развития математических способностей, интереса к математике имеют головоломки из объёмных фигур: «Змейка-Рубика», «Кубик Рубика», «Сложи узор», «Кубики для всех»; лабиринты; задачи-головоломки со счётными палочками. Игры развивают у детей настойчивость, умение сосредоточиться, логическое мышление.

Благодаря использованию наглядно-дидактического материала по математике дети имеют опыт освоения математических деятельностей (вычисления, измерения) и обобщённых представлений о форме, размере, пространственных и временных характеристиках; также у детей сложились обобщённые представления о числе. Дети проявляют интерес к логическим и арифметическим задачам, головоломкам; успешно решают логические задачи на обобщение, классификацию, сериацию.

Дети понимают абстрактные термины (число, время, самостоятельно выделяют характеристические свойства при группировке множеств, выделяют и понимают противоречия в ситуациях и находят им объяснения.

В раннем детстве происходит первое элементарное познание количества, являющееся необходимой ступенькой познания действительности. С первых дней жизни ребенок попадает в мир предметов, явлений, воспринимает разнообразные количества не только предметов, но и звуков, движений. У малыша формируются хаотические, неупорядоченные представления о количестве. Взрослые помогают систематизировать эти впечатления, учат детей различным действиям с отдельными предметами и с группами предметов, обогащают их речь специфическими словами, относящимися к нечисловой характеристике количеств и количественных отношений, учитывая особенности восприятия совокупностей.

При правильном обучении детей подводят к пониманию сущности итогового числа. Они начинают отличать итог счета от процесса счета и постепенно усваивают, что одним и тем же числом именуются равночисленные группы, а там, где совокупности неравные, называются разные числа.

Четырехлетние дети овладевают счетом в пределах пяти, а более старшие – десяти. В основном дети у шести годам овладевают счетом до десяти, усваивают значение итогового числа, но у них сохраняется особенность допускать ошибки при определении количества, когда наглядные признаки (например, изменение расположения на столе, размеров предмета) препятствуют его правильному определению.

Вот почему очень важно начинать подготовительную работу уже в младшем возрасте. Детей следует упражнять в сравнении групп предметов разной формы, цвета, размеров, по-разному расположенных.

К шести годам дети начинают понимать: каждое последующее число больше предыдущего на единицу, каждое предыдущее меньше последующего на единицу. Дошкольники, усвоившие счет дискретных совокупностей, овладевают умением считать и группы предметов (1, 2, 3 пары).

В процессе развития счетной деятельности у детей постепенно формируется способность абстрактно понимать числа, происходит подготовка к вычислительной деятельности. В дальнейшем дошкольников знакомят с арифметическими действиями сложения и вычитания.

Умственное воспитание ребенка связано с его чувственным опытом, с развитием сенсорных процессов ощущения, восприятия, представления.

Чтобы восприятие было более полным, в нем должно участвовать одновременно несколько анализаторов, т. е. ребенок должен не только видеть и слышать, но и действовать с предметами — ощупывать, производить различные движения. При формировании представлений о количестве особое значение следует придавать самостоятельным действиям ребенка, главное внимание обращать на развитие его сенсорики через организацию определенных пред-метных действий.Необходимо учить детей действовать с предметами: переставлять их влево, вправо, собирать вместе, отбирать по размеру, цвету, форме. Эти действия способствуют накоплению сенсорного опыта о количествах различных предметов.

Организуя обучение детей,следует:

приучать дошкольников наблюдать за действиями взрослых с предметами, слушать, как словами характеризуются эти действия;

учить их действовать и сопровождать действия словами;

побуждать детей повторять за взрослыми сказанное о свойствах, качествах предметов.

Необходимый уровень знаний детей шестого года жизни:

Знать о числе и цифрах первого десятка. Понимать и уметь объяснять разницу между количественным и порядковым счетом. Отсчитывать определенное количество предметов по образцу. Понимать, что количество не зависит от размеров предметов и расстояния между ними. Знать количественный состав чисел 2 и 3 из единиц. Считать на ощупь и вслух в пределах пяти.

Источник

абстрактное число

Смотреть что такое «абстрактное число» в других словарях:

ЧИСЛО — абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какоголибо члена некоторого ряда, в котором этому члену предшествует или следует за ним какой нибудь др. определенный член; абстрактный индивидуальный признак, отличающий одно множество от… … Философская энциклопедия

АБСТРАКТНОЕ И КОНКРЕТНОЕ — философские категории, обозначающие ступени познания действительности, выраженные в гносеологическом законе восхождения от А. к К. А. (лат. abstractio отвлечение, удаление) мысленный образ, полученный путем отвлечения (абстрагирования) от тех или … Новейший философский словарь

Абстрактное — Абстракция, или абстракт, (от лат. abstractio «отвлечение», введённого Боэцием как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем) мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для… … Википедия

Абстрактное мышление — Абстракция, или абстракт, (от лат. abstractio «отвлечение», введённого Боэцием как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем) мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для… … Википедия

∞ (число) — ∞ Термин бесконечность соответствует нескольким различным понятиям, в зависимости от области применения, будь то математика, физика, философия, теология или повседневная жизнь. Финитизм отрицает понятие Бесконечность. Бесконечность в большинстве… … Википедия

Число — 1) символ или объединение нескольких символов, представляющие количественную величину в определенной системе счисления; 2) абстрактное, лишенное особенного содержания обозначение какого либо члена некоторого ряда, в котором этому члену… … Начала современного естествознания

АБСТРАКТНОЕ и КОНКРЕТНОЕ — философские категории, обозначающие ступени познания действительности, выраженные в гносеологическом законе восхождения от А. к К. А. (лат. abstractio отвлечение, удаление) мысленный образ, полученный путем отвлечения (абстрагирования) от тех или … Социология: Энциклопедия

Вещественное число — Вещественное, или действительное число [1] математическая абстракция, возникшая из потребности измерения геометрических и физических величин окружающего мира, а также проведения таких операций как извлечение корня, вычисление логарифмов, решение… … Википедия

Абстракция — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия

Абстрагирование — Абстракция, или абстракт, (от лат. abstractio «отвлечение», введённого Боэцием как перевод греческого термина, употреблявшегося Аристотелем) мысленное отвлечение, обособление от тех или иных сторон, свойств или связей предметов или явлений для… … Википедия

Источник