Что такое абсолютная величина вектора какие векторы называются одинаково направленными

Планиметрия. Страница 8

1.Вектор и его абсолютная величина

Вектором называется направленный отрезок определенной длины. Любой вектор имеет начальную и конечную точки. Начало и конец вектора обозначаются заглавными буквами, например вектор

. Сам вектор обозначается прописной буквой, например:

. Каждый вектор имеет определенную длину и направление. Например, вектора

имеют одинаковое направление. А вектора

Абсолютной величиной вектора или модулем вектора называется длина отрезка, представляющего собой вектор.

Если начало вектора совпадает с его концом, то такой вектор называется нулевым.

Если два вектора имеют одинаковое направление и равные абсолютные величины, то такие векторы называются равными.

6.Пример 1

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм (Рис.6). Необходимо доказать, что вектора

параллельному переносу таким образом, чтобы точка А совпала с точкой D. При таком перемещении точка А смещается по прямой AD и переходит в точку D. Это значит, что точка В переместится по параллельной прямой ВС в точку С.

Таким образом, при параллельном переносе прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а вектор

переходит в вектор

. А это значит, что эти вектора равны.

Действительно, так как при перемещении прямая АВ переходит в параллельную прямую DC, а точка А переходит в точку D, то на луче DC можно отложить только один вектор, равный вектору

Пример 2

Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2). Докажите равенство векторов

Доказательство:

Найдем координаты векторов

Таким образом, координаты векторов следующие:

А так как равные вектора имеют равные соответствующие координаты и x_AB = x_CD, y_AB = y_CD, то вектора

Рис.7 Задача. Даны точки А(1;1), B(3;1), C(2;-2), D(4;-2).

Пример 3

В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что

Доказательство:

, равный и параллельный вектору

от точки С. И отложим вектор

, равный и параллельный вектору

Тодга получим параллелограмм, в котором вектор

. А так как диагонали параллелограмма пересекаются в точке М и делятся этой точкой пополам, то

Отсюда можно сделать вывод: так как

Рис.8 Задача. В треугольнике АВС проведена медиана AM.

Пример 4

и его абсолютную величину.

Решение:

, то найдем его координаты:

Теперь найдем его абсолютную величину:

| =

(-3;-2). » alt=»Задача. Даны векторы

Рис.9 Задача. Даны векторы

Пример 5

Найдите угол между векторами

Решение:

По определению, скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Отсюда можно найти косинус угла между ними по формуле:

Следовательно, cos α = 2 / 2 = 1 /

Таким образом, угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» alt=»Задача. Найдите угол между векторами

(1;-1) и b (2;0).» src=»http://www.mathtask.ru/page-0056/pl21.png»/>

Рис.10 Задача. Найдите угол между векторами

Источник

Что такое абсолютная величина вектора какие векторы называются одинаково направленными

Вопрос 2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Ответ. Векторы \(\overline\) и \(\overline\) называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены.
Векторы \(\overline\) и \(\overline\) называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы \(\overline\) и \(\overline\) одинаково направлены, а векторы \(\overline\) и \(\overline\) противоположно направлены.

Вопрос 3. Что такое абсолютная величина вектора?
Ответ. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора \(\overline\) обозначается |\(\overline\)|.

Вопрос 4. Что такое нулевой вектор?
Ответ. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (\(\overline<0>\)). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Вопрос 5. Какие векторы называются равными?
Ответ. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Вопрос 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Ответ. При параллельном переносе вектор сохраняет своё направление, а также свою абсолютную величину. Значит, равные векторы направлены одинаково и равны по абсолютной величине.
Пусть \(\overline\) и \(\overline\) – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены. А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т.е. параллельный перенос переводит вектор \(\overline\) в вектор \(\overline\). Значит, векторы \(\overline\) и \(\overline\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Ответ. Пусть CD – прямая, а вектор \(\overline\) – часть прямой CD. Пусть AB – прямая, в которую переходит прямая CD при параллельном переносе, \(\overline\) – вектор, в который при параллельном переносе переходит вектор \(\overline\), а значит, векторы \(\overline\) и \(\overline\) равны, а прямые AB и CD параллельны (см. рис. 213). Как мы знаем, через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельных прямых). Значит, через точку A можно провести одну прямую, параллельную прямой CD. Так как вектор \(\overline\) – часть прямой AB, то через точку A можно провести один вектор \(\overline\), равный вектору \(\overline\).

переводит точку A₁ в точку A’₁, а точку A₂ в точку A’₂, т.е. векторы \(\overline1A₂>\) и \(\overline1A’₂>\) равны, что и требовалось доказать.

Источник

Что такое абсолютная величина вектора какие векторы называются одинаково направленными

Вопрос 2. Какие векторы называются одинаково направленными (противоположно направленными)?
Ответ. Векторы \(\overline\) и \(\overline\) называются одинаково направленными, если полупрямые AB и CD одинаково направлены.
Векторы \(\overline\) и \(\overline\) называются противоположно направленными, если полупрямые AB и CD противоположно направлены.
На рисунке 212 векторы \(\overline\) и \(\overline\) одинаково направлены, а векторы \(\overline\) и \(\overline\) противоположно направлены.

Вопрос 3. Что такое абсолютная величина вектора?
Ответ. Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора \(\overline\) обозначается |\(\overline\)|.

Вопрос 4. Что такое нулевой вектор?
Ответ. Начало вектора может совпадать с его концом. Такой вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор обозначается нулём с чёрточкой (\(\overline<0>\)). О направлении нулевого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого вектора считается равной нулю.

Вопрос 5. Какие векторы называются равными?
Ответ. Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом. Это означает, что существует параллельный перенос, который переводит начало и конец одного вектора соответственно в начало и конец другого вектора.

Вопрос 6. Докажите, что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной величине. И обратно: одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине, равны.
Ответ. При параллельном переносе вектор сохраняет своё направление, а также свою абсолютную величину. Значит, равные векторы направлены одинаково и равны по абсолютной величине.
Пусть \(\overline\) и \(\overline\) – одинаково направленные векторы, равные по абсолютной величине (рис. 213). Параллельный перенос, переводящий точку C в точку A, совмещает полупрямую CD с полупрямой AB, так как они одинаково направлены. А так как отрезки AB и CD равны, то при этом точка D совмещается с точкой B, т.е. параллельный перенос переводит вектор \(\overline\) в вектор \(\overline\). Значит, векторы \(\overline\) и \(\overline\) равны, что и требовалось доказать.

Вопрос 7. Докажите, что от любой точки можно отложить вектор, равный данному вектору, и только один.
Ответ. Пусть CD – прямая, а вектор \(\overline\) – часть прямой CD. Пусть AB – прямая, в которую переходит прямая CD при параллельном переносе, \(\overline\) – вектор, в который при параллельном переносе переходит вектор \(\overline\), а значит, векторы \(\overline\) и \(\overline\) равны, а прямые AB и CD параллельны (см. рис. 213). Как мы знаем, через точку не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной (аксиома параллельных прямых). Значит, через точку A можно провести одну прямую, параллельную прямой CD. Так как вектор \(\overline\) – часть прямой AB, то через точку A можно провести один вектор \(\overline\), равный вектору \(\overline\).

переводит точку A₁ в точку A’₁, а точку A₂ в точку A’₂, т.е. векторы \(\overline1A₂>\) и \(\overline1A’₂>\) равны, что и требовалось доказать.

Источник

§ 30. Векторы

30.1 Понятие вектора

Как вы знаете из физики и планиметрии, векторными величинами или, короче, векторами называются величины, которые характеризуются не только численным значением при выбранной единице измерения, но и направлением. Численное значение вектора называется его модулем или абсолютной величиной. Особый случай представляет нулевой вектор — его модуль равен нулю, а направления он не имеет.

Ненулевые векторы изображаются направленными отрезками. Напомним, что направленным отрезком называется отрезок, у которого указан порядок концов: первый называется началом, второй — концом. Направленные отрезки также называют векторами.

Вектор с началом А и концом В обозначается . Модуль вектора — это длина отрезка АВ.

30.2 Сонаправленность и равенство векторов

Ненулевые векторы и называются сонаправленными или одинаково направленными, если лучи АВ и MN сонаправлены (рис. 260, а, б). Напомним, что понятие сонаправленности лучей было определено в п. 15.1. Для сонаправленных векторов и применяется обозначение ↑↑ .

Из этого определения и сонаправленности двух лучей, сонаправленных с третьим (лемма п. 15.1), вытекает признак сонаправленности векторов: два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.

Ненулевые векторы называются равными, если их длины равны и они сонаправлены. Равенство нулевых векторов определяется лишь первым из этих условий.

Итак, равенство = означает, что выполняются два условия: 1) || = || и 2) ↑↑ (рис. 261, а, б). Второе условие проверяется лишь в случае, когда || ≠ 0.

Из данного определения и признака сонаправленности векторов следует признак равенства векторов: два вектора, равные третьему вектору, равны. Действительно, длины у них равны, а направление у них одно и то же, так как два вектора, сонаправленные с третьим, сонаправлены.

Отложить от данной точки вектор, равный данному, — значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий данный вектор. От любой точки в пространстве можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Действительно, пусть заданы вектор и некоторая точка М. Тогда найдётся единственная точка N, такая, что = . Если точка М не лежит на прямой (АВ) (см. рис. 261, а), то, построив параллелограмм ABNM, найдём искомую точку N. Если же точка М лежит на прямой (АВ) (см. рис. 261, б), то на том луче прямой АВ, который имеет начало в точке М и сонаправлен с лучом АВ, откладываем отрезок MN, равный отрезку АВ. В обоих случаях точка N единственная.

Напомним ещё, что два вектора называются коллинеарными (или параллельными), если изображающие их направленные отрезки параллельны или лежат на одной прямой. Аналогично определяется параллельность и перпендикулярность векторов прямым и плоскостям. О двух параллельных, но несонаправленных ненулевых векторах говорят, что они направлены противоположно. Параллельность, перпендикулярность и противоположная направленность векторов и обозначается соответственно так: || , ⊥ , ↑↓ .

30.3 Сложение векторов

Как и в планиметрии, сумму двух векторов можно найти по правилу треугольника (рис. 262, а). А именно если даны два вектора и , то вектор откладываем от любой точки А: = . Затем от его конца — точки В — откладываем вектор : = . Суммой + векторов и называется вектор = .

Полученный результат не зависит от выбора точки А. А именно если взять другую точку А₁ и отложить векторы — и = , то в результате получим вектор = (рис. 262, б).

Если векторы и не параллельны, то их сумму можно получить, пользуясь известным вам правилом параллелограмма. Согласно этому правилу надо отложить их от одной точки: = и = (рис. 262, в). Затем построить на отрезках АВ и AD параллелограмм ABCD. Вектор = + .

По правилу параллелограмма сумма двух векторов, непараллельных одной прямой, представляется диагональю параллелограмма, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки.

Аналогично сумма трёх векторов, непараллельных одной плоскости, представляется диагональю параллелепипеда, построенного на данных векторах, отложенных от одной точки, как на рёбрах (рис. 264). Убедитесь в этом.

30.4 Умножение вектора на число

Напомним определение умножения вектора на число, данное ещё в планиметрии.

Пусть даны ненулевой вектор и действительное число х ≠ 0. Произведением вектора на число х называется такой вектор х, который, во-первых, имеет длину |x| • || и, во-вторых, сонаправлен с , если х > 0, и направлен противоположно , если х

Параллельный перенос сохраняет расстояния и направления, т. е. каждым двум точкам X, У сопоставляются такие точки Х’, У’, что .

А так как по (9) , то получаем, что

Итак, параллельный перенос — это движение. Оказывается, что любое движение в пространстве можно получить, последовательно выполняя два из трёх рассмотренных нами видов движений: отражение в плоскости, поворот вокруг прямой и перенос. А именно справедлива следующая

Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 8
Рис.1 Обозначение векторов. Координаты вектора Любой вектор имеет свои координаты. Координатами вектора называются числа x2-x1 и y2-y1. Например, координаты вектора с начальной точкой А (1;1) и конечной точкой В (4;3) будут: Координаты нулевого вектора равны нулю. Два вектора называются равными, если у них соответствующие координаты равны.	Рис.2 Координаты вектора. 2.Сложение векторов Пусть заданы два вектора со своими координатами (b1;b2). Тогда суммой двух векторов будет вектор с координатами В векторной форме можно записать так: Для сложения векторов используются два метода: метод треугольника и метод параллелограмма. Для сложения векторов методом треугольника необходимо перенести вектор параллельным переносом так, чтобы конец вектора совпадал с началом вектора . Тогда начало вектора и будет сумма векторов По методу параллелограмма, если два вектора имеют общее начало, то суммой двух векторов будет диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. вектор Разностью двух векторов называется такой вектор , который нужно прибавить к вектору , чтобы получить вектор Рис.3 Сложение векторов. 3.Умножение вектора на число Любой вектор с координатами (x;y) можно умножить на простое число, например λ. (Рис.3) Тогда произведением вектора на число λ будет называться вектор с координатами (λx;λy). Абсолютная величина вектора будет равна: Для любых двух векторов число λ можно вынести за скобку λ ( Если λ > 0, то направление вектора не изменяется, а если λ 2 и называется скалярным квадратом. Отсюда следует, что Теорема. Скалярное произведение двух векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Доказательство. Пусть даны два вектора а и b и угол между ними α. Тогда квадрат суммы двух векторов равен: Следовательно, скалярное произведение двух векторов не зависит от выбора системы координат, а зависит только от их абсолютных величин. (Рис.5) Так как координаты вектора (b cos α; b sin α), то скалярное произведение двух векторов	Рис.5 Скалярное произведение векторов. Отсюда вытекает следующий вывод: если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

Доказательство этой теоремы мы не приводим.

Источник