Что такое абсолютная погрешность измерения в физике 7 класс
§ 5. Точность и погрешность измерений
Всякое измерение может быть выполнено с большей или меньшей точностью.
В качестве примера рассмотрим измерение длины ручки демонстрационным метром с сантиметровыми делениями (рис. 14).
Вначале определим цену деления линейки. Она будет равна 1 см.
Если верхний конец ручки совместить с нулевым штрихом, то нижний будет находиться между 11 и 12 штрихами, но ближе к 11.
Какое же из этих двух значений следует принять за длину ручки? Очевидно, то, которое ближе к истинному значению, т. е. 11 см.
Считая, что длина ручки 11 см, мы допустили неточность, так как ручка чуть длиннее 11 см.
В физике допускаемую при измерении неточность называют погрешностью измерений.
Погрешность измерения не может быть больше цены деления шкалы измерительного прибора.
В нашем случае погрешность измерения ручки не превышает 1 см. Если такая точность измерений нас не удовлетворяет, то можно произвести измерения с большей точностью. Но тогда придётся взять масштабную линейку с миллиметровыми делениями, т. е. с ценой деления 1 мм.
В этом случае длина ручки окажется равной 11,2 см.
Из этого примера видно, что точность измерений зависит от цены деления шкалы прибора.
Чем меньше цена деления, тем больше точность измерения.
Точность измерения зависит также от правильного применения измерительного прибора, расположения глаза при отсчёте по прибору.
Вследствие несовершенства измерительных приборов и наших органов чувств при любом измерении получаются лишь приближённые значения, несколько большие или меньшие истинного значения измеряемой величины.
Во время выполнения лабораторных работ или просто измерений следует считать, что погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.
Измерим длину карандаша. Нулевую отметку линейки совместим с одним концом карандаша, а другой её конец окажется вблизи 14 см. Цена деления линейки 1 мм, тогда погрешность измерения будет равна 0,5 мм или 0,05 см.
Следовательно, длину карандаша можно записать в виде
где I — длина карандаша.
Истинное значение длины карандаша находится в интервале от 13,95 см до 14,05 см.
При записи величин, с учётом погрешности, следует пользоваться формулой
где А — измеряемая величина, а — результат измерений, Δа — погрешность измерений (Δ — греч. буква «дельта»).
Вопросы
1. Как понимать выражение «измерить длину с точностью до 1 мм»?
2. Можно ли линейкой, имеющей сантиметровые деления, измерить длину с точностью до 1 мм?
3. Какова связь точности измерений с ценой деления шкалы прибора?
4. Какой формулой необходимо пользоваться при записи физических величин с учётом погрешности?
Задание
1. Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и ширину вашего учебника. Запишите результаты с учётом погрешности измерения.
2. Пользуясь рисунком 11, б, определите погрешность измерения термометра.
3. Измерьте линейкой с миллиметровыми делениями длину и высоту картины Л. да Винчи (рис. 15). Запишите результаты измерений с учётом погрешности. Используя Интернет, найдите название картины, её истинный размер и определите масштаб, в котором картина представлена в учебнике.
Что такое абсолютная погрешность измерения в физике 7 класс
При изучений физических явлений проводят различные измерения.
Физики измеряют физические величины.
При изучении падение тела, надо измерить высоту, с которой падает тело, массу тела, его скорость и время падения.
Чтобы узнать, например, зависит ли объем воды или другой жидкости от ее температуры и как зависит, нужно, нагревая воду, измерять и объем, и температуру.
Объем и температура, время и длина, площадь, скорость, масса, сила — это физические величины.
1. Что значит измерить?
Измерить какую-либо физическую величину — это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу этой величины.
Измерить длину стола — значит сравнить ее с другой длиной, которая принята за единицу длины, например с метром.
В результате измерения величины получаем ее числовое значение, выраженное в принятых единицах.
2. Какие бывают единицы имерения?
Для каждой физической величины приняты свои единицы измерения.
Очень удобно пользоваться одинаковыми единицами физических величин во всех странах мира.
Поэтому с 1963 г. применяется Международная система единиц — СИ (система интернациональная).
единица длины — 1 метр (1м),
единица времени — 1 секунда (1с),
единица массы — 1 килограмм (1 кг).
Кроме того, используются кратные единицы (кратные основной единице), которые в 10, 100, 1000 и т. д. раз больше.
Эти единицы получили наименования с приставками, взятыми из греческого языка.
«Дека» — 10, «гекто» — 100, «кило» — 1000 и др.
Используются и дольные единицы, которые в 10, 100, 1000 и т. д. раз меньше принятых единиц величин.
В них применяют приставки, также взятые из латинского языка. «Деци» — 0,1, «санти» — 0,01, «милли» — 0,001 и др.
Некоторые приставки к названиям единиц:
г — гекто (100 или 10 2 )
к — кило (1000 или 10 3 )
М — мега (1 000 000 или 10 6 )
3. Что такое измерителный прибор?
Для измерения физических величин нужны измерителные приборы.
Есть измерителные приборы для простых измерений. Например, измерительная линейка, рулетка, мензурка, применяемая для измерения объема жидкости.
Есть сложные измерительные приборы: секундомеры, термометры и другие.
По мере развития физики и техники приборы усложнялись и появились, например, приборы, при помощи которых изучают строение вещества.
У измерительных приборов есть измерительная шкала, на которой штрихами нанесены деления и написаны значения величин.
Между двумя большими штрихами могут быть дополнительно нанесены несколько делений, не обозначенных числами.
Значение измеряемой величины между ближайшими штрихами называется ценой деления прибора.
Например, у обычной школьной линейки расстояние между двумя ближайшими штрихами составляет 1 мм, это цена деления линейки.
4. Как определить цену деления измерительной шкалы прибора?
Прежде чем использовать измерительный прибор, надо определить цену деления этого прибора.
Надо установить, какому значению величины соответствует каждое самое малое деление.
Для того чтобы определить цену деления, необходимо:
— найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины;
— вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.
5. Примеры определения цены деления
а) Определение цены деления секундомера.
Используем любые два штриха, около которых нанесены значения измеряемой величины (времени), например штрихи с обозначениями 5 и 10 с.
Расстояние между этими штрихами разделено на 10 делений. Значит, цена каждого деления равна:
Секундомер показывает 22 с.
6. Что такое точность и погрешность измерений?
Любое измерение может быть выполнено с большей или меньшей точностью.
В физике допускаемую при измерении неточность называют погрешностью измерения.
Погрешность измерения не может быть больше цены деления измерительного прибора.
Из этого примера видно, что точность измерений зависит от цены деления шкалы прибора.
Чем меньше цена деления, тем больше точность измерения.
При измерении принято считать, что: погрешность измерений равна половине цены деления шкалы измерительного прибора.
При записи величин, с учетом погрешности, пользуются формулой:
где А — измеряемая величина,
а — результат измерений,
дельта а — погрешность измерений (треуголник — греч. буква «дельта»).
Если длина книги 20 см, а цена деления линейки 1 мм, то погрешность измерения будет равна 0,5 мм, или 0,05 см.
Следовательно, длину книги можно записать так:
L = (20 ±0,05) см,
где L — длина книги.
Истинное значение длины книги находится в интервале от 19,95 см до 20,05 см.
Главное:
Измерить какую-либо величину — это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу этой величины.
Основные единицы системы СИ: метр, килограмм, секунда.
Для того чтобы определить цену деления, необходимо:
— найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины;
— вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.
Уроки математики и физики для школьников и родителей
понедельник, 28 октября 2019 г.
Урок 16. Абсолютная и относительная погрешность
Для подсчёта абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычесть меньшее число.
В школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400 , то абсолютная погрешность измерения равна :
На предприятии 1284 рабочих и служащих. При округлении этого числа до 1300 абсолютная погрешность составляет
При округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет
Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Но при выполнении различных измерений мы обычно представляем себе границы абсолютной погрешности и всегда можем сказать, какого определённого числа она не превосходит.
Торговые весы могут дать абсолютную погрешность, не превышающую 5 г, а аптекарские – не превышающую одной сотой грамма.
Длина рулона обоев составляет.
Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью .
Но абсолютная погрешность не даёт нам представление о качестве измерения, то есть о том, насколько тщательно это измерение выполнено. Чтобы понять эту мысль, достаточно разобраться в таком примере.
Допустим, что при измерении коридора длиной в 20 м мы допустили абсолютную погрешность всего только в 1 см. Теперь представим себе, что, измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины, мы тоже допустили абсолютную погрешность в 1 см. Тогда понятно, что первое измерение нужно признать превосходным, но зато второе – совершенно неудовлетворительным. Это значит, что на 20 м ошибка в 1 см вполне допустима и неизбежна, но на 18 см такая ошибка является очень грубой.
Отсюда ясно, что для оценки качества измерения существенна не сама абсолютная погрешность, а та доля, какую она составляет от измеряемой величины. При измерении коридора длиной в 20 м погрешность в 1 см составляет
Делаем вывод, что измеряя корешок книги, имеющий 18 см длины и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении коридора длиной в 20 м, то это измерение можно считать максимально точным.
Если ошибка, возникающая при измерении линейкой или каким либо другим измерительным инструментом, значительно меньше, чем деления шкалы этой линейки, то в качестве абсолютной погрешности измерения обычно берут половину деления. Если деления на линейке нанесены достаточно точно, то ошибка при измерении близка к нулю.
Для измерения длины болта использованы метровая линейка с делениями 0,5 см и линейка с делениями 1 мм. В обоих случаях получен результат 3,5 см. Ясно, что в первом случае отклонение найденной длины 3,5 см от истинной, не должно по модулю превышать 0,5 см, во втором случае 0,1 см.
Если этот же результат получится при измерении штангенциркулем, то
Данный пример показывает зависимость абсолютной погрешности и границ, в которых находится точный результат, от точности измерительных приборов. В одном случае ∆ l = 0,5 и, следовательно,
Длина листа бумаги формата А4 равна (29,7 ± 0,1) см. А расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы равно (650 ± 1) км. Абсолютная погрешность в первом случае не превосходит одного миллиметра, а во втором – одного километра. Необходимо сравнить точность этих измерений.
Если вы думаете, что длина листа измерена точнее потому, что величина абсолютной погрешности не превышает 1 мм, то вы ошибаетесь. Напрямую сравнить эти величины нельзя. Проведём некоторые рассуждения.
При измерении длины листа абсолютная погрешность не превышает 0,1 см на 29,7 см, то есть в процентном отношении это составляет
Когда мы измеряем расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы, то абсолютная погрешность не превышает 1 км на 650 км, что в процентном соотношении составляет
Видим, что расстояние между городами измерено точнее, чем длинна листа формата А4.
Истинное значение измеряемой величины известно бывает лишь в очень редких случаях, а поэтому и действительная величина абсолютной погрешности почти никогда не может быть вычислена. На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Поэтому на практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения.
Абсолютная погрешность, как мы убедились, не даёт возможности судить о качестве измерения. Поэтому для оценки качества приближения вводится новое понятие – относительная погрешность. Относительная погрешность позволяет судить о качестве измерения.
Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближённого значения измеряемой величины, выраженная в долях или процентах.
Округлим дробь 14,7 до целых и найдём относительную погрешность приближённого значения :
При измерении в (сантиметрах) толщины b стекла и длины l книжной полки получили следующие результаты :
l ≈ 100 с точностью до 0,1.
Абсолютная погрешность каждого из этих измерений не превосходит 0,1 . Однако 0,1 составляет существенную часть числа 0,4 и ничтожную часть числа 100 . Это показывает, что качество второго измерения намного выше, чем первого.
Если взять абсолютную погрешность в 1 см, при измерении длины отрезков 10 см и 10 м, то относительные погрешности будут соответственно равны 10% и 0,1%. Для отрезка длиной в 10 см погрешность в 1 см очень велика, это ошибка в 10% . А для десятиметрового отрезка 1 см не имеет значения, эта ошибка всего в 0,1%.
Чем меньше относительная погрешность измерения, тем оно точнее.
Различают систематические и случайные погрешности.
Систематической погрешностью называют ту погрешность, которая остаётся неизменной при повторных измерениях.
Случайной погрешностью называют ту погрешность, которая возникает в результате воздействия на процесс измерения внешних факторов и может изменять своё значение.
В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближённого числа, а значит, и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.
Продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе наименьшая гиря – 50 г. Взвешивание показало 3600 г. Это число – приближённое. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превосходит
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью.
Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительной погрешностью.
На практике относительную погрешность округляют до двух значащих цифр, выполняя округление с избытком, то есть, всегда увеличивая последнюю значащую цифру на единицу.
Для х = 1,7 ± 0,2 относительная погрешность измерений равна :
Здесь а = 17,9 см. Можно принять ∆ = 0,1 см, так как с точностью до 1 мм измерить карандаш нетрудно, а значительно уменьшить предельную погрешность не удастся (при навыке можно прочесть на хорошей линейке и 0,02 и даже 0,01 см, но у самого карандаша рёбра могут отличаться на большую величину ). Относительная погрешность равна
По условию, предельная относительная погрешность должна составлять 0,05% от 35 мм. Следовательно, предельная абсолютная погрешность равна
Можно воспользоваться формулой
Подставляя в формулу
Действия над приближёнными числами.
Сложение и вычитание приближённых чисел.
Абсолютная погрешность суммы двух величин равна сумме абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Складываются приближённые числа
Пусть предельная погрешность первого есть 5 , а второго 1. Тогда предельная погрешность суммы равна
Так, если истинное значение первого есть 270 , а второго 33 , то приближённая сумма
Найти сумму приближённых чисел :
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
Предельная погрешность каждого слагаемого
Предельная погрешность суммы :
При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей, поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из предыдущего примера, где 9 слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближённого значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.
Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе – на две, третье – меньше истинного на одну единицу и так далее.
– когда истинная величина каждого слагаемого больше приближённой величины на 0,00005 ;
– когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближённой величины на 0,00005 .
Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только 0,0000002% всех возможных случаев.
Найти сумму точных чисел :
0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667
+ 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526.
Сложение даёт следующий результат – 0,6187.
Округлим их до тысячных и сложим :
0,091 + 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067
+ 0,062 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619.
Предельная погрешность суммы :
Приближённая сумма отличается от истинной на 0,0003 , то есть на треть единицы последнего знака приближённых чисел. Все три знака приближённой суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной.
Произведём в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет :
0,09 + 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07
+ 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62.
Истинная погрешность составляет только 0,0013 .
Предельная абсолютная погрешность разности двух величин равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.
Пусть предельная погрешность приближённого уменьшаемого 85 равна 2 , а предельная погрешность вычитаемого 32 равна 3 . Предельная погрешность разности
В самом деле, истинное значение уменьшаемого и вычитаемого могут равняться
Тогда истинная разность есть
Она на 5 отличается от приближённой разности 53 .
Относительная погрешность суммы и разности.
Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность.
Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых. Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Другими словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых.
Найти предельную абсолютную и предельную относительную погрешность суммы чисел :
В каждом слагаемом суммы
24,4 + 25,2 + 24,7 = 74,3
предельная относительная погрешность примерно одна и та же, а именно :
Такова же она и для суммы.
Здесь предельная абсолютная погрешность равна 0,15 , а относительная
0,15 : 74,3 ≈ 0,15 : 75 = 0,2%.
В противоположность сумме разность приближённых чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое. > особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.
Относительные погрешности при сложении и вычитании складывать нельзя.
Умножение и деление приближённых чисел.
При делении и умножении чисел требуется сложить относительные погрешности.
Пусть перемножаются приближённые числа 50 и 20 , и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя есть 0,4%, а второго 0,5%.
Тогда предельная относительная погрешность произведения
приближённо равна 0,9% . В самом деле предельная абсолютная погрешность первого сомножителя есть
Поэтому истинная величина произведения не больше чем
(50 + 0,2)(20 + 0,1) = 1009,02,
Если истинная величина произведения есть 1009,2 , то погрешность произведения равна
а если 991,02 , то погрешность произведения равна
Рассмотренные два случая – самые неблагоприятные. Значит, предельная абсолютная погрешность произведения есть 9,02 . Предельная относительная погрешность равна