Что такое абелева группа в алгебре

Абелева группа

Абелева или коммутативная группа есть группа, в которой групповая операция является коммутативной. Название дано в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля (1802-1829), за его вклад в исследование групп преобразований.

Конечнопорождённые абелевы группы изоморфны произведениям циклических групп. Конечные абелевы группы изоморфны произведениям конечных циклических групп.

Примеры

Свойства

Пусть n — натуральное число, а x — элемент коммутативной группы G с операцией, обозначаемой сложением, тогда nx можно определить как x + x + … + x (n раз) и (−n)x = −(nx). Таким образом, G становится модулем над кольцом Z целых чисел. В действительности модули над Z однозначно задаются абелевыми группами.

Пусть f, g : G → H — два гомоморфизма групп между абелевыми группами, тогда их сумма f + g, заданная как (f + g)(x) = f(x) + g(x), тоже является гомоморфизмом (это неверно, если H некоммутативная группа). Тем самым множество Hom(G, H) всех групповых гомоморфизмов из G в H само становится абелевой группой.

Конечные абелевы группы

Основополагающая теорема о структуре конечной абелевой группы утверждает, что любая конечная абелева группа может быть разложена в прямое произведение своих циклических подгрупп порядков являющихся степенями простых чисел. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда G не имеет элементов бесконечного порядка. Z_mn изоморфно произведению Z_m и Z_n тогда и только тогда когда m и n взаимно просты. Следовательно, можно записать абелеву группу G в форме прямого произведения

двумя различными способами:

Например, Z/15Z = Z/15 может быть разложено в прямое произведение двух циклических подгрупп порядков 3 и 5: Z/15 = <0, 5, 10>⊕ <0, 3, 6, 9, 12>. То же можно сказать про любую абелеву группу порядка пятнадцать, приходим к выводу, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны.

bn:আবেলীয় গ্রুপ ca:Grup abelià cs:Abelova grupa da:Abelsk gruppe el:Αβελιανή ομάδα eo:Komuta grupo et:Abeli rühm he:חבורה אבלית hu:Abel-csoport nl:Abelse groep nn:Abelsk gruppe no:Abelsk gruppe nov:Abelan grupe pl:Grupa przemienna sk:Abelovská grupa sl:Abelova grupa sr:Абелова група sv:Abelsk grupp ta:பரிமாற்றுக் குலம் vi:Nhóm giao hoán

Источник

В математика, абелева группа, также называемый коммутативная группа, это группа в котором результат применения группы операция к двум элементам группы не зависит от порядка, в котором они написаны. То есть групповая операция коммутативный. При добавлении в качестве операции целые числа и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала 19 века. Нильс Хенрик Абель. [1]

Понятие абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраические структуры, Такие как поля, кольца, векторные пространства, и алгебры. Теория абелевых групп обычно проще, чем их теория. неабелев аналоги, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью засекречен.

Содержание

Определение

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой».

Факты

Обозначение

Таблица умножения

Примеры

Исторические заметки

Камилла Джордан назвал абелевы группы в честь норвежский язык математик Нильс Хенрик Абель, поскольку Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлен следует, что корни многочлена могут быть рассчитывается с использованием радикалов. [3] : 144–145

Характеристики

В некотором роде с измерение из векторные пространства, каждая абелева группа имеет классифицировать. Он определяется как максимальное мощность набора линейно независимый (над целыми числами) элементы группы. [4] : 49–50 Конечные абелевы группы и группы кручения имеют ранг нуль, и каждая абелева группа ранга нуль является группой кручения. Целые числа и рациональное число имеют ранг один, а также все ненулевые аддитивная подгруппа рациональных. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, так как это свободная абелева группа с множеством простые числа в качестве основы (это вытекает из основная теорема арифметики).

Конечные абелевы группы

Классификация

любым из следующих канонических способов:

Смотрите также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 и менее.

Автоморфизмы

куда GL < displaystyle < text >> подходящий общая линейная группа. Легко показать, что это порядок

Можно проверить, что это дает заказы в предыдущих примерах как особые случаи (см. Hillar, C., & Rhea, D.).

Конечно порожденные абелевы группы

Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение генераторной установки А эквивалентно умножению M слева от унимодулярная матрица (то есть обратимая целочисленная матрица, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение генераторной установки ядра M эквивалентно умножению M справа унимодулярной матрицей.

куда р это количество нулевых строк в нижней части р (а также классифицировать группы). Это основная теорема о конечно порожденных абелевых группах.

Существование алгоритмов для нормальной формы Смита показывает, что основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой об абстрактном существовании, но обеспечивает способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм.

Бесконечные абелевы группы

Торсионные группы

Группы без кручения и смешанные

Абелева группа называется без кручения если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевы группы без кручения были широко изучены:

Инварианты и классификация

Все описанные выше классификационные теоремы для конечно порожденных, делимых, счетно-периодических абелевых групп без кручения и ранга 1 были получены до 1950 года и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются: чистый и базовый подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из путей дальнейшего прогресса. Смотрите книги Ирвинг Каплански, Ласло Фукс, Филип Гриффит, и Дэвид Арнольд, а также материалы конференций по теории абелевых групп, опубликованные в Конспект лекций по математике для более свежих результатов.

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа звенеть является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

Отношение к другим математическим темам

Многие большие абелевы группы обладают естественным топология, что превращает их в топологические группы.

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмы между ними образует категория Ab < displaystyle < textbf >> , прототип абелева категория.

Ванда Шмелев (1955) доказал, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от своего неабелевого аналога, разрешима. Наиболее алгебраические структуры Кроме как Булевы алгебры находятся неразрешимый.

Есть еще много направлений текущих исследований:

Более того, абелевы группы бесконечного порядка приводят, как ни странно, к глубоким вопросам о теория множеств обычно считается лежащим в основе всей математики. Возьми Проблема Уайтхеда: все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также свободные абелевы группы? В 1970-е годы Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда:

Замечание о типографике

Среди математических прилагательные полученный из правильное имя из математикслово «абелевский» встречается редко, так как оно часто пишется со строчной буквы. а, а не в верхнем регистре А, что указывает на повсеместное распространение этой концепции в современной математике. [12]

Смотрите также

Примечания

Источник

АБЕЛЕВА ГРУППА

— группа, умножение в к-рой коммутативно (перестановочно). А. г. наз. также коммутативной.

Смотреть что такое «АБЕЛЕВА ГРУППА» в других словарях:

абелева группа — Абстрактная группа с такой бинарной операцией, которая являеся коммутативной (например «от перемены мест слагаемых сумма не меняется»). [http://www.rfcmd.ru/glossword/1.8/index.php?a=index d=23] Тематики защита информации EN abelian… … Справочник технического переводчика

АБЕЛЕВА ГРУППА — разрешимости алгебраич. уравнений в радикалах. Обычно для обозначения операции в А. г. используется аддитивная запись, т. е. знак + для самой операции, наз. сложением, знак 0 для нейтрального элемента, наз. нулем (в мультипликативной записи он… … Математическая энциклопедия

Абелева группа — Группа с перестановочным действием. Названа по имени Н. Абеля (См. Абель), установившего роль этих групп в теории разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Современная теория А. г. имеет важные приложения в различных разделах… … Большая советская энциклопедия

абелева группа — Математическая группа, удовлетворяющая операции перестановки: а+b=b+a; a·b=b·a, или коммуникативности … Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ АБЕЛЕВА ГРУППА — абелева группа, порядки всех неединичных элементов к рой равны одному и тому же простому числу р. О. А. Иванова … Математическая энциклопедия

Группа Гротендика — понятие абстрактной алгебры, имеющее многочисленные приложения, в том числе, в теории представлений, алгебраической геометрии, K теории. Названа в честь французского математика Александра Гротендика, который ввёл это понятие в середине 1950 х… … Википедия

Источник

АБЕЛЕВА ГРУППА

разрешимости алгебраич. уравнений в радикалах. Обычно для обозначения операции в А. г. используется аддитивная запись, т. е. знак + для самой операции, наз. сложением, знак 0 для нейтрального элемента, наз. нулем (в мультипликативной записи он наз. единицей).

Свободное объединение в многообразии А. г. совпадает с прямой суммой. Свободная абелева группа есть прямая сумма нек-рого множества бесконечных циклич. групп. Всякая подгруппа свободной А. г.- свободная А. г. Совокупность всех элементов конечного порядка А. г. образует подгруппу, наз. периодической частью А. г. Факторгруппа А. г. по ее периодич. части является группой без кручения. Таким образом, всякая А. г.- расширение периодич. А. г. при помощи А. г. без кручения. Это расширение не всегда расщепляемо, т. е. периодич. часть, вообще говоря, не выделяется в виде прямого слагаемого. Периодич. А. г., порядки всех элементов к-рой являются степенями фиксированного простого числа р, наз.примарной по простому числу p(в общей теории групп употребляется термин р-группа). Всякая периодич. А. г. может быть разложена, притом единственным способом, в прямую сумму примерных групп, относящихся к различным простым числам.

Конечное множество элементов А. г. наз. линейно зависимым, если существуют текие целые числа не все равные нулю, что Если же теких чисел не существует, то это множество наз. линейно независимым. Произвольная системе элементов А. г. наз. линейно зависимой, если линейно зависима нек-рая конечная ее подсистема. А. г., не являющаяся периодической, обладает максимальными линейно независимыми системами. Мощности всех максимальных линейно независимых подсистем одинаковы и наз. рангом (Прюфера) данной А. г. Ранг периодич. группы считается равным нулю. Ранг свободной А. г. совпадает с мощностью системы ее свободных образующих.

А. г. без кручения, разложимые в прямую сумму групп ранга I, наз. вполне разложимыми. Не всякая подгруппа вполне разложимой группы будет вполне разложимой (но всякое прямое слагаемое таково). Для всякого целого nсуществует А. г. без кручения ранга n, неразложимая в прямую сумму. Для счетных А. г. без кручения может быть построена полная система инвариантов.

А. г. наз. полной, или делимой, если для любого ее элемента аи любого целого тв ней разрешимо уравнение Все делимые А. г. исчерпываются всевозможными прямыми суммами групп, изоморфных и группам причем мощности множеств компонент, изоморфных а также (для каждого р), составляют полную и независимую систему инвариантов делимой группы. Всякая А. г. может быть изоморфно вложена в нек-рую делимую А. г. Делимые А. г. и только они являются инъективными объектами в категории А. г. и служат прямыми слагаемыми для всякой содержащей их А. г. Таким образом, всякая А. г. представима в виде прямой суммы полной группы и так наз. редуцированной группы, т. е. группы, к-рая не содержит ненулевых полных подгрупп. Описание редуцированных А. г. известно лишь в немногих случаях. Так, теорема Ульма (см. [1], 28) дает описание всех счетных редуцированных периодич. А. г.

Теория А. г., берущая свое начало в теории чисел, находит применение во многих современных математич. теориях. Так, теория двойственности характеров конечных А. г. получила глубокое развитие в теории двойственности для топологических локально компактных групп. Развитие гомологич. алгебры позволило решить ряд проблем в теории А. г., напр, дать описание множества всех расширений одной группы с помощью другой. Развитие теории модулей неразрывно связано с А. г. как модулями над кольцом целых чисел. Многие результаты теории А. г. удается перенести на случай модулей над кольцом главных идеалов. Относительная простота и изученность А. г. (что подтверждает, напр., разрешимость элементарной теории А. г.) вместе с довольно разнообразным запасом объектов делают А. г. постоянным источником примеров во многих разделах математики.

Источник