Что стремится к нулю

Бесконечно малая величина

Бесконечно малая величина

Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Содержание

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Бесконечно большая величина

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т.н. замечательных пределов):

Теорема

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращенным названием «Аналист». Полное его название: «Аналист или рассуждение, обращенное к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».

«Аналист» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?… И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришел к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Занятно, что некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

Источник

Что означает предел в математике

Сага о погрешностях при участии слова lim

Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной.

Что такое предел в математике

Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:

Самое простое объяснение функции в математике.

👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.

Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности

Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.

Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:

График и предел

Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.

Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.

Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.

Погрешность в пределах

В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.

Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.

Считаем предел в программировании

Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).

Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:

Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

⚠️ Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.

С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.

Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.

Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:

Программа справилась и выдала результат с нужной нам точностью

Источник

Пределы

Пределы — одни из самых трудных сущностей в математике для понимания. Сложно объяснить просто, что такое предел, поэтому чаще всего этого никто и не делает.

И тем более, мало к то из преподавателей может привести пример из жизни, когда пределы все-таки могут пригодиться. Но мы попытаемся объяснить так, чтобы было и понятно и несложно и по сути. Как обычно «на пальцах».

Что такое пределы простыми словами

Наверное самое наглядное, что можно вспомнить из истории, это знаменитый парадокс Зенона «Ахиллес и черепаха». Зенон был философом, а не математиком, поэтому мог вполне свободно упражняться в остроумии не заботясь о доказательствах.

Ахиллес и черепаха бегут на перегонки. Черепаха начинает первой, человек догоняет. Ахиллес бежит быстрее, но когда он пробегает 100 шагов, черепаха все рано проползает один. Еще 100 шагов и еще один. Таким образом Ахиллес приближается к черепахе но и она чуть-чуть отдаляется от него. Зенон делает вывод, что Ахиллес будет бесконечно к ней приближаться, но никогда не догонит черепаху!

В этой истории важно не то, что на самом деле она не реальна, а ее «математический смысл». Человек приближается к черепахе но никогда ее не настигает. То есть некий предел (черепаха) к которому стремится Ахиллес.

Говоря простым языком, предел это такое значение, которое нельзя достичь, но можно бесконечно близко к нему приблизится.

То есть, в пределе определенного промежутка времени Ахиллес действительно не догонит черепаху (времени не хватит), но приблизится к ней на бесконечно малое расстояние.

Что такое пределы в математике

Стоит сразу сказать, что определение пределов больше чем одно, потому, что они бывают разные. Есть придел последовательности, а есть предел функции.

Давайте разделим число 10 пополам:

10/2=5, и еще раз, 5/2=2,5 и еще…

Это последовательность n/2: 10…2,5…1,25…

Если делать это 20 раз получится вот такое значение: 0,000019

А если сделать 100 раз, то вот такое: 0,000000000000000000000000000016

Если делить пополам бесконечно, результат будет уменьшатся, в реальной жизни, это будет уже фактически ноль, но в математике, все еще не ноль… Предел этой последовательности будет стремиться к нолю.

Если взять другу последовательность, например n+1. 2…3…4…5… и снова устремимся в бесконечность. Предел этого множества тоже будет стремится к бесконечности.

Еще один пример

Бросаем монетку. Может выпасть «орел», а может и «решка». Теория вероятности утверждает, что шансы всегда 50/50, то есть вероятность «орла» — 1/2=0,5.

Каждый раз, значение реальной вероятности, приближается к расчетным 0,5. Чтобы получить вероятность ровно 0,5 нужно подбросить монетку бесконечное количество раз.

То есть, при условии, что количество бросков стремится к бесконечности предел предел будет равен 0,5.

Это именно та бесконечность из матанализа о которой было сказано в статьях об интегралах и делении на ноль. Это не какое-то определенное число — это понятие.

Предел последовательности

Предел последовательности — это пространство которое содержит все все элементы последовательности начиная с какого-то значения.

А простыми словами, предел последовательности, простыми словами, это такая «область» куда попадают все значения после определенного порога (в нашем случае – А). На изображении ниже она условно показана синей полоской.

ε — это произвольное положительное число.

Можно заметить, что при продолжении вверх последовательности ее значения все равно будут оставаться в пределах «синей полосы».

Можно сказать и так:

Предел числовой последовательности, это число (s на графике) в окрестности которого попадает бесконечно много значений. При этом вне предела, количество значений явно конечно.

Чтобы было еще понятнее: предел последовательности это значение (точка А) выше которого все будет попадать в область не больше s+ε и s-ε. Бесконечное количество таких значений будет «лежать» внутри синей полоски.

Математическим языком можно записать так: s-ε Предел функции простыми словами объяснить также просто. Предел в какой-то произвольной точке — это величина к которой значение функции приближается. Например, f(x)=2x, а х→0 (икс стремится к нулю).

В этом случае предел функции будет равен lim 2x=0. Или в случае если х→2 то предел равен lim 2x=4. Пока все просто. Вот только зачем вычислять пределы, если можно просто выбросить «lim» и расчеты останутся те ми же?….

Зачем нужны пределы

Пределы как раз и нужны тогда, когда мы имеем дело с бесконечностью. Например, бесконечно большими или бесконечно малыми значениями.

Непонятно, что такое «бесконечно большое» или «бесконечно долго», это не какое-то определенное число. С бесконечно малыми значениями та же ситуация, это не «ноль» но как-то очень близко к нему. Тут и выручают пределы.

В точке х=2 — пусто. Потому, что получается 0/0, то есть неопределенность. Но стоит вместо 2 подставить 1,9999999999(9) или 2,000000001(1). Значения бесконечно близкие к 2, но не «два», как график превратится в прямую.

В этом случае речь идет о пределе функции при «икс» стремящемуся к двум, функция стремится к 4.

Такой своеобразный «трюк» в расчетах с заменой знака равенства на стрелочку.

Нет, не совсем. Когда речь идет о пределах, имеется в виду процесс, не важно функция это или множество, но предел описывает процесс в динамике. Тогда как знак «равно» означает статическое состояние.

x=1 и x→1, это совсем не одно и то же.

Примеры из жизни

Зачем все это нужно где применяется пределы в реальных расчетах?

Простое объяснение пределов невозможно, если не привести наглядный пример. Но только где его взять? Существует ли какой-то физический смысл пределов? Не точный аналог но что-то похожее есть.

Можно провести простой эксперимент, взять, например, спичку. Или что-угодно, чего не жалко. Начинаем пытаться сломать спичку, сначала одно усилие, потом чуть больше и еще больше. В один из моментов спичка треснет пополам.

Поздравляем, вы достигли предела прочности. Можно повторить эксперимент с другими спичками и установить, значение при котором спичка ломается.

Что тут общего с пределами из математики, кроме названия.

Есть множество значений силы до предела прочности и оно ограничено, и множество значений после предела прочности, их неограниченное множество. Ведь спичка уже сломана, любое усилие выше предела прочности будет ломать новую и новую спичку. Точно так же как и с пределом функции или множества.

Все, что лежит за пределом, уже не имеет практического значения — спичка не устоит.

Еще один пример, это «практический потолок» летательного аппарата. Это максимальная высота на которую может «взобраться» самолет, чтобы подняться выше будет уже не хватать подъемной силы. Хотя на есть еще и понятие «динамический потолок» — это высота на которую можно подняться хорошенько разогнавшись.

Но, выскочив на эту высоту, через некоторое время самолет все равно опустится на свой «потолок».

Посмотрите на картинку ниже, это наглядный пример такого явления как резонанс.

Колебание моста из-за резонанса

Мост так раскачивается из-за того, что собственная частота колебания совпадает с той частотой с которой его раскачивает ветер, амплитуда колебаний постоянно возрастает и мост разрушается. В этом случае амплитуда стремится к бесконечности, так как в знаменателе формулы находится выражение w₀-w (собственная частота колебаний минус вынужденная частота), а так как обе w равны, получается то самое деление на ноль, а значит амплитуда → ∞.

Самое понятное объяснений пределов в реальности, с которым может столкнуться каждый — это сложные банковские проценты по кредиту. И если вы не умеете рассчитывать сложны проценты, не берите кредит. Для тех, кто силен в матанализе совет будет не лишним.

Также может понадобится рассчитать предельную стоимость товара, зная зависимость (функцию) цены от объема продаж или предельный объем производства или много еще чего.

Самый наглядный пример, возможно, это предел в маркетинге. Вот зависимость стоимости клика от количества кликов в контекстной рекламе.

И все же, в повседневной жизни обыватель редко встречается с таким понятием как предел функции или последовательности. Поэтому и так сложно понять и принять абстрактные математические формулировки.

Но, если постараться, математика может открыть новые грани реальности, по крайней мере, все это уже не будет казаться таким скучным и непонятным.

Источник

Бесконечно большая величина

Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Содержание

Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Бесконечно большая величина

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Во всех случаях бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx не является бесконечно большой при .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины?
Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

Эквивалентные величины

Определение

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ().
Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности: , , .

Теорема

Данная теорема имеет прикладное значение при нахождении пределов (см. пример).

Пример использования

Исторический очерк

Понятие «бесконечно малое» обсуждалось ещё в античные времена в связи с концепцией неделимых атомов, однако в классическую математику не вошло. Вновь оно возродилось с появлением в XVI веке «метода неделимых» — разбиения исследуемой фигуры на бесконечно малые сечения.

В XVII веке произошла алгебраизация исчисления бесконечно малых. Они стали определяться как числовые величины, которые меньше всякой конечной (ненулевой) величины и всё же не равны нулю. Искусство анализа заключалось в составлении соотношения, содержащего бесконечно малые (дифференциалы), и затем — в его интегрировании.

Математики старой школы подвергли концепцию бесконечно малых резкой критике. Мишель Ролль писал, что новое исчисление есть «набор гениальных ошибок»; Вольтер ядовито заметил, что это исчисление представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Даже Гюйгенс признавался, что не понимает смысла дифференциалов высших порядков.

Споры в Парижской Академии наук по вопросам обоснования анализа приобрели настолько скандальный характер, что Академия однажды вообще запретила своим членам высказываться на эту тему (в основном это касалось Ролля и Вариньона). В 1706 году Ролль публично снял свои возражения, однако дискуссии продолжались.

В 1734 году известный английский философ, епископ Джордж Беркли выпустил нашумевший памфлет, известный под сокращенным названием «Аналист». Полное его название: «Аналист или рассуждение, обращенное к неверующему математику, где исследуется, более ли ясно воспринимаются или более ли очевидно выводятся предмет, принципы и умозаключения современного анализа, чем религиозные таинства и догматы веры».

«Аналист» содержал остроумную и во многом справедливую критику исчисления бесконечно малых. Метод анализа Беркли считал несогласным с логикой и писал, что, «как бы он ни был полезен, его можно рассматривать только как некую догадку; ловкую сноровку, искусство или скорее ухищрение, но не как метод научного доказательства». Цитируя фразу Ньютона о приращении текущих величин «в самом начале их зарождения или исчезновения», Беркли иронизирует: «это ни конечные величины, ни бесконечно малые, ни даже ничто. Не могли ли бы мы их назвать призраками почивших величин?… И как вообще можно говорить об отношении между вещами, не имеющими величины. Тот, кто может переварить вторую или третью флюксию [производную], вторую или третью разность, не должен, как мне кажется, придираться к чему-либо в богословии».

Невозможно, пишет Беркли, представить себе мгновенную скорость, то есть скорость в данное мгновение и в данной точке, ибо понятие движения включает понятия о (конечных ненулевых) пространстве и времени.

Как же с помощью анализа получаются правильные результаты? Беркли пришел к мысли, что это объясняется наличием в аналитических выводах взаимокомпенсации нескольких ошибок, и проиллюстрировал это на примере параболы. Занятно, что некоторые крупные математики (например, Лагранж) согласились с ним.

Сложилась парадоксальная ситуация, когда строгость и плодотворность в математике мешали одна другой. Несмотря на использование незаконных действий с плохо определёнными понятиями, число прямых ошибок было на удивление малым — выручала интуиция. И всё же весь XVIII век математический анализ бурно развивался, не имея по существу никакого обоснования. Эффективность его была поразительна и говорила сама за себя, но смысл дифференциала по-прежнему был неясен. Особенно часто путали бесконечно малое приращение функции и его линейную часть.

В течение всего XVIII века предпринимались грандиозные усилия для исправления положения, причём в них участвовали лучшие математики столетия, однако убедительно построить фундамент анализа удалось только Коши в начале XIX века. Он строго определил базовые понятия — предел, сходимость, непрерывность, дифференциал и др., после чего актуальные бесконечно малые исчезли из науки. Некоторые оставшиеся тонкости разъяснил позднее Вейерштрасс.

Как иронию судьбы можно рассматривать появление в середине XX века нестандартного анализа, который доказал, что первоначальная точка зрения — актуальные бесконечно малые — также непротиворечива и могла бы быть положена в основу анализа.

Источник