Что сложнее алгебра или геометрия 8 класс
Так ли сложна алгебра и геометрия
Во время получения новых знаний по математике, школьники часто испытывают трудности с новыми темами. Если в начальных классах всё было понятно, применялись базовые операции в виде сложения и вычитания, то затем математика стала усложняться. Появилось умножение и деление. Затем математика разделилась на два отдельных направления — алгебру и геометрию. Расскажем, в чём особенности как алгебры, так и геометрии.
Особенности геометрии
Геометрия — это математическое направление, в котором ученики школьных учреждений решают задачи с геометрическими фигурами. Например:
Решают примеры как с двумерными фигурами, так и с трёхмерными. В итоге, пытаются в голове крутить фигуру, чтобы найти решение поставленной задачи.
Геометрические задачи часто вызывает сложности у учеников. Если посмотреть задачи, которая имеет геометрия 8 класса онлайн, то видно, как идёт постепенное усложнение примеров от лёгких, до более сложных. Самостоятельно справится с такими задачами часто не представляется возможным, поэтому родители школьников начинают искать репетиторов. Также записывают детей на дополнительные занятия, факультативы, чтобы ребята смогли лучше понимать, как решать задачи по геометрии.
Особенности алгебры
Алгебра также имеет ряд особенностей. В число алгебраических примеров входят задачи, в которых требуется применять самый разнообразный набор математических приемов. Ученики, для решения таких задачек, должны отлично владеть:
Это базовый набор, который можно заметить в алгебре 8 класса онлайн. В процессе решения различных задач требуется применять ряд правил, которые помогут в решении.
Когда возникают трудности с решением алгебраических задач, то рекомендуется обращаться к репетиторам. Алгебра — это та область, которая часто доступна для подавляющего большинства учеников. Часто алгебра для многих легче, чем геометрия. В алгебраических задачах часто имеется одно логичное решение, в отличие от геометрии, где следует применять более абстрактное мышление и подходить к решению задачи с разных сторон.
Таким образом, алгебра и геометрия на первый взгляд кажутся сложными. Сложность предметы вызывают в том случае, если ученик недостаточно понял ту или иную тему. Чтобы такой ситуации не происходило, следует уделять больше внимание самостоятельному обучению. Учиться онлайн или прибегать к услугам репетитора.
Удачи в решении задач!
Критерии выбора духов в интернет-магазине
Приобретение духов в интернете — сложная задача, ведь нет возможности напрямую ощутить аромат парфюма.
Остаемся анонимным и обходим цензуру в Интернете.
Во многих странах мира имеются технологии, которые позволяют властям и спецслужбам этих стран блокировать доступ к определенным Интернет-ресурсам.
VIP Casino предлагает пять способов получить деньги и удовольствие — промахнуться сложно
С VIP Casino у Вас появилась причина обзавестись постоянным аккаунтом в казино онлайн.
Экскурсии по России: как найти хорошего туроператора
В преддверии новогодних праздников абсолютно каждый из нас начинает искать варианты для качественного времяпровождения.
Продвижение бизнеса в социальных сетях
Ежедневно среднестатистический человек тратит от 4 до 6 часов на просмотр ленты новостей, пролистывание публикаций любимых пабликов.
Какой будет погода в Украине этой зимой и на новогодние праздники
Зима — это сказочное время, которое заставляет поверить в чудеса взрослых и детей.
Проблемы с алгеброй, сложности с геометрией. Меняем подходы
Вопрос от Артема:
Как сыну усилить понимание в школе? У него проблемы с алгеброй и сложности с геометрией.
Отвечает Виктория Винникова, учитель математики:
Здравствуйте, Артем! Спасибо за интересный вопрос. Ваша тревога понятна, вы столкнулись со сложностями в обучении при появлении новых предметов. Когда возникают проблемы с алгеброй, сложности с геометрией – появляется множество вопросов, вы теряетесь и не знаете, как лучше донести информацию до ребенка.
За основу возьмем предположение, что до этого проблем с математикой у ребенка не было. Поскольку очевидно, что если есть пробелы в знаниях, то это и является одной из причин непонимания алгебры и геометрии.
Математика входит в нашу жизнь с раннего детства. Огромный объем математических понятий осваивается в дошкольном возрасте через игры и наглядно-действенное мышление.
Естественно, в начальной школе идет подъем на ступеньку выше, и дети уже оперируют более сложными понятиями, ищут между ними взаимосвязи и взаимозависимость.
При переходе к изучению алгебры и геометрии впервые происходит разделение математики на два отдельных предмета.
В алгебре приходится оперировать какими-то абстрактными величинами, а в геометрии вполне конкретными осязаемыми фигурами, которые ближе к жизни, чем всякие цифры. Однако у ребят все равно возникают сложности, и некоторым, наоборот, кажется, что геометрия сложнее, чем алгебра. Многие родители пытаются тратить больше времени на уроки, но такой подход не всегда срабатывает, потому что непонятны причины возникших проблем с алгеброй и сложностей с геометрией.
Именно в причинах мы и будем разбираться.
Новый взгляд на особенности мышления
Попробуем взглянуть на проблему через призму системно-векторной психологии Юрия Бурлана, чтобы отследить особенности мышления и восприятия информации у разных детей. Это поможет найти к ним оптимальный подход.
Системно-векторная психология Юрия Бурлана утверждает, что в основе психики человека лежат врожденные свойства. Набор таких свойств называется векторами. Всего их восемь, и каждый задает своему обладателю набор свойств, в том числе особенности мышления и восприятия информации.
Чтобы что-то понять, необходимо сравнить. Чтобы что-то сравнивать, нужно уметь отличать или дифференцировать отличительные признаки, определять сходства и различия.
Рассмотрим эти особенности и различия на примерах.
Проблемы с алгеброй. В чем причины?
Для решения большинства заданий по алгебре, которая систематизирует и обобщает многие математические понятия, необходима усидчивость, внимательность, точность и последовательность. Не всем детям заданы такие свойства. Есть те, у кого психика более подвижна — это дети с кожным вектором.
Таким ребятам свойственно стремление делать несколько дел одновременно, они не готовы проявлять усидчивость и часто для ускорения «нудного процесса» могут перепрыгивать через шаги, нарушая алгоритм действий. Именно поэтому у них возникают ошибки. Еще в младшей школе на таких детей жалуются учителя, что они невнимательны и неусидчивы.
Когда такому ребенку предлагают долго и нудно писать длинные цепочки алгебраических выражений, ему становится скучно, более того, нет быстрого результата. Ребенок с кожным вектором вообще старается сделать все быстро и, если не видит впереди осязаемого успеха, обычно ищет обходные пути. Он может начать просто списывать, чтобы получить хорошую оценку.
По сути, при решении алгебраических задач ребенок с кожным вектором входит в противоречие со своей внутренней системой ценностей. Можно, конечно, попытаться сделать усилия и пойти наперекор бессознательным желаниям, попробовать быть внимательнее, проявлять усидчивость, которая ему не свойственна… и в итоге все равно не получается. Он расстраивается. Ошибки не добавляют положительных эмоций, от внутреннего противоречия ребенок просто начинает потихонечку ненавидеть сам предмет.
В долгосрочной перспективе бессознательное всегда сильнее, ведь именно оно и диктует наши поступки. Что же делать?
Проблемы с алгеброй. Меняем подходы
Системно-векторная психология Юрия Бурлана предлагает действовать через принцип наслаждения. Ребенок — это сгусток различных желаний (векторов), заданных ему от рождения. Ребенок устроен так, что замечает только то, что приносит ему удовольствие, и старается игнорировать то, что доставляет дискомфорт. Если обучать ребенка, используя его природные свойства, учение превращается в увлекательное приключение.
Меняем подходы, используя основной постулат системно-векторной психологии Юрия Бурлана.
Основное желание кожного ребенка — быть всегда первым, самым быстрым, самым успешным. Эти заданные от природы свойства позволяют ему стать спортсменом или бизнесменом. Если у ребенка кожный вектор, то я бы предложила показать ему выгоду от владения формулами и умением их читать. Закономерности бизнес-процессов описываются через формулы. Формирование расчетов рентабельности бизнеса также идет с помощью формул.
Умение читать балансы, даже если саму работу будет выполнять другой человек, — необходимое качество бизнесмена. При этом алгебра действует по шаблону формул, а это очень хорошая аналогия с бизнес-процессами. Приложив усилия к изучению алгебры, кожный ребенок получает уникальные инструменты для дальнейшей карьеры. Когда ребенок с кожным вектором видит выгоду, он готов напрячься и преодолеть проблемы с алгеброй.
Вот вам и подсказка, как можно заинтересовать ребенка с кожным вектором изучением скучной алгебры – просто показать выгоду.
Если ребенок увлекается спортом, то можно действовать так.
Геометрия и логика
Геометрия — это логика и причинно-следственные связи. Аксиомы и постулаты легче даются детям с кожным вектором, правда, их необходимо учить наизусть, чтобы верно применять. Медлительному и основательному ребенку с анальным вектором не представляет труда выучить наизусть – у него прекрасная память, а вот мыслить логически не «его конек». Он больше склонен анализировать и систематизировать. А в геометрии задачи редко решаются по шаблону, каждая индивидуальна. Хотя со временем дети с анальным вектором увидят общую систему, правила и закономерности и тоже преодолеют сложности с геометрией.
А пока пусть используют свою отличную память и хорошенько учат аксиомы и теоремы.
Для кожника геометрия просто рай, у него логическое мышление и как будто встроенное чутье на причинно-следственные связи. В геометрии используется достаточно короткий язык символов, для доказательств и решения задач. Это дает дополнительное удовольствие детям с кожным вектором, которые любят сэкономить на всем, в том числе и на словах, заменяя их сокращениями, стрелочками и аббревиатурами.
Причины проблем с алгеброй и сложностей с геометрией
Еще одной из причин проблем с алгеброй и сложностей с геометрией может быть путаница в применении своих свойств. Если ребенок обладает и анальным, и кожным векторами, он может в случае, когда требуется логическое мышление и скорость, применять аналитический ум и усидчивость анального вектора. И, наоборот, при решении задач по алгебре торопиться и сокращать шаги, «перепрыгивая» через ступени алгоритма. Что приводит к ошибкам.
И вот стоит «добрый молодец» на перепутье, и не решается у него задача. Мысли то скачут, то в болото ступора попадают. Когда же познавательный процесс идет естественно, уходит ступор и суетливость.
Этот вопрос также решается через спокойный разговор с ребенком и разъяснение ему его свойств и особенностей мышления.
При этом ребенок сам понимает и принимает ответственность на себя и может легче адаптироваться, даже если меняется учитель по математике.
Без труда не вытащишь и рыбку из пруда
Учеба — это всегда усилия и напряжение ума. Эмоции и ощущения от усилий бывают разными. Со знаком плюс — радость и восторг от озарений, со знаком минус — разочарование от потраченных усилий, которые все равно не принесли ожидаемого результата.
Действуя сообща с бессознательными желаниями, мы идем рука об руку с принципом удовольствия. Понимание особенностей мышления облегчает формирование новых привычек, ведь они всегда подкрепляются удовольствием от полученного результата.
Сложности и проблемы с учебой никуда не денутся. Это поступательный процесс, в нем необходимо прикладывать умственные усилия. И без преодоления этих преград не складываются навыки математического мышления.
Системно-векторная психология Юрия Бурлана — новейшие открытия в психологии. Они помогают тонко настроить механизмы мышления и учиться с увлечением. Более того, дети воспринимают эти знания легко и быстро начинают ориентироваться в своих сильных и слабых свойствах. Это позволяет в дальнейшем не допускать серьезных ошибок в жизни.
Современные дети полиморфны, т.е. имеют от трех до пяти векторов (реже больше). В этой статье мы рассмотрели только два вектора. Есть еще другие, каждый со своими особенностями. Неспособных к математике детей просто нет – есть особенности восприятия информации в каждом векторе.
Пробудить интерес ребенка к учебе можно в любом возрасте. Главное, действовать согласно природным задаткам и через принцип удовольствия. Эта методика таит в себе огромный потенциал, родители, учителя и психологи уже взяли ее на вооружение.
Владение системным мышлением позволит вам создать наиболее комфортные условия для решения любых проблем с учебой, а не только проблем с алгеброй и сложностей с геометрией.
Для начала эти «задачки для ума» хорошо бы решить родителям и уже затем, используя эти знания, передать навыки ребенку. Первые условия психологических задач раскрываются на бесплатных онлайн-лекциях Юрия Бурлана. Регистрируйтесь здесь.
Автор Виктория Винникова, учитель математики
Статья написана с использованием материалов онлайн-тренингов по системно-векторной психологии Юрия Бурлана
Раздел: Педагогика
27 Апр, 2016 Комментариев: 3 Просмотров: 9755
Для меня сложнее была алгебра, вообще меня и геометрия напрягает. Но ее мне удавалось хоть как-то понимать в школе. А вот с алгеброй беда, беда. Не понимаю как люди могут любить математику, это же ужас.
Для меня сложнее геометрия, там нужно учить огромное количество теорем, алгебра гораздо проще, там нужно просто запомнить формулы, и довести до автоматизма решение примеров, и всё. Ну, конечно нужно знать банальные правила. В общем, я считаю алгебра проще.
Нельзя так однозначно сказать, это зависит от человека.
Я со школы например терпеть не могла геометрию, ну что поделать «не шла» она. Меня всегда бесил вопрос, как доказать что треугольники равны? Вы сами не видите что они равны? отвечала я и садилась на место с очередной двойкой.
А алгебра мне очень нравилась и до сих пор ее люблю. Особенно то упоение, когда твой ответ совпадает с ответом в конце учебника, оох это великое чувство я вам скажу!
Я вообще гуманитарий. Но геометрия мне достаточно легко давалась. Я могу увидеть геометрические фигуры, отрезки, лучи и т.д. А вот цифры я не понимаю. Это как дикий лес с незнакомыми деревьями. Задачи по течению и против течения не осилила за всю жизнь.
В школе я вообще не видела никаких проблем с этими предметами. А вот потом, получилось так, что после школы ими больше никогда не занималась. Помню все очень смутно. Если повторю, а скоро придется с ребенком, скорее всего вспомню. Но сейчас самые страшные сны снятся о том, как я нынешняя сижу на контрольной по алгебре и к ужасу своей учительницы ничего не могу решить.
Все зависит от того, какую геометрию сравнивать с алгеброй. Если Евклидову геометрию, то есть ту, что проходят в школе, то она легче алгебры. Но если сравнивать геометрию Лобачевского или Риманову геометрию, то чистая алгебра здесь является более легким в изучении предметом, поскольку в этих разделах геометрии без хорошего знания алгебры не разобраться.
Лично для меня сложнее геометрия. Думаю, это связано с тем, что в алгебре меньше правил, законов и их проще понять. А также в алгебре частенько задача сводится к тому, что нужно посчитать. А считать я как раз люблю. В геометрии же много теорем, объём информации несопоставим. Да и задачи стоят не простые. Нет такого, что прочитал задачу и сразу понял решение (за исключением самых простых). Хотя геометрия сама по себе интересная и практичная наука.
Синонимы к слову «буря»:
В нашем регионе зимой бывают снежные бури.
Давайте разберемся на примерах.
Но даже при сравнительном обороте запятую ставят не всегда. Так, если «как» входит в состав сказуемого, при этом без этого союза предложение теряет смысл, то запятая не нужна. Например: «Она упрямится как баран».
Также не ставится запятая, если перед союзом «как» есть такие слова, как «почти», «вроде», «совершенно», «точь-в-точь», «просто», «именно», отрицание «не». Пример: «Ты говоришь почти как мама».
«Столпотворение» буквально означает «строительство столпа (башни Вавилонской)». И восходит оно к библейскому сюжету о том, как в Древнем Вавилоне попытались построить Башню (Столп по-церковнославянски) до неба, а Бог смешал языки строителей, чтобы они более не понимали друг друга и не смогли завершить начатое. Поэтому «вавилонское столпотворение» означает бардак и сумятицу, как при строительстве Вавилонской башни, когда люди перестали понимать друг друга.
В данное старинное словосочетание входят устаревшие заимствования, которые ещё в веке позапрошлом были в активном словаре публики – образованной, по крайней мере.
Главным словом в этой минимальной синтаксической конструкции является существительное дортуар. Слово это французское (dortoir) – галлицизмы, то есть заимствования из французского, были в те времена весьма многочисленны, что неудивительно: язык этот был вторым родным для большинства дворян, а для многих из них (вспомним, как коряво рассказывал анекдот на русском толстовский Ипполит Курагин) – даже единственным.
Дортуар – спальня, причём, как говорят все наши словари (от ушаковского до ефремовского и кузнецовского), общая – для воспитанников (воспитанниц) учебных заведений закрытого типа.
Но у нас не просто дортуар – есть и указание его точного предназначения: сей дортуар для пепиньерок. Весьма любопытное словцо! Поэтому посмотрим, кто сии такие. Лексема пепиньерка – тоже французская гостья в нашем языке. На её родине слово pepiniere – питомник образовано от pépin – зёрнышко.
Значение существительного пепиньрка, суффиксального образования от pepiniere, – институтка (ученица, выпускница института благородных девиц), причём не всякая выпускница, а та, что оставлена при институте для прохождения педагогической практики, то есть готовящаяся стать наставницей, классной дамой, как тогда называли подобных педагогических работниц.
Так что короткое словосочетание из иноязычных слов дортуар пепиньерок на русский переводится весьма громоздко: общая спальня для выпускниц института благородных девиц (практиканток), готовящихся к педагогической деятельности. Можно и проще: общая спальня для будущих классных дам.
Лексема дортуар имеет словарную помету «устар.», то есть словари прямо называют её архаизмом. У слова пепиньерка в разных словарях пометы лексические разные: у Ефремовой – «устар.», в словаре слов иностранных – «ист.», в остальных словарях вместо пометы – указание: «в России до 1917 года». Не соглашусь с Ефремовой, приму сторону авторов других словарей, потому что это именно историзм, а не архаизм.
Где сии дортуары пепиньерок были? Естественно, в российских институтах благородных девиц, коих во всей Российской империи было всего 15 (список дан в Википедии):
Понятно, что некоторые из перечисленных заведений (вернее, их здания, если они уцелели), сейчас находятся на территориях сопредельных государств.
С октября 2010 года телеканал «Россия-1» демонстрирует телесериал, который на сегодняшний день
Основы геометрии
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Идеальные объекты
Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Основные геометрические объекты: окружность, квадрат, ромб, прямоугольник, равносторонний треугольник, равнобедренный треугольник, правильный многоугольник, эллипс и другие.
Все эти фигуры обладают двумя свойствами:
Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.
У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.
Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).
Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.
Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.
Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.
Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.
Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.
Базовые геометрические объекты
Базовые геометрические фигуры — это точки, отрезки, лучи, прямые, плоскости.
Точка — это идеальный математический объект, у которого нет длины и ширины.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Смежные отрезки — это отрезки, которые не лежат на одной прямой и имеют один общий конец. На рисунке изобразили смежные отрезки АВ и АС, где точка А — общий конец.
Прямая — это «не кривая». Более точное определение вряд ли можно сформулировать.
Когда мы рисуем прямую на листе бумаги, мы изображаем только ее часть, потому что прямая не имеет начала и конца.
Обозначать прямые принято малыми латинскими буквами (a, b,c), но можно и большими латинскими буквами (АВ, CD, MN). Точки всегда обозначают большими латинскими буквами (А, В, С).
Два варианта расположения точек относительно прямой:
Если рассмотреть две прямые, то возможны два варианта их расположения:
Для записи не пересекающихся прямых используют специальный знак — 
,
то есть m n (читают: прямая m не пересекает прямую n).
Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны. Луч имеет начало, но не имеет конца.
На рисунке точка О разбивает прямую АВ на две части:
Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча.
Назовем получившиеся лучи:
Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ. Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О). Лучи ОА и ОВ противоположно направлены. При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными.
Плоскость — это бесконечная поверхность, к которой принадлежат все прямые, которые проходят через какие-либо две точки плоскости
Комбинации простейших объектов
Поговорим про комбинации простейших объектов. Например, две прямые, которые мы уже разглядели — либо пересекаются на плоскости, либо нет (тогда они параллельны).
Когда прямые пересекаются, можно ввести понятие отношения между двумя прямыми. Аналогично мы поступали с числами: ввели натуральные числа — количество предметов в множестве. А после этого изучали отношения между этими числами: дроби, возведение в степень.
Точно так же мы изучали множества, а после — отношения между множествами, функции.
Две прямые образуют углы. По сути, угол — это отношение между прямыми. Если один из них нулевой, то прямые параллельны. Если нет — прямые пересекаются.
Максимальный угол – это полный оборот, он составляет 360 градусов.
Угол — это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, которые выходят из одной точки. Углы измеряются в градусах. Углов бесконечно много, так как от 0° до 360° угол может принимать бесконечное множество значений.
Есть разные виды углов, выделим самые часто встречающиеся:
Точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла.
Два угла называются вертикальными, если их стороны являются дополнительными лучами. Свойство вертикальных углов звучит так: вертикальные углы равны.
Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180°.
Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, который делит угол на две равные части.
А теперь посмотрим на взаимное расположение трех прямых.
Первый случай: все три прямые параллельны.
Второй случай: две прямые параллельны, а третья их пересекает.
Третий случай: если провести три прямые на плоскости случайным образом, велика вероятность образования треугольника. Поэтому этой фигуре мы уделяем так много времени в школе на уроках геометрии.
Треугольник
Треугольник образуют три прямые. Но на треугольник также можно посмотреть, как на фигуру, которая состоит из трех отрезков.
Из треугольников можно получить остальные многоугольники и к треугольникам можно приближать другие фигуры. Например, пятиугольник состоит из трех треугольников.
Треугольник можно использовать для измерения расстояний. А еще треугольник можно рассматривать в отношениях с окружностью, которая тоже является элементарной конструкцией. Читайте про вписанные и описанные углы.
Треугольник можно легко вычислить, то есть найти его площадь по трем элементам:
Приходи на наши онлайн уроки по математике с лучшими препадавателями! Для учеников с 1 по 11 классы!
Свойства треугольников
Раз треугольник можно задать тремя элементами, значит их можно классифицировать. Если два треугольника похожи, значит у них есть общие свойства.
Треугольник можно составить совсем не из любых трех отрезков: они должны удовлетворять важному свойству — неравенству треугольника.
Кратчайшее расстояние между двумя точками — это длина отрезка, который их соединяет. Из этого следует, что любой другой путь между двумя точками будет длиннее, чем этот отрезок.
Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.
Еще одно свойство верное для всех треугольников: сумма всех углов треугольника составляет половину полного оборота. Или по-другому: сумма углов треугольника — два прямых угла.
Мы знаем, что две геометрические фигуры считают равными, если их можно совместить наложением. Это справедливо и для треугольников. Равные фигуры имеют равные размеры и формы. Значит, если два треугольника равны — элементы одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника.
Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так: ΔABC = ΔA1B1C1.
Есть даже специальные теоремы про равенство треугольников.
Первый признак равенства треугольников звучит так:
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Из теоремы следует, что треугольник — жесткая фигура, то есть фигура, которую невозможно деформировать.
Подобные треугольники
Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Треугольники АВС и A1B1C1 будут подобны, если
Число k, которое равно отношению сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия.
Подобие треугольников обозначают специальным символом — ∾. На рисунке треугольники АВС и A1B1C1 подобны, это можно записать так: ΔАВС ∾ ΔA1B1C1.
Теорема о первом признаке подобия треугольников
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такое треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны — такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике можно провести три средних линии, при пересечении которых получается четыре равных треугольника, подобных исходному с коэффициентом подобия 1/2.
На рисунке изображен треугольник АВС. Отрезки МЕ, МК и КЕ — средние линии данного треугольника, ΔВМЕ = ΔАМК = ΔСЕК = ΔМЕК.
Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
Важно понимать, что подобие в математике — это то, что в обычной жизни мы называем схожестью. Нарисовали треугольники или прямоугольники и говорим, что они похожи потому, что их стороны пропорциональны.
Пример подобия — карта. Она подобна местности, которую отражает. А масштаб — это и есть коэффициент подобия. С треугольниками или другими фигурами точно также.
Классификация треугольников по их сторонам
Для классификации треугольников можно использовать их типологию.
Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.
Свойства прямоугольного треугольника
С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.
Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.
Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.
Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.
От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов🙃
Четырехугольники
Про четырехугольники мы много говорим на уроках в школе: прямоугольник, квадрат, ромб.
Но говорим о них не в общем случае, как для треугольников (такие вещи, как теорема синусов, косинусов), а можем формулировать только какие-то свойства для определенных видов четырехугольников.
Четырехугольникам лучше уделить побольше времени — у каждого из них есть особые свойства, которые не пригодятся для других фигур. Поэтому каждый четырехугольник лучше внимательно изучить на уроке или почитать в наших материалах:
Окружность
Окружность — это еще один объект, который полезно изучить. Ее легко описать, она задается одним параметром — радиусом. А еще часто встречается в физике и в обычной жизни. Например, когда капля падает в воду, от нее остаются следы — маленткие окружности.
Взаимодействие объектов
Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.
Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.
Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.
На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.
Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:
Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.
На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.
В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.
Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.
Практическая сторона геометрии
Название «геометрия» переводится с греческого, как «гео» — земля и «метрео» — мерить. Изначально геометрию использовали для разметки земли и других работ с землей. Но, оказалось, что сфера ее влияния безгранична.
Чтобы понять, зачем нам нужны знания по геометрии, просто оглянитесь вокруг: геометрия окружает нас в предметах разных форм. Взять хотя бы круг: его используют в искусстве, строительстве, технике. То же самое и с другими фигурами: чтобы сконструировать автомобиль или айфон, сшить одежду или построить дом — не обойтись без геометрии.
А еще геометрия помогает научиться рассуждать логически, искать связи и противоречия — полезный навык в диджитал-мире, когда информация окружает нас повсюду.
Вот, в каких профессиях пригодится геометрия: архитектор, айтишник, дизайнер, инженер, конструктор, строитель, smm-менеджер, декоратор, летчик, водитель, художник, проектировщик, астроном, спортсмен, музыкант и другие.
Почему изучать геометрию просто: мы видим объемный мир каждый день и регулярно прикасаемся к предметам, строим планы, размышляем и считаем в уме. В геометрии все знания подкреплены научными теориями — это помогает взаимодействовать с пространством по-другому, более осознанно.
Почему изучать геометрию сложно: некоторые правила придется учить наизусть.
Чтобы понять геометрию, двигайтесь от простого к сложному. Многие теоремы могут показаться очевидными. Но эта видимость может быть верной только для одного рисунка. Невозможно нарисовать все ситуации, ведь их их бесконечное множество. Именно поэтому важно доказать истину, чтобы никогда не сомневаться в ней.