Что сложение алгебра или геометрия

Так ли сложна алгебра и геометрия

Во время получения новых знаний по математике, школьники часто испытывают трудности с новыми темами. Если в начальных классах всё было понятно, применялись базовые операции в виде сложения и вычитания, то затем математика стала усложняться. Появилось умножение и деление. Затем математика разделилась на два отдельных направления — алгебру и геометрию. Расскажем, в чём особенности как алгебры, так и геометрии.

Особенности геометрии

Геометрия — это математическое направление, в котором ученики школьных учреждений решают задачи с геометрическими фигурами. Например:

Решают примеры как с двумерными фигурами, так и с трёхмерными. В итоге, пытаются в голове крутить фигуру, чтобы найти решение поставленной задачи.

Геометрические задачи часто вызывает сложности у учеников. Если посмотреть задачи, которая имеет геометрия 8 класса онлайн, то видно, как идёт постепенное усложнение примеров от лёгких, до более сложных. Самостоятельно справится с такими задачами часто не представляется возможным, поэтому родители школьников начинают искать репетиторов. Также записывают детей на дополнительные занятия, факультативы, чтобы ребята смогли лучше понимать, как решать задачи по геометрии.

Особенности алгебры

Алгебра также имеет ряд особенностей. В число алгебраических примеров входят задачи, в которых требуется применять самый разнообразный набор математических приемов. Ученики, для решения таких задачек, должны отлично владеть:

Это базовый набор, который можно заметить в алгебре 8 класса онлайн. В процессе решения различных задач требуется применять ряд правил, которые помогут в решении.

Когда возникают трудности с решением алгебраических задач, то рекомендуется обращаться к репетиторам. Алгебра — это та область, которая часто доступна для подавляющего большинства учеников. Часто алгебра для многих легче, чем геометрия. В алгебраических задачах часто имеется одно логичное решение, в отличие от геометрии, где следует применять более абстрактное мышление и подходить к решению задачи с разных сторон.

Таким образом, алгебра и геометрия на первый взгляд кажутся сложными. Сложность предметы вызывают в том случае, если ученик недостаточно понял ту или иную тему. Чтобы такой ситуации не происходило, следует уделять больше внимание самостоятельному обучению. Учиться онлайн или прибегать к услугам репетитора.

Удачи в решении задач!

Критерии выбора духов в интернет-магазине

Приобретение духов в интернете — сложная задача, ведь нет возможности напрямую ощутить аромат парфюма.

Остаемся анонимным и обходим цензуру в Интернете.

Во многих странах мира имеются технологии, которые позволяют властям и спецслужбам этих стран блокировать доступ к определенным Интернет-ресурсам.

VIP Casino предлагает пять способов получить деньги и удовольствие — промахнуться сложно

С VIP Casino у Вас появилась причина обзавестись постоянным аккаунтом в казино онлайн.

Экскурсии по России: как найти хорошего туроператора

В преддверии новогодних праздников абсолютно каждый из нас начинает искать варианты для качественного времяпровождения.

Продвижение бизнеса в социальных сетях

Ежедневно среднестатистический человек тратит от 4 до 6 часов на просмотр ленты новостей, пролистывание публикаций любимых пабликов.

Какой будет погода в Украине этой зимой и на новогодние праздники

Зима — это сказочное время, которое заставляет поверить в чудеса взрослых и детей.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Чем алгебра отличается от геометрии?

Последний раз редактировалось Alexey Rodionov 01.09.2021, 19:44, всего редактировалось 1 раз.

Понятно, что алгебра изучает буковки, а геометрия кружочки и треугольнички.
А как их формально различить?

БСЭ говорит:
под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множеств произвольной природы, обобщающий обычные операции сложения и умножения чисел.

Как это мы сложение обобщаем? Определяем операцию на множестве и с уважением называем сложением. Где здесь обобщение?

А дети интересуются. Пока отвечаю уклончиво.

Последний раз редактировалось Odysseus 01.09.2021, 21:59, всего редактировалось 1 раз.

Что именно лично вы понимаете под «А как их формально различить?» известно только вам.

Более вразумительных вопросов я вижу два:

1. «Определяем операцию на множестве и с уважением называем сложением. Где здесь обобщение?»
Вы в самом деле не в курсе, что в алгебре кроме сложения и умножения, известных из арифметики, есть и другие операции? Или знаете это, а просто троллите? В обоих случаях не вижу смысла на такое отвечать.

2. «Вообще, караул. Что такое пространственные структуры?»
Если человек перед вопросом добавляет «вообще, караул», то на такое тоже нет смысла отвечать. Имярек уже подготовился к позиции троллить любой из ответов.

В общем, если бы был более серьезный, и главное честный, вопрос, то мог бы быть предмет для обсуждения. И можно было бы, например, обсудить «дискретное» и «непрерывное». А еще что «алгебра» и «геометрия» это некие собирательные понятия, которые более понятно проявляются на более конкретных примерах, таких как группы, кольца, линейные пространства и т.д. А также что эти понятия очень связаны друг с другом и являются разными способами посмотреть на некие объекты. И даже что некоторые математики (мне кажется я встречал это у Манина, но не уверен) сравнивают алгебру со словами или даже с нотами, а геометрию с музыкой. И еще очень многое.

Но в данном случая ИМХО предмета для обсуждения нет.

Последний раз редактировалось ihq.pl 01.09.2021, 22:02, всего редактировалось 1 раз.

Последний раз редактировалось Alexey Rodionov 01.09.2021, 23:36, всего редактировалось 1 раз.

Что-нибудь сказал по этому поводу? Что именно?

Последний раз редактировалось ihq.pl 02.09.2021, 00:31, всего редактировалось 4 раз(а).

1. Аксиоматический метод. Это здорово само по себе и относится ко всей математике целиком. Я историю больно не знаю, но вроде бы именно благодаря аксиоматическому методу произошел рывок в математике в 19-20 веках. Вместо того, чтобы рассматривать конкретные структуры и всякий раз делать с ними формально разные, но идейно одинаковые вещи, лучше просто эти идейные вещи проделать 1 раз «в общем виде» и выстроить вокруг них отдельную теорию, которую можно потом применять к куче конкретных вещей.

Но про аксиоматический метод остаются вопросы. Почему именно те аксиомы, которые мы выделили, настолько хороши? Наверное, это происходило практически. Большое количество математиков нескольких поколений нащупывали самое правильное строение теории и по итогу получилось то, что получилось. Но это плохой ответ. Нужно сформулировать основные принципы, следуя которым можно выбирать наиболее правильные системы аксиом. Чтобы это было не из практики, а из теории. И здесь я плавно подхожу ко второму пункту.

Источник

Что сложение алгебра или геометрия

Слово о математике

Почему торжественность вокруг?
Слышите, как быстро смолкла речь?
Это о царице всех наук
Начинаем мы сегодня вечер.

Не случайно ей такой почет.
Это ей дано давать ответы,
Как хороший выполнить расчет
Для постройки здания, ракеты.

Есть о математике молва,
Что она в порядок ум приводит,
Потому хорошие слова
Часто говорят о ней в народе.

И за то, что в творческом труде
Выручаешь в трудные моменты,
Мы сегодня искренне тебе
Посылаем гром аплодисментов.

О теореме Пифагора
Пребудет вечной истина, как скоро
Ее познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в далекий век.
Обильно было жертвоприношенье
Богам от Пифагора: сто быков
Он отдал на закланье и сожженье
За света луч, пришедший с облаков.
Поэтому всегда с тех самых пор,
Чуть истина рождается на свет —
Быки ревут, ее почуя, вслед.
Они не в силах свету помешать,
А могут лишь, закрыв глаза, дрожать
От страха, что вселил в них Пифагор.

Высота, медиана и биссектриса треугольника
Три девицы, три сестрицы
В треугольнике живут.
Речь такую там ведут:
— Всех главнее высота!
Говорю вам неспроста.
Видят все, как сторонам
Нужен перпендикуляр.
Тогда они, сменив названья,
Зовутся гордо — основанья!
— Нет, — сказала медиана, —
Спорить я не перестану.
И на это есть причина:
Я треугольника вершину
Соединяю с серединой
Стороны. К тому же я
Делю всю площадь пополам!
В спор вступила биссектриса:
— Спорить не имеет смысла!
Если трое соберемся,
В точке мы пересечемся.
Эта точка непростая.
Серединка золотая;
Если циркулем владеешь,
Окружность ты списать сумеешь!
Значит, всех я вас главнее!
В спор вмешался треугольник:
— Что вы, знает каждый школьник,
Что для меня вы все равны

Вы просто гений! Спасибо!

Арифметика это простые числа, с ними проводятся обычные 4 функции(+-:*), Алгебра включает в себя одночлены и многочлены(пример 2а+4b+6c) т.е число умноженное на любое неизвестное, Геометрия- это измерение фигур на ПЛОСКОСТИ. Тригонометрия это Sin, Cos, Tng,ctng
Производная там по формулам, интеграл это обратная производной, там тоже формулы

Молодец! Умница! Все так!

у меня по экзамену 5 автоматом, я люблю очень математику Вы ещё про стереометрию забыли, это часть высшей математики, измерение фигур в пространстве(Объёмные фигуры измеряем)

Вот это ответ! Вы вероятно профессор!?

Для такого знания сейчас достаточно среднюю школу закончить.

Арифметика это примеры, алгебра это примеры и задачи с использованием формул, геометрия это задачи с чертежами с использованием теорема, тригонометрия это задачи с синусом, косинусом и так далее, интегралы и производные это темы высшей математики, а математика это то что объединяет все выше сказанное во едино.

Благодарю! Очень емкий ответ!

«Математика — царица наук, арифметика — царица математики». К.Ф. Гаусс. Алгебра,геометрия и тригонометрия принадлежат в математике! Самого Гаусса современники назвали царем математиков!

геометрия от тригЕнометрии, наверное тем, что геометрия это наука о измерении расстояний, а тригЕнометрия. про тройное измерение генов.
ТригООООнометрия. Карл.

Это андроид поправляет из своего скудного словарного запаса, иногда верно получается!

Значит, в математике андроид не сильно петрит, раз не исправил вовремя ошибки))))

Вряд ли андроид знает математические термины?!

Обязан. Как и иностранные слова при переводе.

Ну может быть, не буду спорить

А разве землю не теодолитом измеряют?

А, ну, всё верно, особенно насчёт дифференциала и обратной функции, (5+)

Сильно! Думаю, не стоит углубляться! Хотя бы один раздел одолеть! А физика вообще нужная вещь! Я электротехнический заканчивал в далёком прошлом.

я в автодор техникуме год читал электротехнику

по моему мнению это просто придумано наука как будто разделила математику черчение и информатику на параграфы)

тем же, чем иудаизм от дзен-буддизма, демагог от пацифиста и тупой задающий глупый вопрос от умного ответчика

Согласен!

))))))))))

. вот и побывал я в гостях у счастья.

)

Прям мы здеь все умные и собрались обсуждать о науке, об их величине,своиствах и законах их соединении )))

Продолжайте! Я весь во внимании! Вам хочется об этом поговорить? )))

нафиг тебе это? алгебра это иксы, тригонометрия это синусы и косинусы произ это обратная с инт

Стесьняюсь спросить а производная математика. эт че. может математическая производная?

Ну да, функция! Мне не русскому 50% скидка!

ну усиленные тренировки тоже достижение. а зачем выдергивать? можно оставить, как память и доказательство, что в молодости «много трудился»

Надо же дураку чем-то заниматься!

это так жена сказала?

Седня день дурака! Можно и подурачиться!)))

ой да. 1 апреля, я и забыла)) Надо некоторых особей с проф. праздником поздравить)))

это не один вопрос, а сразу три. И чтобы ответить подробно, нужна не одна страница

Пишите, не жалко страниц!

Источник

Почему геометрия сложней чем алгебра?

На мой взгляд, это происходит из-за того, что в геометрии нужно достаточно развитое пространственное воображение. Например, мне всегда было трудно представлять фигуры в стереометрии. В планиметрии, когда фигуры на плоскости, соображать легче.

Это вообще не очень корректное сравнение. Что сравнивать? Планиметрию или Начертательную геометрию, арифметику или высшую математику? Если же брать например уровень одного школьного уласса, то по моему наоборот геометрия легче. В математике мы оперируем какими-то абстрактными величинами, а в геометрии вполне конкретными осязаемыми фигурами, которые ближе к жизни чем всякие цифры.

Чтобы учащиеся легче усваивали и геометрию и алгебру нужно обучение вести одновременно по обоим разделам математики и должны быть такие учебники. Исторически эти разделы развивались параллельно ибо они тесно связаны между собой. Геометрию надо начинать с окружности, проводя через неё прямые учащиеся легко будут понимать дроби и т.д.

Каждый школьник и взрослый знаком с задачами по математике, где есть такое условие: «Из пункта А в пункт Б отправляется. » Почему все поезда из математических задач едут из пункта А в пункт Б? Ответ на этот вопрос прост.

Источник

Что сложение алгебра или геометрия

Привычное нам понятие числа возникло в результате абстрагирования. Ранним пифагорейцам такая абстракция была чужда. Для них числа были точками или частицами, расположенными на плоскости (поверхности Земли). Рассматривая треугольные, квадратные и т.д. числа, называемые фигурными, пифагорейцы имели в виду наборы точек, камешков или других мелких предметов, расположенных в форме треугольников, квадратов и других фигур (рис.1, 2).

Во всех явлениях природы пифагорейцы искали числовые соотношения и взаимосвязи. Их поражал тот факт, что совершенно различные явления, будь то музыкальные созвучия или движения планет, подчиняются числовым соотношениям.

После того как пифагорейцы связали астрономию и музыку с арифметикой и геометрией, все четыре дисциплины стали считаться математическими. Эта точка зрения оставалась господствующей вплоть до средневековья.

Рисунок 1. Треугольные числа: 1, 3, 6.

Рисунок 2. Квадратные числа: 1, 4, 9.

Геометрическая алгебра

Открытие иррациональных чисел повергло в шок пифагорейцев, и поставило задачу, ставшую центральной для греческой математики. Решение этой задачи предложил Евдокс, бывший учеником Платона. По Евдоксу понятие величины надлежит трактовать геометрически как длины отрезков, углы, площади и объёмы. Именно так Евклид формулирует легендарную теорему Пифагора: квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равен сумме квадратов катетов (рис. 3). Под квадратом величины Евклид понимает площадь квадрата, построенного на стороне заданной длины.

Обращение за помощью к геометрии вполне оправдано. Если числа 1 и рассматривать как длин отрезков, то принципиальная разница между ним сглаживается и даже порой исчезает. Греки классического периода решали алгебраические уравнения геометрически, представляя их корни в виде отрезков, тем самым, избегая необходимости обращаться к иррациональным числам. Это направление в развитие математики получило название геометрической алгебры. По сути, отказавшись от исследования природы иррациональности и свойств иррациональных чисел, греки начали строить математику на основе геометрии. В частности, при построении алгебры, её операции определялись непосредственно для геометрических величин, а теоремы доказывались геометрическими построениями.

Рисунок 3. Геометрическое изображение теоремы Пифагора.

Построение алгебры на основе геометрии позволило впервые обосновывать многие теоремы алгебры в общем виде. Однако геометризация алгебры имела и весьма существенный побочный эффект, связанный с трудоёмкостью доказательств. Геометризация доказательств привела к сковыванию алгебры и ограничению её вычислительных и прикладных возможностей.

Начав построение геометрической алгебры, греки стали применять геометрический язык в теории чисел. Числа теперь изображались не точками, расположенными в виде правильных фигур, а представлялись отрезками. Некий отрезок принимался за единицу, а отрезок, полученный из данного, многократным повторением, принимался за целое число.

Наиболее последовательно и полно геометрическая алгебра изложена во второй книге «Начал» Евклида, а также трудах, других греческих математиков александрийского периода, в частности, Архимеда и Аполлония.

Основные положения геометрической алгебры сводятся к следующему:
1) алгебраические переменные, как и произвольные числа, представляются отрезкам;
2) сумма чисел или алгебраических переменных представляется в виде отрезка, составленного из слагаемых (рис. 4);
3) произведение двух чисел или алгебраических переменных представляется в виде прямоугольника со сторонами, которые представляют собой отрезки, соответствующие сомножителям (рис. 5). Произведение трёх переменных a, b и c есть прямоугольный параллелепипед со сторонами, соответствующими сомножителям a, b и c (рис. 6).

Рисунок 4. Сложение а и b.

Поскольку, греческая геометрия, как и в целом представления греков о природе и мироздании ограничивались тремя измерениями, произведение более чем трёх переменных в геометрической алгебре не рассматривались, как лишённые смысла.

Так как сложением отрезков происходит посредством приставления одного к другому, то вычитание, очевидно, осуществляется путём укорочения большего отрезка на часть, равную меньшему отрезку. Поскольку греки не рассматривали отрицательные числа, то операция вычитания возможна только тогда, когда из большего вычитается меньшее.

Рисунок 5. Произведение чисел а и b есть площадь прямоугольника со сторонами а и b.

Вычисления, производимые в геометрической алгебре, носили пошаговый характер. Не рассматривались произведения прямоугольников или сложение прямоугольников с отрезками или параллелепипедами.

Геометрическая наглядность позволила легко обосновать свойства основных операций над числами: сложения и умножения. Например, коммутативность сложения легко следует из того факта, что длина составного отрезка, одна и та же с какой стороны на него не посмотри, то есть
a + b = b + a.
Коммутативность умножения обосновывается так же наглядно, поворотом соответствующего прямоугольника, то есть

a · b = b · a.
Ассоциативность сложения наглядно следует из того факта, что в каком порядке не прикладывай отрезки друг к другу, длина составного отрезка будет одинаковой, то есть

( a + b ) + с = a + ( b + c ).
Ассоциативность умножения наглядно визуализируется поворотом прямоугольного параллелепипеда, то есть

( a · b ) · с = a · ( b · c ).
Во второй книге «Начал» Евклида геометрически обосновывается дистрибутивность сложения по отношению к умножению (рис. 7).

Как видно из этих примеров, наглядность является серьёзным преимуществом геометрической алгебры. Но гораздо более важным преимуществом использования геометрических методов в алгебре явилось то, что обоснования и доказательства тождеств не зависят от того, являются ли используемые величины соизмеримыми или несоизмеримыми и независимы от конкретных величин.

Рисунок 7. Геометрическое представление закона дистрибутивности
(a + b) · c = a · c + b · c.

Методы геометрической алгебры позволили доказать многие алгебраические тождества. При этом общее доказательство было сделано впервые в истории. Например, установлено известное тождество квадрата суммы как суммы квадратов и удвоенного произведения:

( a + b ) 2 = a 2 + b 2 + 2 · a · b.
Геометрическое обоснование этого известнейшего алгебраического тождества представлено на рисунке 8.

Аналогично обосновываются другие известные тождества:

( a – b ) 2 = a 2 + b 2 – 2 · a · b,

Как уже упоминалось выше, произведения четырех и более величин не использовались греческими математиками как не имеющие смысла и не позволяющие визуализации в рамках трехмерного физического пространства.

Рисунок 8. Геометрическое представление алгебраического тождества квадрата суммы.

Античная геометрия состояла как из планиметрии, так и стереометрии, которая содержала сферическую тригонометрию и теорию конических сечений, используемые в астрономии. Однако геометрическая алгебра в основном опиралась на планиметрию и обосновывала её. В значительной степени планиметрия античности это геометрия построений с помощью циркуля и линейки. В этой связи, наибольшее применение геометрическая алгебра нашла в вопросах исследования квадратичных форм и тождеств, а также при решении квадратных уравнений.

Неразрешённые задачи

В античности греческие математики решали задачи, сводящиеся к квадратным уравнениям, с помощью циркуля и линейки. Как было установлено позднее, решение задач, построением с помощью циркуля и линейки, сводится алгебраически к решению квадратных уравнений. В таких построениях используются следующие шаги: проведение прямой через две точки; нахождение точки пересечения двух прямых; нахождение точек пересечения прямой и окружности или двух окружностей. Первые два шага, как это следует координатного метода аналитической геометрии Р. Декарта, алгебраически эквивалентны решению линейных уравнений. Третий шаг эквивалентен решению квадратного уравнения. Из координатного метода и аналитической геометрии Декарта следует, что уравнения степени, большей двух, не могут быть решены построениями с помощью циркуля и линейки.

Ограниченность возможностей геометрической алгебры античные математики ощутили уже в V веке до нашей эры, когда были поставлены три классические задачи. Эти задачи разрешились уже другими средствами лишь в XIX веке. К таковым задачам относятся следующие задачи: задача об удвоение куба, задача о трисекция угла и задача о квадратуре круга. Классическая геометрическая алгебра оказалась бессильной перед этими задачами, и для их решения понадобилось создание новых методов.

Задача о квадратуре круга формулируется так. Построить квадрат, площадь которого равновелика площади данного круга.

От Евклида и вплоть до Декарта геометрическая алгебра преследует своей целью сведение алгебраически утверждений к геометрическим, и таким образом обоснование алгебры свести к обоснованию геометрии, которая на протяжении многих столетий считалась образом логической строгости. Рене Декарт повернул этот процесс вспять, применив изобретённый им координатный метод к геометрии, создав, таким образом, аналитическую геометрию и заложив основы алгебраической геометрии. Однако геометрическая алгебра античной Греции может по праву считаться прообразом и первым шагом на пути к алгебраической геометрии.

Литературные источники

1. Клайн М. Математика. Утрата определённости. — М.: Мир, 1984.

2. Ван дер Варден Б. Пифагорейское учение о гармонии. — М.: Физматгиз., 1979.

Источник