Что следует на третьем месте последовательности математической модели

Математическая модель. Основные этапы построения математической модели. Требования к математической модели. Уравнение вход-выход

Математическая модель. Основные этапы построения математической модели. Требования к математической модели. Уравнение

Модель — это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием. Подматематическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.

Основные этапы построения математической модели ( ¡ ¡¡ хрен знает, по сути то же самое, что и этапы моделирования в целом, не знаю, зачем выносить это еще одним вопросом. )

Требования к математической модели

Требования универсальности, точности, адекватности с одной стороны и экономичности с другой противоречивы. Это обуславливает работу целого спектра моделей отличающихся теми или иными свойствами.

Задачи у моделирования могут быть разными:

Источник

Классификация математических моделей. Этапы математического моделирования

Оглавление

1. Подходы к исследованию объектов химической технологии

1.1. Экспериментальное исследование

1.2. Физическое моделирование

1.3. Математическое моделирование

2. Классификация математических моделей

ММ фундаментальных комбинированных моделей ХТП – это сложные интегро-дифференциальные уравнения, детально описывающие процессы, протекающие на каждом рассмотренном выше уровне ФХС.

ММ физико-химических блочно-структурных моделей ХТП – это описание «элементарных» процессов, записываемое с учетов гидродинамических закономерностей движения потоков фаз и включающих интенсивности источников массы, теплоты и импульса соответственно в уравнениях баланса массы, теплоты и импульса.

Эмпирические ММ строятся с применением вероятносто-статистических методов и по принципу « черного ящика ».

3. Методы построения математических моделей

3.1. Эмпирический метод

В объекте выделяются следующие группы входных переменных:

и Y – вектор выходных переменных.

В основе построения ММ лежит принцип «черного ящика». Это означает, что полученные уравнения, связывающие входные и выходные переменные, формальны и не описывают физико- химическую сущность протекающих в объекте явлений. Для построения эмпирических моделей нашли применение методы пассивного и активного эксперимента

Урaвнения регрессии строят на основании экспериментальных данных полученных одним из трех способов:

Подробно ознакомиться с эмпирическими методами построения моделей можно в литературе [2,5,11], приведенной в лекции 1.

Сбор информaции о переменных объекта проводится без специaльного изменения входных переменных процессa.

1) сильное влияние случaйных ошибок из-за близости экспериментaльных значений параметров друг к другу;
2) необходимость достaточно большого количества экспериментaльных дaнных.

Сбор информaции о переменных объекта проводится на основе целенaпрaвленного изменения входных переменных процесса.

Тaкой плaн должен обеспечить мaксимум точности влияния факторов на выходные переменные и минимум корреляции между факторами.

Подробно ознакомиться с эмпирическими методами построения моделей можно в литературе [2,5,11], приведенной в лекции 1.

Пример построения плана 1-го порядка для получения линейного урaвнения регрессии y=a₀ +a₁ x₁ +a₂ x₂

Коэффициенты уравнения регрессии вычисляют по следующим формулам:

Определение реaкции объекта нa стaндaртное возмущение

Применяется при исследовании динaмики (переходных хaрaктеристик) объекта, при определении гидродинaмической структуры потоков и др.

Общая оценка экспериментальных методов

1) простотa описaния;

2) доступность получения моделей;

3) возможность построения модели при отсутствии теории процессa.

1) невозможность применения модели при переходе к другим устaновкaм;

2) невозможность экстрaполяции результaтов.

1 – реальная зависимость; 2 – аппроксимация внутри области [a,b]

3.2. Экспериментально-теоретический метод

Определяется физико-химическая сущность явлений, протекающих в объекте. Для этого проводится декомпозиция сложного явления на более простые, которые можно исследовать более доступными способами.

После aнaлизa влияния элементарных процессов на процесс в целом, несущественные факторы отбрaсывaются, и выбирается тот элементарный процесс, который окaзывaет наиболее существенное влияние.

Затем составляется мaтемaтическое описание в виде зависимости, которая хaрaктернa для данного элементарного процесса.

Влияние остальных элементарных процессов учитывается параметрически, подбором коэффициентов, входящих в эту зависимость.

Математическая модель ХТП в общем случае включает

в себя следующие математические описания «элементарных» стадий процесса:

Вначале исследуют гидродинамическую часть объекта – основу будущей модели. Эта часть отражает поведение объекта без учета физико-химических превращений, но с реальными нагрузками на объект по фазам.

Следующий этап моделирования состоит в объединении моделей элементарных процессов в общую результирующую математическую модель ХТП.

В общем случае состав ММ ХТП имеет вид:

Структура уравнений математических моделей химико-технологических процессов основана на балансовых соотношениях сохранения массы, энергии, импульса с учетом гидродинамической структуры потока и показана на следующем рисунке.

4. Этапы математического моделирования (ММ)

4.1. Постановка задачи математического моделирования

Цели математического моделирования

Требования к модели

4.2. Получение экспериментальных данных об объекте ММ

Требования к экспериментальным данным

4.3. Построение модели. Структурная идентификация модели

4.4. Параметрическая идентификация модели

4.5. Выбор эффективного метода решения задачи ММ и оптимизации

Модели, как правило, в математической форме представляют собой:

Задачи оптимизации в зависимости от вида целевой функции сводятся к задачам линейного или нелинейного программирования

Требования к методам:

4.6. Математическое моделирование и оптимизация

Независимые переменные – это переменные, которые возможно изменять в некотором заданном интервале.

Зависимые переменные изменять нельзя, это отклик математической модели на изменение независимых переменных.

Изменение значений независимых переменных позволяет исследовать:

1) внутренние свойства объектов;

2) причинно-следственные связи;

3) определить оптимальные значения параметров проектируемых объектов,

4) оптимальные условия ведения технологического процесса.

4.7. Интерпретация результатов

На этом этапе полученные результаты анализируются на предмет достижения поставленной цели, использования их для дальнейшей деятельности в областях исследования, проектирования, управления.

В случае получения недостоверных результатов, анализируются причины этого и возможности перехода на любой из рассмотренных этапов математического моделирования.

Источник

Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели. На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель. На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v₀ = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t — время, g = 10 м/с 2 — ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x₁ = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2 p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r₀, при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r₀. Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h₀ = 2r₀. Подставляя в выражение для r₀ и h₀ заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго — 70 т на заводы, причем на первый — 40 т, а на второй — 80 т.

Обозначим через a_ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x₁ и x₂ количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x₃ и x₄ — со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x₁, x₂, x₃ и x₄, удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

а x₄ не может быть определено однозначно. Так как x_i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30 Ј x₄ Ј 70. Подставляя выражение для x₁, x₂, x₃ в формулу для f, получим

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x₄, то есть при x₄ = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x₁ = 40, x₂ = 10, x₃ = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A₁, надо посетить города A₂, A₃ и A₄, причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A₁. Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b_ij между городами A_i и A_j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L₁ = 160, L₂ = 180, L₃ = 200. Итак, маршрут наименьшей длины — это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

где a, b — константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a, b » – 4a, b » 28 – 5a, b » 69 – 6a.

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a. Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a, получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y_р(7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y_э(7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A)•P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу. Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P₁ = 0,1, P₂ = 0,15, P₃ = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A_i — событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A₁A₂A₃ — событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.

Источник

Математическое моделирование и процесс создания математической модели

1. Математическое моделирование

и процесс создания математической модели.

Математическое моделирование представляет собой метод исследования объектов и процессов реального мира с помощью их приближенных описаний на языке математики — математических моделей.

Процесс создания математической модели условно можно разбить на ряд основных этапов:

1) построение математической модели;

2) постановка, исследование и решение соответствующих вычислительных задач;

3) проверка качества модели на практике и модификация модели.

Рассмотрим основное содержание этих этапов.

Построение математической модели. Математической моделью называется аналитическое выражение, которое находится в результате анализа некой физической системы или явления, включающей в себя несколько неизвестных параметров этой системы или явления, подлежащих определению на основе данных эксперимента. С помощью наблюдений и экспериментов, практики выявляются основные «характеристики» явления, которым сопоставляются некоторые величины. Как правило, эти величины принимают числовые значения, т. е. являются переменными, векторами, матрицами, функциями и т. д.

Установленным внутренним связям между «характеристиками» явления придается форма равенств, неравенств, уравнений и логических структур, связывающих величины, включенные в математическую модель. Таким образом, математическая модель становится записью на языке математики законов природы.

Подчеркнем, что математическая модель неизбежно представляет собой компромисс между бесконечной сложностью изучаемого явления и желаемой простотой его описания.

Математические модели часто разделяют на статические и динамические. Статическая модель описывает явление или ситуацию в предположении их завершенности, неизменности (т. е. в статике). Динамическая модель описывает, как протекает явление или изменяется ситуация от одного состояния к другому (т. е. в динамике). При использовании динамических моделей, как правило, задают начальное состояние системы, а затем исследуют изменение этого состояния во времени. В динамических моделях искомое решение часто является функцией времени у=у(t), переменная t в таких моделях, как правило, бывает выделенной и играет особую роль.

Постановка, исследование и решение вычислительных задач. Для того чтобы найти интересующие исследователя значения величин или выяснить характер из зависимости от других входящих в математическую модель величин, ставят, а затем решают математические задачи.

Выявим основные типы решаемых задач. Для этого все величины, включенные в математическую модель, условно разобьем на три группы:

1) исходные (входные) данные х,

2) параметры модели a,

3) искомое решение (выходные данные) у.

1). Наиболее часто решают так называемые прямые задачи, постановка которых выглядит следующим образом: по данному значению входного данного х при фиксированных значениях параметров a требуется найти решение у. Процесс решения прямой задачи можно рассматривать как математическое моделирование причинно-следственной связи, присущей явлению. Тогда входное данное х характеризует «причины» явления, которые задаются и варьируются в процессе исследования, а искомое решение у — «следствие».

Для того чтобы математическое описание было применимо не к единичному явлению, а к широкому кругу близких по природе явлений, в действительности строят не единичную математическую модель, а некоторое параметрическое семейство моделей. Выбор конкретной модели из этого семейства осуществляется фиксацией значений параметров модели a. Например, в роли таких параметров могут выступать некоторые из коэффициентов, входящих в уравнения.

2). Большую роль играет решение так называемых обратных задач, состоящих в определении входного данного х по данному значению у (параметры модели a, как и в прямой задаче, фиксированы). Решение обратной задачи — это в определенном смысле попытка выяснить, какие «причины» x привели к известному «следствию» у. Как правило, обратные задачи оказываются сложнее для решения, чем прямые.

3). Помимо двух рассмотренных типов задач следует упомянуть еще один тип — задачи идентификации. В широком смысле задача идентификации модели — это задача выбора среди множества всевозможных моделей той, которая наилучшим образом описывает изучаемое явление. В такой постановке эта задача выглядит как практически неразрешимая проблема. Чаще задачу идентификации понимают в узком смысле, как задачу выбора из заданного параметрического семейства моделей конкретной математической модели (с помощью выбора ее параметров a), с тем чтобы оптимальным в смысле некоторого критерия образом согласовать следствия из модели с результатами наблюдений.

Указанные три типа задач (прямые, обратные и задачи идентификации) будем называть вычислительными задачами. Для удобства изложения в дальнейшем независимо от типа решаемой задачи будем называть набор подлежащих определению величин искомым решением и обозначать через у, а набор величин — входным данным и обозначать через х.

Появление ЭВМ кардинально изменило ситуацию. Класс математических моделей, допускающих подробное исследование, резко расширился. Решение многих, еще недавно недоступных, вычислительных задач стало обыденной реальностью.

Проверка качества модели на практике и модификация модели. На этом этапе выясняют пригодность математической модели для описания исследуемого явления. Теоретические выводы и конкретные результаты, вытекающие из гипотетической математической модели, сопоставляют с экспериментальными данными. Если они противоречат друг другу, то выбранная модель непригодна и ее следует пересмотреть, вернувшись к первому этапу. Если же результаты совпадают с допустимой для описания данного явления точностью, то модель можно признать пригодной. Конечно, необходимо дополнительное исследование с целью установления степени достоверности модели и границ ее применимости.

Вопросы для повторения:

1. Что такое математическая модель?

2. Основные этапы построения математической модели?

3. Основные типы решаемых задач?

2. Основные этапы решения инженерной

задачи с применением ЭВМ

Решение инженерной задачи с использованием ЭВМ можно разбить на ряд последовательных этапов. Выделим следующие этапы:

1) постановка проблемы;

2) выбор или построение математической модели;

3) постановка вычислительной задачи;

4) предварительный (предмашинный) анализ свойств вычислительной задачи;

5) выбор или построение численного метода;

6) алгоритмизация и программирование;

7) отладка программы;

8) счет по программе;

9) обработка и интерпретация результатов;

10) использование результатов и коррекция математической модели.

Постановка проблемы. Первоначально прикладная задача бывает сформулирована в самом общем виде:

— исследовать некоторое явление,

— спроектировать устройство, обладающее заданными свойствами,

— дать прогноз поведения некоторого объекта в определенных условиях и т. д.

На данной стадии происходит конкретизация постановки задачи. Первостепенное внимание при этом уделяется выяснению цели исследования.

Этот очень важный и ответственный этап завершается конкретной формулировкой проблемы на языке, принятом в данной предметной области. Знание возможностей, которые дает применение ЭВМ, может оказать существенное влияние на окончательную формулировку проблемы.

Выбор или построение математической модели. Для последующего анализа исследуемого явления или объекта необходимо дать его формализованное описание на языке математики, т. е. построить математическую модель. Часто имеется возможность выбора модели среди известных и принятых для описания соответствующих процессов, но нередко требуется и существенная модификация известной модели, а иногда возникает необходимость в построении принципиально новой модели.

Постановка вычислительной задачи. На основе принятой математической модели формулируют вычислительную задачу (или ряд таких задач). Анализируя результаты ее решения, исследователь предполагает получить ответы на интересующие его вопросы.

Предварительный анализ свойств вычислительной задачи. На этом этапе проводят предварительное (предмашинное) исследование свойств вычислительной задачи, выяснению вопросов существования и единственности решения, а также исследованию устойчивости решения задачи к погрешностям входных данных.

Выбор или построение численного метода. Для решения вычислительной задачи на ЭВМ требуется использование численных методов.

Часто решение инженерной задачи сводится к последовательному решению стандартных вычислительных задач, для которых разработаны эффективные численные методы. В этой ситуации происходит либо выбор среди известных методов, либо их адаптация к особенностям решаемой задачи. Однако если возникающая вычислительная задача является новой, то не исключено, что для ее решения не существует готовых методов.

Для решения одной и той же вычислительной задачи обычно может быть использовано несколько методов. Необходимо знать особенности этих методов, критерии, по которым оценивается их качество, чтобы выбрать метод, позволяющий решить проблему наиболее эффективным образом. Здесь выбор далеко не однозначен. Он существенно зависит от требований, предъявляемых к решению, от имеющихся в наличии ресурсов, от доступной для использования вычислительной техники и т. д.

Алгоритмизация и программирование. Как правило, выбранный на предыдущем этапе численный метод содержит только принципиальную схему решения задачи, не включающую многие детали, без которых невозможна реализация метода на ЭВМ. Необходима подробная детализация всех этапов вычислений, для того чтобы получить реализуемый на ЭВМ алгоритм. Составление программы сводится к переводу этого алгоритма на выбранный язык программирования.

Существуют библиотеки из которых пользователи из готовых модулей свои программы, либо, в крайнем случае, приходится программу писать с «нуля».

Отладка программы. На этом этапе с помощью ЭВМ выявляют и исправляют ошибки в программе.

После устранения ошибок программирования необходимо провести тщательное тестирование программы — проверку правильности ее работы на специально отобранных тестовых задачах, имеющих известные решения.

Счет по программе. На этом этапе происходит решение задачи на ЭВМ по составленной программе в автоматическом режиме. Этот процесс, в ходе которого входные данные с помощью ЭВМ преобразуются в результат, называют вычислительным процессом. Как правило, счет повторяется многократно с различными входными данными для получения достаточно полной картины зависимости от них решения задачи.

Обработка и интерпретация результатов. Полученные в результате расчетов на ЭВМ выходные данные, как правило, представляют собой большие массивы чисел, которые потом представляются в удобной для восприятия форме.

Использование результатов и коррекция математическое модели. Завершающий этап состоит в использовании результатов расчетов в практической деятельности, иначе говоря, во внедрении результатов.

Очень часто анализ результатов, проведенный на этапе их обработки и интерпретации, указывает на несовершенство используемой математической модели и необходимость ее коррекции. В таком случае математическую модель модифицируют (при этом она, как правило, усложняется) и начинают новый цикл решения задачи.

Вопросы для повторения:

1. Основные этапы решение инженерной задачи с использованием ЭВМ?

3. Вычислительный эксперимент

Создание математических моделей и решение инженерных задач с применением ЭВМ требует выполнения большого объема работ. Нетрудно заметить аналогию с соответствующими работами, проводимыми при организации натурных экспериментов: составление программы экспериментов, создание экспериментальной установки, выполнение контрольных экспериментов, проведение серийных опытов) обработка экспериментальных данных и их интерпретация и т. д. Однако вычислительный эксперимент проводится не над реальным объектом, а над его математической моделью, и роль экспериментальной установки играет оснащенная специально разработанной программой ЭВМ. В связи с этим естественно рассматривать проведение больших комплексных расчетов при решении инженерных и научно-технических задач как вычислительный эксперимент, а описанную в предыдущем параграфе последовательность этапов решения как один его цикл.

Отметим некоторые достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным:

1. Вычислительный эксперимент, как правило, дешевле физического.

2. В этот эксперимент можно легко и безопасно вмешиваться.

3. Его можно повторить еще раз (если в этом есть необходимость) и прервать в любой момент.

4. В ходе этого эксперимента можно смоделировать условия, которые нельзя создать в лаборатории.

Заметим, что в ряде случаев проведение натурного эксперимента затруднено (а иногда и невозможно), так как изучаются быстропротекающие процессы, исследуются труднодоступные или вообще пока недоступные объекты. Часто проведение полномасштабного натурного эксперимента сопряжено с губительными или непредсказуемыми последствиями (ядерная война, поворот сибирских рек) или с опасностью для жизни или здоровья людей. Нередко требуется исследование и прогнозирование результатов катастрофических явлений (авария ядерного реактора АЭС, глобальное потепление климата, землетрясение). В этих случаях вычислительный эксперимент может стать основным средством исследования. Заметим, что с его помощью оказывается возможным прогнозировать свойства новых, еще не созданных конструкций и материалов на стадии их проектирования.

Существенным недостатком вычислительного эксперимента является то, что применимость его результатов ограничена рамками принятой математической модели.

Создание нового изделия или технологического процесса предполагает выбор среди большого числа альтернативных вариантов, а также оптимизацию по ряду параметров. Поэтому в ходе вычислительного эксперимента расчёты проводятся многократно с разными значениями входных параметров. Для получения нужных результатов с требуемой точностью и в приемлемые сроки необходимо, чтобы на расчет каждого варианта тратилось минимальное время.

Разработка программного обеспечения вычислительного эксперимента в конкретной области инженерной деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса. Он состоит из связанных между собой прикладных программ и системных средств, включающих средства, предоставляемые пользователю для управления ходом вычислительного эксперимента, обработки и представления его результатов. Такой комплекс программ иногда называют проблемно-ориентированным пакетом прикладных программ.

Вопросы для повторения:

1. Достоинства вычислительного эксперимента по сравнению с натуральным?

2. Недостатки вычислительного эксперимента?

4. Простейшие методы решения задач

4.1. Поиск корня функции.

Метод деления отрезка по полам (метод Вилли).

Делим отрезок пополам (АС=СВ). Выбираем половину, в которой функция пересекает ось 0х, затем обозначаем С за В, т. е. С=В и снова делим пополам. Выбор половины осуществляется произведением ¦(А)´¦(В). Если произведение больше 0, то корня нет.

Метод хорд (секущих).

Метод касательных (метод Ньютона).

Источник