Чем отличаются выпуклые и невыпуклые многоугольники
Выпуклый многоугольник
Что такое выпуклый многоугольник? В чём отличие выпуклого многоугольника от многоугольника, который не является выпуклым?
Выпуклый многоугольник — это многоугольник, лежащий в одной полуплоскости от каждой прямой, содержащей его сторону.
То есть ни одна из прямых, проходящих через две соседние вершины выпуклого многоугольника, не разрезает этот многоугольник на две части.
1) ABCDEF — выпуклый шестиугольник, так как он лежит в одной полуплоскости относительно каждой из прямых AB, BC, CD, DE и EF.
2) MNKFEL — не выпуклый шестиугольник,
Он не лежит в одной полуплоскости относительно прямых KF и FE.
Не выпуклый многоугольник можно разбить на конечное число выпуклых многоугольников. Поэтому в курсе геометрии средней школы изучают только выпуклые многоугольники.
Важнейшие виды выпуклых многоугольников
Справочник по математике
математика, алгебра, геометрия
§ 6. Многоугольник
Плоская фигура, образованная замкнутым рядом прямолинейных отрезков, называется многоугольником. На рис.1 изображен шестиугольник ABCDEF. Точки А, В, С, D, Е, F — вершины многоугольника; углы при них (углы многоугольника) обозначаются ∠A, ∠В, ∠С, …, ∠F. Отрезки: AC, AD, BE и т.д. — диагонали, АВ; ВС, CD и т. д. — стороны многоугольника; сумма длин сторон АВ + ВС + CD + … + FA называется периметром и обозначается р, а иногда 2р (тогда р — полупериметр).
В элементарной геометрии рассматриваются только простые многоугольники, т. е. такие, контур которых не имеет самопересечений.
Многоугольники, контур которых имеет самопересечения, называются звездчатыми многоугольниками. На рис.2 изображен звездчатый многоугольник ABCDE.
Если все диагонали многоугольника лежат внутри него, многоугольник называется выпуклым.
Шестиугольник на рис.1 выпуклый; пятиугольник на рис.3 невыпуклый (диагональ ЕС лежит вне многоугольника).
Сумма внутренних углов во всяком выпуклом многоугольнике равна 180° (n-2), где n — число сторон многоугольника*.
* В учебниках геометрии это свойство высказывается обычно только для выпуклых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Но оно справедливо для всех простых многоугольников. Нужно заметить, что в невыпуклом многоугольнике один или несколько внутренних углов превышают 180°. Так, в невыпуклом пятиугольнике, изображенном на рис.3, два угла прямые, два угла имеют по 45°, а один содержит 270°. Суммаа углов составляет 180° (5-2)=540°.
Добавить комментарий Отменить ответ
Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.
Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Четырёхугольники.
Прежде, чем ввести понятие многоугольника, рассмотрим геометрическую фигуру, состоящую из отрезков. Расположим отрезки так, чтобы начало одного отрезка совпадало с концом другого. 
Таких отрезков может быть бесконечно много.
Определение. Ломаной называется геометрическая фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков, в которой конец одного отрезка является началом следующего. При этом соседние (имеющие общую точку) отрезки не должны лежать на одной прямой.
Определение. Длиной ломаной называется сумма длин всех её звеньев.
На рисунке длина ломаной равна:
Существует две группы ломаных: замкнутые и незамкнутые.
Определение. Замкнутой называется ломаная, у которой её начало и конец совпадают. 
– замкнутая ломаная. У неё точка является и началом и концом.
Замкнутые ломаные также разделяются на две группы:
ломаные без самопересечения (когда несоседние звенья не пересекаются);
ломаные, имеющие самопересечение (когда несоседние звенья пересекаются).
Определение. Многоугольником называется замкнутая ломаная, не имеющая самопересечений.
Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю. 
Рассмотрим два вида многоугольников.
Визуально видно, что в них есть принципиальная разница. В чём она? Приложите линейку к любой стороне красного многоугольника. Вы заметили, что весь многоугольник находится по одну сторону от линейки. Попробуйте это сделать со всеми остальными сторонами. Многоугольник всё также расположен по одну сторону от линейки.
Теперь перейдём к зелёному многоугольнику и проделаем то же самое: приложим линейку к каждой стороне. Тут вы должны заметить, что существуют две стороны, к которым прикладываем линейку и многоугольник делится на две части. В этом и есть принципиальная разница между этими двумя многоугольниками.
Определение. Выпуклым называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Выпуклый многоугольник можно ещё определить так: это многоугольник, все диагонали которого лежат внутри многоугольника. Если в зелёном многоугольнике провести диагональ через две верхние вершины, то она окажется за пределами самого многоугольника. Поэтому, зелёный многоугольник не является выпуклым. Он называется невыпуклым. 
Любой выпуклый многоугольник (кроме треугольника) можно разделить на треугольники его диагоналями. Выясним на примере нескольких многоугольников, сколько можно провести диагоналей из каждой вершины, и сколько получается треугольников.
Многоугольники-1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Многоугольники-1. Выпуклые и невыпуклые многоугольники.
На рисунке справа изображена незамкнутая ломаная А1A2A3A4A5А6, имеющая самопересечения.
Задача 1. Какое наибольшее число самопересечений может иметь ломаная, состоящая из четырёх звеньев? Пяти звеньев? А если известно, что ломаная замкнутая?
Определение 2. Многоугольником называется часть плоскости, ограниченная несамопересекающейся замкнутой ломаной. Звенья этой ломаной называются сторонами многоугольника, а сама ломаная – контуром (или границей) многоугольника.
На рисунке слева изображён многоугольник А1A2A3A4A5.
Задача 2. Про два многоугольника известно, что они имеют общую внутреннюю точку (не лежащую на их контурах). Верно ли, что пересечение двух многоугольников (если оно не пусто) является многоугольником? Верно ли, что их объединение является многоугольником?
Задача 3. Могут ли у многоугольника найтись две стороны, лежащие на одной прямой? А миллион таких сторон?
Определение 3а. Многоугольник называется выпуклым по Михаилу Юрьевичу, если любой отрезок с концами в точках, лежащих в многоугольнике, целиком ему принадлежит.
Определение 3б. Многоугольник называется выпуклым по Николаю Александровичу, если он лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей одну из сторон многоугольника.
Задача 4. Является ли многоугольник, изображённый на рисунке слева от определения 2, выпуклым по Михаилу Юрьевичу? А выпуклым по Николаю Александровичу? Почему?
Задача 5. Объясните, почему любой выпуклый по Николаю Александровичу многоугольник является выпуклым и по Михаилу Юрьевичу?
(Начало решения. Пусть нашёлся многоугольник, который является выпуклым по Николаю Александровичу, но не является выпуклым по Михаилу Юрьевичу. Тогда в нём найдутся две точки такие, что соединяющий их отрезок пересекает контур многоугольника. Но это невозможно по причине того, что. )
Задача 6. Наоборот, объясните, почему и любой выпуклый по Михаилу Юрьевичу многоугольник является выпуклым по Николаю Александровичу?
(Указание. Решайте задачу методом «от противного», как и задачу 5.)
Замечание. Решив задачи 5, 6, мы доказали эквивалентность определений 3а и 3б. Поэтому мы можем, не рискуя запутаться, называть многоугольник, для которого удалось проверить одно из определений, просто выпуклым.
Задача 7. Проверьте, что в случае выпуклых многоугольников ответы на вопросы задачи 2 положительны. Посмотрите, можно ли эти задачи обобщить на случаи трёх и большего числа многоугольников.
Задача 8. Может ли выпуклый многоугольник обладать двумя сторонами, лежащими на одной прямой?
Задача 9. Ученик шестого класса придумал такое определение: «Многоугольник называется выпуклым, если любая прямая на плоскости либо не пересекается с многоугольником, либо пересекается с ним по точке, либо пересекается с ним по отрезку.» Докажите, что оно эквивалентно определениям 3а и 3б.
Попробуйте придумать своё определение выпуклого многоугольника, которое будет эквивалентно перечисленным.
Многоугольник
Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.
Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:
Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.
Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.
Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.
Виды многоугольников
Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.
    |
На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.
Обозначение многоугольника
Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).
Соседние вершины многоугольника
Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
 |
На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)
Смежные стороны многоугольника
Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.
На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)
Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник
Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).
  |
На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.
Выпуклый многоугольник
Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.
 |
На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.
 |
На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.
Правильный многоугольник
Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.
  |
На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.
Звездчатый многоугольник
Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.
 |
На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)
Периметр многоугольника
Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_
Угол многоугольника
Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).
Внешний угол многоугольника
Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.
На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)
Диагональ многоугольника. Количество диагоналей
Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.
Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:
Сумма углов выпуклого многоугольника
Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_
 |
Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.
Угол правильного многоугольника
Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:
где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.