Чем отличается векторы на плоскости и в пространстве

В этой статье мы дадим определение вектора с точки зрения геометрии, а также основные сопутствующие понятия. На плоскости и в пространстве вектор является полноценным геометрическим объектом, то есть, имеет вполне реальные очертания, которые Вы увидите на приведенных графических иллюстрациях.

Вектор – это направленный отрезок прямой.

То есть, в качестве вектора мы принимаем отрезок на плоскости или в пространстве, считая одну из его граничных точек началом, другую – концом.

Нулевой вектор – это любая точка плоскости или пространства.

Будем считать, что нулевому вектору можно придать любое направление на плоскости и в пространстве.

Длину вектора будем обозначать как .

Так как обозначение длины вектора в точности совпадает со знаком модуля, то можно услышать, что длину вектора называют модулем вектора. Все же рекомендуем использовать термин «длина вектора». Длина нулевого вектора равна нулю.

Два вектора называют коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.

Два вектора называют неколлинеарными, если они не лежат на одной прямой или параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому другому вектору.

Два коллинеарных вектора и называют сонаправленными, если их направления совпадают и обозначают .

Два коллинеарных вектора и называют противоположно направленными, если их направления противоположны и обозначают .

Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым другим вектором.

Два вектора называются равными, если они сонаправленные и их длины равны.

Два вектора называются противоположными, если они противоположно направлены и их длины равны.

Понятие равных векторов дает нам возможность рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Другими словами, мы имеем возможность заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Пусть и два произвольных вектора на плоскости или в пространстве. Отложим от некоторой точки O плоскости или пространства векторы и . Лучи OA и OB образуют угол .

Угол называется углом между векторами и .

Угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или радиан).

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусам (или радиан).

На этом обзор основных определений закончен.

Источник

Векторы на плоскости и в пространстве: формулы и примеры

Вектор является важным геометрическим объектом, с помощью свойств которого удобно решать многие проблемы на плоскости и в пространстве. В данной статье дадим ему определение, рассмотрим его основные характеристики, а также покажем, как для задания плоскостей вектор в пространстве может быть использован.

Что такое вектор: двумерный случай

В первую очередь необходимо четко понимать, о каком объекте идет речь. В геометрии вектором называется направленный отрезок. Как и любой отрезок, он характеризуется двумя основными элементами: начальной и конечной точек. Координаты этих точек однозначно определяют все характеристики вектора.

Вам будет интересно: Совещание. Кто примет участие в совещании

Рассмотрим пример вектора на плоскости. Для этого проведем две взаимно перпендикулярные оси x и y. Отметим произвольную точку P(x, y). Если соединить эту точку с началом координат (точка O), а затем указать направление к P, тогда мы получим вектор OP¯ (далее в статье черта над символом показывает, что рассматривается вектор). Рисунок вектора на плоскости изображен ниже.

Здесь также изображен другой вектор AB¯, и видно, что его характеристики совершенно идентичны OP¯, однако он находится в другой части системы координат. Путем параллельного переноса OP¯ можно получить бесконечное количество векторов с одинаковыми свойствами.

Вектор в пространстве

Все реальные объекты, которые нас окружают, находятся в трехмерном пространстве. Изучением геометрических свойств трехмерных фигур занимается стереометрия, которая оперирует понятием трехмерных векторов. От двумерных они отличаются только тем, что для их описания необходима дополнительная координата, которая отсчитывается вдоль третьей перпендикулярной x и y оси z.

Рисунок ниже демонстрирует вектор в пространстве. Координаты его конца вдоль каждой оси обозначены цветными отрезками. Начало вектора находится в точке пересечения всех трех координатных осей, то есть имеет координаты (0; 0; 0).

Поскольку вектор на плоскости является частным случаем пространственно направленного отрезка, то далее в статье будем рассматривать только трехмерный вектор.

Координаты вектора по известным координатам его начала и конца

Отметим, что изменив направление вектора, его координаты поменяют знак, так:

Свойства вектора

Как и любой объект геометрии, вектор имеет некоторые свойственные ему характеристики, которые можно использовать при решении задач. Кратко перечислим их.

Модуль вектора на плоскости рассчитывается по аналогичной формуле, только без участия третьей координаты.

Сумма и разность векторов осуществляется по правилу треугольника. Рисунок ниже показывает, как выполняются операции сложения и вычитания этих объектов.

Чтобы получить вектор суммы, необходимо к концу первого вектора приложить начало второго. Искомый вектор будет начинаться в начале первого и заканчиваться на конце второго вектора.

Разность выполняется с учетом того, что вычитаемый вектор заменяется на противоположный, а затем проводится описанная выше операция сложения.

Помимо сложения и вычитания, важно уметь умножать вектор на число. Если число равно k, тогда получается вектор, модуль которого в k раз отличается от исходного, а направление либо совпадает (k>0), либо противоположно исходному (k Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Источник

Определение вектора

В статье пойдет речь о том, что такое вектор, что он из себя представляет в геометрическом смысле, введем вытекающие понятия.

Для начала дадим определение:

Вектор – это направленный отрезок прямой.

Исходя из определения, под вектором в геометрии отрезок на плоскости или в пространстве, который имеет направление, и это направление задается началом и концом.

Нулевой вектор

Под нулевым вектором 0 → будем понимать любую точку плоскости или пространства.

Из определения становится очевидным, что нулевой вектор может иметь любое направление на плоскости и в пространстве.

Длина вектора

Под длиной вектора A B → понимается число, большее либо равное 0, и равное длине отрезка АВ.

Понятия модуль вектора и длина вектора равносильны, потому что его обозначение совпадает со знаком модуля. Поэтому длину вектора также называют его модулем. Однако грамотнее использовать термин «длина вектора». Очевидно, что длина нулевого вектора принимает значение ноль.

Коллинеарность векторов

Два вектора лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными.

Два вектора не лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются неколлинеарными.

Следует запомнить, что Нулевой вектор всегда коллинеарен любому другому вектору, так как он может принимать любое направление.

Коллиниарные векторы в свою очередь тоже можно разделить на два класса: сонаправленные и противоположно направленные.

Направление векторов

Считается, что нулевой вектор является сонаправленым к любым другим векторам.

Равные и противоположные векторы

Равными называются сонаправленные вектора, у которых длины равны.

Противопожными называются противоположно направленные вектора, у которых их длины равны.

Введенные выше понятия позволяют нам рассматривать векторы без привязки к конкретным точкам. Иначе говоря, можно заменить вектор равным ему вектором, отложенным от любой точки.

Углы между векторами

Угол φ = ∠ A O B называется углом между векторами a → = O A → и b → = O B → .

Очевидно, что угол между сонаправленными векторами равен нулю градусам (или нулю радиан), так как сонаправленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых и имеют одинаковое направление, а угол между противоположно направленными векторами равен 180 градусам (или π радиан), так как противоположно направленные векторы лежат на одной или на параллельных прямых, но имеют противоположные направления.

Перпендикулярными называются два вектора, угол между которыми равен 90 градусам (или π 2 радиан).

Источник

Векторы на плоскости и в пространстве: формулы и примеры

Вектор является важным геометрическим объектом, с помощью свойств которого удобно решать многие проблемы на плоскости и в пространстве. В данной статье дадим ему определение, рассмотрим его основные характеристики, а также покажем, как для задания плоскостей вектор в пространстве может быть использован.

Что такое вектор: двумерный случай

В первую очередь необходимо четко понимать, о каком объекте идет речь. В геометрии вектором называется направленный отрезок. Как и любой отрезок, он характеризуется двумя основными элементами: начальной и конечной точек. Координаты этих точек однозначно определяют все характеристики вектора.

Вам будет интересно: Совещание. Кто примет участие в совещании

Рассмотрим пример вектора на плоскости. Для этого проведем две взаимно перпендикулярные оси x и y. Отметим произвольную точку P(x, y). Если соединить эту точку с началом координат (точка O), а затем указать направление к P, тогда мы получим вектор OP¯ (далее в статье черта над символом показывает, что рассматривается вектор). Рисунок вектора на плоскости изображен ниже.

Здесь также изображен другой вектор AB¯, и видно, что его характеристики совершенно идентичны OP¯, однако он находится в другой части системы координат. Путем параллельного переноса OP¯ можно получить бесконечное количество векторов с одинаковыми свойствами.

Вектор в пространстве

Все реальные объекты, которые нас окружают, находятся в трехмерном пространстве. Изучением геометрических свойств трехмерных фигур занимается стереометрия, которая оперирует понятием трехмерных векторов. От двумерных они отличаются только тем, что для их описания необходима дополнительная координата, которая отсчитывается вдоль третьей перпендикулярной x и y оси z.

Рисунок ниже демонстрирует вектор в пространстве. Координаты его конца вдоль каждой оси обозначены цветными отрезками. Начало вектора находится в точке пересечения всех трех координатных осей, то есть имеет координаты (0; 0; 0).

Поскольку вектор на плоскости является частным случаем пространственно направленного отрезка, то далее в статье будем рассматривать только трехмерный вектор.

Координаты вектора по известным координатам его начала и конца

Отметим, что изменив направление вектора, его координаты поменяют знак, так:

Свойства вектора

Как и любой объект геометрии, вектор имеет некоторые свойственные ему характеристики, которые можно использовать при решении задач. Кратко перечислим их.

Модуль вектора на плоскости рассчитывается по аналогичной формуле, только без участия третьей координаты.

Сумма и разность векторов осуществляется по правилу треугольника. Рисунок ниже показывает, как выполняются операции сложения и вычитания этих объектов.

Чтобы получить вектор суммы, необходимо к концу первого вектора приложить начало второго. Искомый вектор будет начинаться в начале первого и заканчиваться на конце второго вектора.

Разность выполняется с учетом того, что вычитаемый вектор заменяется на противоположный, а затем проводится описанная выше операция сложения.

Помимо сложения и вычитания, важно уметь умножать вектор на число. Если число равно k, тогда получается вектор, модуль которого в k раз отличается от исходного, а направление либо совпадает (k>0), либо противоположно исходному (k Понравилась статья? Поделись с друзьями:

Источник

Чем отличается векторы на плоскости и в пространстве

Сформулируем ряд базовых определений.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение: Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

При λ>0 – вектор сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы на прямолинейном участке пути.

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала

Угол φ между и находим по формуле (2.29), то есть

– перпендикулярен векторам и ;

– векторы образуют правую тройку (рис. 2.15).

Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;

Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Решение. Найдем координаты векторов

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах равен (единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.

получим выражение вектора через остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все

Базисом n – мерного пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:

Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Источник