Чем отличается равносторонний и равнобедренный треугольник
Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Определение равнобедренного треугольника
Какой треугольник называется равнобедренным?
Давайте посмотрим на такой треугольник:
На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:
AB и BC — боковые стороны,
AC — основание треугольника.
Признаки равнобедренного треугольника
Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.
Свойства равнобедренного треугольника
Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.
Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!
Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.
Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.
Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.
Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.
Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».
В данном треугольнике медианой является отрезок BH.
Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.
Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.
В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.
Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.
Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.
Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).
Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.
Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.
Примеры решения задач
Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.
Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.
Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.
∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.
Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.
Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.
А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.
Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.
Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Повторение. Равнобедренный треугольник и его свойства
Перечень рассматриваемых вопросов:
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.
Две равные стороны называют боковыми сторонами, а третью сторону – основанием равнобедренного треугольника.
Свойства равнобедренного треугольника:
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны;
В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.
Признак равнобедренного треугольника:
Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.
Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Биссектриса – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противопложной стороны.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№ 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 24 см, боковая сторона 10 см. Найдите основание.
Решение: ∆ABC равнобедренный, AB = BC = 10 см.
№ 2. ∆ABC равнобедренный. AM, CM биссектрисы, ∠B = 80°. Найти ∠AMC, который образуют биссектрисы углов при основании.
Гимназия 1503
четвёртый класс
И всё-таки она вертится…
Как хорошо, когда задача имеет несколько решений. Есть место для творчества.
Как поднимается настроение, когда решение задачи неявное и не лежит на поверхности. Можно выйти за рамки и почувствовать себя свободным.
На уроке математики у нас возникла дискуссия на тему — является ли равносторонний треугольник равнобедренным. Одни утверждали, что да, другие с ними спорили.
Пришлось обратиться к самым умным сайтам в интернете и побеспокоить дедушек с математическим образованием.
И вот что мы выяснили.
Определение: равнобедренный треугольник — это треугольник, в котором две стороны равны по длине.
Из определения равнобедренного треугольника следует, что правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным.
Если взять длины сторон, как признак, и разделить треугольники по типам, то типы будут следующие: разносторонний, равнобедренный и частный случай равнобедренного — равносторонний.
Условие равенства двух сторон является необходимым и достаточным, чтобы считать треугольник равнобедренным.
Условие достаточности может выполняться и не выполняться в остроугольном, тупоугольном и прямоугольном треугольнике. Но в равностороннем треугольнике оно выполняется всегда.
Следовательно равносторонний треугольник всегда является равнобедренным.
Рассмотрим рисунок и вспомним определение.
АВ=ВС — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
ВС=СА — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
СА=АВ — следовательно, Δ АВС является равнобедренным (по определению).
Как видим, равносторонний треугольник АВС является не просто равнобедренным, а трижды равнобедренным.
Чем отличается равнобедренный треугольник от равностороннего?
Всякий треугольник, имеющий две равные по длине стороны, называется равнобедренным. В таких треугольниках равные стороны называются боковыми, а третью именуют основанием.
Если в треугольнике равны все три стороны, то такой треугольник называют равносторонним. Причем равносторонний треугольник считается частным видом равнобедренного.
Кстати, в равностороннем треугольнике все внутренние углы равны 60°, а в сумме они составляют 180°. Кроме того, в таком треугольнике совпадают такие точки, как центр тяжести, центры описанной и вписанной окружностей, а также ортоцентр (точка пересечения высот).
У равнобедренного равны не менее двух сторон, а у равностороннего равны все три стороны между собой. Так что любой равносторонний автоматически является равнобедренным, но не любой равнобедренный будет равносторонним.
Отличие между равнобедренным и разносторонним треугольником оговаривается в самих названиях.
Также отличие заключается в том, что в равностороннем треугольнике все три угла одинаковой величины/равны (по 60 градусов).
У равнобедренного же треугольника равны лишь два угла, которые образованы двумя одинаковыми сторонами и основанием.
В равнобедренном треугольнике две стороны и углы при основании равны. В равностороннем равны все стороны и углы. И углы равны 60 градусам.
Чем отличается равносторонний и равнобедренный треугольники?
Как доказать что равнобедренный треугольник равносторонний?
Если все три стороны треугольника равны, то такой треугольник называется равносторонним. Он является частным видом равнобедренного треугольника. Теорема 18. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, одновременно является биссектрисой угла между равными сторонами, медианой и осью симметрии основания.
Какой угол называется равнобедренным?
Можно ли считать равносторонний треугольник равнобедренным треугольником?
Каким знаком обозначается равнобедренный треугольник?
Треугольник DET — равнобедренный, у него две стороны равны.
Как найти стороны равнобедренного треугольника 7 класс?
AB = BC. ∆ABC – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием. AB и BC – боковые стороны ∆ABC.
Как найти стороны в равнобедренном треугольнике?
Стороны равнобедренного треугольника
Отсюда, боковая сторона будет равна корню из суммы половины основания в квадрате и высоты, также возведенной в квадрат: а = √(b/2)2+h2, где а — боковая сторона, b/2 — половина основания, h — высота.
Какой треугольник называется равнобедренным Равносторонним Как называются стороны равнобедренного треугольника?
Равнобедренный треугольник Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием равнобедренного треугольника. Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.
Какой треугольник называют равнобедренный?
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. По определению, каждый правильный треугольник также является равнобедренным, но обратное утверждение неверно.
Какой треугольник называется равнобедренным свойства?
Определение равнобедренного треугольника звучит проще простого: Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.
Какие виды треугольников бывают по углам и сторонам?
Как называется треугольник у которого все стороны равны?
По числу равных сторон
Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, третья сторона называется основанием. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Равносторонним или правильным называется треугольник, у которого все три стороны равны.
Какие существуют виды треугольников в зависимости от количества равных сторон?
В каком случае медиана является высотой?
Если медиана треугольника является его высотой, то этот треугольник — равнобедренный.