Чем отличается определения непрерывности и предела функции в точке
math4school.ru
Предел и непрерывность функции
Предел функции y = f(x) при х → ∞
Геометрически это означает, что график функции y = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой у = b. Это означает, что расстояние от точки графика до прямой у = b по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа ε > 0. Прямая называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y = f(x).
Число b называется пределом функции y = f(x) при х → –∞, если для любого числа ε > 0 найдётся такое число М > 0, что для всех х
В этом случае прямая y = b также является горизонтальной асимптотой функции y = f(x), график которой бесконечно близко приближается к ней при достаточно больших по модулю, но отрицательных значениях х.
Наконец, прямая у = b может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при х → +∞, и при х → –∞. Пишут так: х → ∞.
Например: lim х→∞ х 2 /(х 2 +1) = 1 и функция y = х 2 /(х 2 +1) имеет горизонтальную асимптоту у = 1.
Вычисление пределов функции при х → ∞
Для вычисления пределов функций при х→∞ используются следующие теоремы об операциях над пределами:
Теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела :
Теорема о пределе суммы :
Теорема о пределе произведения :
Теорема о пределе частного :
Непрерывные функции
Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке, т.е.
Функция y = f(x) будет непрерывной в точке х = а тогда и только тогда, когда выполняются условия:
Другими словами верно и такое
Функция y = f(x) непрерывна в точке х = а, если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих условию |x – a|
Теоремы про непрерывность функции
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а, то в этой точке непрерывны и функции f(x) + g(x), f(x) – g(x), f(x) · g(x).
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х = а и g(а) ≠ 0, то в точке х = а будет непрерывной также функция f(x) / g(x).
Исходя из двух последних теорем можно утверждать:
непрерывна во всех точках числовой оси, кроме нулей знаменателя;
Замечательные пределы
Замечательные пределы – термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:
Первый замечательный предел :
| lim х→ 0 | sin x | = 1. |
| x |
Следствия из первого замечательного предела :
| lim х→ 0 | tg x | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | arcsin x | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | arctg x | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | 2 · (1 – cos x) | = 1. |
| x 2 |
Второй замечательный предел :
Следствия из второго замечательного предела :
| lim х→ 0 | (1 + u) 1/ u = e, |
| lim х→ ∞ |
| lim х→ 0 | ln(1 + x) | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | e x – 1 | = 1, |
| x |
| lim х→ 0 | a x – 1 | = 1, |
| x · ln a |
| lim х→ 0 | (1 + x) α – 1 | = 1. |
| α x |
Вычисление пределов функции в точке
Если в результате подстановки х = а при вычислении предела получаем выражение типа 0 / 0, то имеет смысл попытаться воспользоваться одним из следующих приёмов:
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс
Конспект урока
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Урок №9. Предел функции в точке. Непрерывность функции.
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме
Функциюy = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.
Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Рассмотрим функции, графики которых изображены на рисунках 1-3.
Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.
Ответим на несколько вопросов, касаемых данных функций.
Чем они отличаются друг от друга?
Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = а.
Как ведет себя функция в точке х = а на первом графике?
Для функции у=f(х) при х = а значение функции не существует, функция в указанной точке не определена.
Как ведет себя функция в точке х = а на втором графике?
Для функции у=f(х) при х = а значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке.
Как ведет себя функция в точке х = а на третьем графике?
Для функции у=f(х) при х = а значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть b.
Если мы исключим точку х = а из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.
В общем случае эта запись выглядит следующим образом:
.
Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».
А теперь ответим на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = а?
Непрерывной будет третья функция.
Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию 
И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.
Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.
Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).
Для вычисления предела функции в точке, как и для предела на бесконечности, используют правила «предел суммы», «предел произведения», «предел частного».
Правило 1. Предел суммы равен сумме пределов:
Правило 2. Предел произведения равен произведению пределов:
Правило 3. Предел частного равен частному пределов:
Перейдем к практической части.
Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля
Пример 1. Вычислить:
выражение х 3 – 2х 2 + 5х +3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х 3 – 2х 2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
.
Пример 2. Используя правила, вычислим 
.
Решение: функция 
определена в любой точке 
, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х=2. Имеем:
Пример 3. Вычислить
.
.
Предел и непрерывность
Вы будете перенаправлены на Автор24
Понятие предела числовой последовательности
Вспомним сначала определение числовой последовательности.
Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.
Понятие предела числовой последовательности имеет несколько основных определений:
Рассмотрим пример вычисления значения предела числовой последовательности:
Решение:
Для решения данного задания вначале нам необходимо вынести за скобки старшую степень, входящую в выражение:
Понятие предела функции в точке
Готовые работы на аналогичную тему
Понятие предела функции в точке имеет два классических определения:
Определение термина «предел» по Коши
Определение по Гейне
Эти два определения связаны между собой.
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Помимо классических подходов к вычислению пределов функции, вспомним формулы, которые могут также помочь в этом.
Одним из подходов к решению пределов является принцип замены на эквивалентную функцию. Таблица эквивалентных функций представлена ниже, чтобы ей воспользоваться, необходимо вместо функций справа подставить в выражение соответствующую элементарную функцию слева.
Рисунок 1. Таблица эквивалентности функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Замечательные пределы
Специальные пределы
Непрерывность функции
Решение:
Получи деньги за свои студенческие работы
Курсовые, рефераты или другие работы
Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 03 03 2021
Чем отличается определения непрерывности и предела функции в точке
Одним из центральных понятий математического анализа является понятие предела функции в точке. Дадим определение понятия предела функции по Коши или на «языке ε –δ».
Данное определение может быть записано на формализованном языке:
В отдельных случаях способ приближения аргумента x к x 0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому целесообразно ввести понятия односторонних пределов.
На рисунке 3.1 изображены два важных положения.
2) У данной функции y = f ( x ) в точке x 0 односторонние пределы совпадают и равны значению функции в этой точке, то есть A – = A + = f ( x ).
С помощью определения предела введём важнейшие понятия математического анализа – бесконечно малой и бесконечно большой величины.
Бесконечно малые и бесконечно большие величины взаимно обратны, то есть если функция α( x ) – бесконечно малая, отличная от нуля, то функция 
есть бесконечно большая функция и наоборот: если функция f ( x ) – бесконечно большая, то 
– бесконечно малая.
Рассмотрим определение непрерывности функции в точке.
Если функция y = f ( x ) определена в точке x 0 и ее окрестности, и при этом выполняется равенство
то функция называется непрерывной в точке x 0 .
Если функция y = f ( x ) непрерывна в каждой точке интервала ( a ; b ), то она называется непрерывной на этом интервале. Если интервал ( a ; b ) совпадает со всей числовой прямой, то функция называется непрерывной на множестве действительных чисел. Если интервал ( a ; b ) совпадает с областью определения функции, то говорят, что функция непрерывна на всей своей области определения. Функция y = f ( x ) называется непрерывной на отрезке [ a ; b ], если она непрерывна на интервале ( a ; b ) и в точке x = a непрерывна справа (то есть 
), и в точке x = b непрерывна слева (то есть 
).
Важные свойства непрерывных функций можно сформулировать в виде следующих теорем.
Теорема 3.7 (теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений
Следствие. Если функция непрерывна на отрезке, то она на этом отрезке ограничена
Рассмотрим функцию y = f ( x ), которая в точке x 0 не является непрерывной, то есть имеет в этой точке разрыв. При A – ≠ A + обозначим 
1. ω – конечное число 
точка x 0 называется точкой неустранимого разрыва 1–го рода функции y = f ( x ), ω – скачком функции (рис. 3.2).
2. 
(хотя бы один из пределов A + или A – не существует или бесконечен) точка x 0 называется точкой неустранимого разрыва 2–го рода функции 
– вертикальная асимптота графика функции (рис. 3.3).
При 
точка x 0 называется точкой устранимого разрыва 1– го рода. В этом случае функцию в точке x 0 доопределяют.
Особое значение для исследования поведения графика функции имеют ее пределы на бесконечности.
1. 
– конечное число y = b – одна горизонтальная асимптота графика функции при 
и 
(рис. 3.4).
2. 
и A * ; B * – конечные числа у графика функции две горизонтальные асимптоты 