Чем определяется момент импульса гироскопа

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

Загрузить всю книгу

Титульный лист

Главная редакция физико-математической литературы

Механика, колебания и волны,

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ, ТОМ I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Источник

7.5. Гироскопы

Гироскопом называется массивное осесимметричное тело (симметричный волчок), быстро вращающееся вокруг оси симметрии, причем ось вращения может изменять положение в пространстве. Ось симметрии называется осью фигуры гироскопа.

Видео 7.6. Что же такое гироскоп?

Рис. 7.17. Движение системы гироскопов

Ось симметрии является одной из главных осей гироскопа. Поэтому его момент импульса совпадает по направлению с осью вращения.

Для того, чтобы изменить положение в пространстве положение оси фигуры гироскопа, необходимо подействовать на него моментом внешних сил.

Видео 7.7. Гироскопические силы:большой гироскоп рвет веревку

Рис. 7.18. Направление векторов при вращении гироскопа

При этом наблюдается явление, получившее название гироскопического: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси 1 вокруг оси 2 (рис. 7.19), наблюдается поворот оси фигуры вокруг оси 3.

Рис. 7.19. Движение оси фигуры гироскопа под действием момента внешних сил

Видео 7.8. Гироскоп с перегрузами: направление и скорость прецессии, нутации

Гироскопические явления проявляются всюду, где имеются быстро вращающиеся тела, ось которых может поворачиваться в пространстве.

Рис. 7.20. Реакция гироскопа на внешнее воздействие

Странное на первый взгляд поведение гироскопа, рис. 7.19 и 7.20, полностью объясняется уравнением динамики вращательного движения твердого тела

Видео 7.9. «Любвеобильный» гироскоп: ось гироскопа бежит вдоль направляющей, не покидая её

Видео 7.10. Действие момента силы трения: «Колумбово» яйцо

Если гироскоп привести в быстрое вращение, он будет обладать значительным моментом импульса. Если на гироскоп будет действовать внешняя сила в течение времени , то приращение момента импульса будет

Если сила действует в течение короткого времени , то

Другими словами, при коротких воздействиях (толчках) момент импульса гироскопа практически не меняется. С этим связана замечательная устойчивость гироскопа по отношению к внешним воздействиям, которая используется в различных приборах, таких как гирокомпасы, гиростабилизированные платформы и т. д.

Видео 7.11. Модель гирокомпаса, гиростабилизация

Видео 7.12. Большой гирокомпас

7.21. Гиростабилизатор орбитальной станции

В гироскопах, применяющихся в авиации и космонавтике, используется карданов подвес, который позволяет сохранять направление оси вращения гироскопа независимо от ориентации самого подвеса:

Видео 7.13. Гироскопы в цирке: езда на одном колесе по проволоке

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. — стр. 245–249 (§ 47): кинематическая теорема Эйлера о вращениях твердого тела вокруг неподвижной точки.

Рассмотрим движение гироскопа с неподвижной точкой опоры, как показано на на рис. 7.22.

Движение гироскопа под действием внешней силы называется вынужденной прецессией.

Рис. 7.22. Вынужденная прецессия гироскопа: 1 — общий вид; 2 — вид сверху

Приложим в точке А силу . Если гироскоп не вращается, то, естественно, правый маховик будет опускаться, а левый — подниматься. Другая ситуация будет, если предварительно гироскоп привести в быстрое вращение. В этом случае под действием силы ось гироскопа будет вращаться с угловой скоростью вокруг вертикальной оси. То есть ось гироскопа приобретает скорость в направлении, перпендикулярном направлению действующей силы.

Таким образом, прецессия гироскопа представляет собой движение под действием внешних сил, происходящее таким образом, что ось фигуры описывает коническую поверхность.

Рис. 7.23. К выводу формулы прецессии гироскопа.

Объяснение этого явления заключается в следующем. Момент силы относительно точки 0 будет

Приращение момента импульса гироскопа за время равно

Это приращение перпендикулярно моменту импульса и, следовательно, меняет его направление, но не величину.

Вектор момента импульса ведет себя подобно вектору скорости при движении частицы по окружности. В последнем случае приращения скорости перпендикулярно скорости частицы и равно по модулю

В случае гироскопа элементарное приращение момента импульса

За время вектор момента импульса повернется на угол

Угловая скорость вращения плоскости, проходящей через ось конуса, описываемого осью фигуры, и ось фигуры, называется угловой скоростью прецессии гироскопа.

Возникающие при определенных условиях колебания оси фигуры гироскопа в плоскости, проходящей через ось указанного выше конуса и саму ось фигуры, называются нутациями. Нутации могут быть вызваны, например, коротким толчком оси фигуры гироскопа вверх или вниз (см. рис. 7.24):

Рис. 7.24. Нутации гироскопа

Угловая скорость прецессии в рассматриваемом случае равна

Отметим важное свойство гироскопа — его безынерционность, заключающееся в том, что после прекращения действия внешней силы вращение оси фигуры прекращается.

http://www.plib.ru/library/book/14978.html Сивухин Д.В. Общий курс физики, том 1, Механика Изд. Наука 1979 г. — стр. 288–293 (§ 52): изложены основы точной теории гироскопа.

http://femto.com.ua/articles/part_1/0796.html — физическая энциклопедия. Описаны разнообразные механические гироскопы, которые используются для навигации — гирокомпасы.

http://femto.com.ua/articles/part_1/1901.html — физическая энциклопедия. Описан лазерный гироскоп для целей космической навигации.

Влияние гироскопических сил в технике иллюстрируется следующими рисунками.

Рис. 7.25. Гироскопические силы,действующие на самолет при вращении винта

Рис. 7.26. Перевертывание волчка под действием гироскопических сил

Рис. 7.27. Как поставить яйцо «на попа»

http://www.pereplet.ru/nauka/Soros/pdf/9809_096.pdf — Соросовский образовательный журнал, 1998 г., № 9, — в статье обсуждаются проблемы динамики вращающихся тел (кельтских камней), соприкасающихся с твердой поверхностью (А.П. Маркеев).

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/bib-kvant/kvant_35.djvu — Михайлов А.А. Земля и ее вращение, Библиотечка Квант, выпуск 35 стр. 50–56 — планета Земля — большой волчок, ее ось прецессирует в пространстве.

О принципе работы колеса

Раз уж мы много говорили в этой главе о вращении тел, остановимся на самом великом и важном открытии человечества — изобретении колеса. Всем известно, что волочить груз гораздо труднее, чем перевозить его на колесах. Встает вопрос, почему? Колесо, играющее огромную роль в современной технике, по праву считается одним из гениальнейших изобретений человечества.

Передвижение груза с помощью катка. Прототипом колеса был каток, подкладываемый под груз. Его первые применения теряются во мгле веков. Прежде чем разбираться с колесом, поймем принцип действия катка. Для этого рассмотрим пример.

Пример. Груз массой M положен на цилиндрический каток массой и радиусом , который может двигаться по плоскому горизонтальному настилу. К грузу приложена горизонтальная сила (рис. 7.28). Найдем ускорения груза и катка. Силой трения качения пренебречь. Считать, что движение системы происходит без проскальзывания.

Рис. 7.28. Передвижение груза с помощью катка

Обозначим силу трения между катком и грузом и — между катком и настилом. За положительное направление примем направление внешней силы . Тогда положительным значениям и соответствуют направления сил трения, показанные на рис. 7.28.

Таким образом, на груз действуют силы и , а на каток — силы и . Обозначим a ускорение груза и a₁ — ускорение катка. Кроме того, каток вращается по часовой стрелке с угловым ускорением .

Уравнения поступательного движения принимают вид:

Уравнение вращательного движения катка записывается так:

Обратимся теперь к условиям отсутствия проскальзывания. Из-за вращения катка его нижняя точка имеет линейное ускорение и, кроме того, участвует в поступательном движении с ускорением . В отсутствие проскальзывания между катком и настилом полное ускорение нижней точки катка должно быть равно нулю, так что

Верхняя точка катка приобретает из-за вращения противоположно направленное линейное ускорение и то же ускорение поступательного движения. Чтобы не было проскальзывания между катком и грузом, полное ускорение верхней точки должно быть равно ускорению груза:

Из полученных уравнений для ускорений следует, что ускорение катка в два раза меньше ускорения груза:

Из непосредственного опыта каждый знает, что каток действительно отстает от груза.

Подставляя соотношения для ускорений в уравнения движения и решая их относительно неизвестных , , , получаем следующие выражение для ускорения груза

Обе силы трения и оказываются при этом положительными, так что на рис. 12 их направления выбраны правильно:

Как видно, радиус катка особой роли не играет: отношение зависит только от его формы. При данных массе и радиусе момент инерции катка максимален, когда каток представляет собой трубу: . В этом случае сила трения между катком и настилом отсутствует ( = 0) а уравнения для ускорения груза и силы трения между грузом и катком принимают вид:

При уменьшении массы катка сила трения уменьшается, ускорение груза увеличивается — груз легче перемещать.

В случае катка-цилиндра (бревна) /2 и мы находим силы трения

Сравнивая с результатами для катка-трубы, видим, что эффективно масса катка как бы уменьшилась: ускорение груза возрастает при прочих равных условиях.

Главный итог рассмотренного примера: ускорение отлично от нуля (то есть груз начинает двигаться) при сколь угодно малой внешней силе. При волочении же груза по настилу для его смещения необходимо приложить как минимум силу .

Второй вывод: ускорение вовсе не зависит от величины трения между частями данной системы. Коэффициент трения не вошел в найденные решения, он появится только в условиях отсутствия проскальзывания, которые сводятся к тому, что приложенная сила не должна быть слишком велика.

Полученный результат, что каток как бы полностью «уничтожает» силу трения, не удивителен. Действительно, в отсутствие относительного перемещения соприкасающихся поверхностей силы трения не совершают работы. На самом деле каток «заменяет» трение скольжения на трение качения, которым мы пренебрегли. В реальном случае минимальная сила, необходимая для движения системы, отлична от нуля, хотя и гораздо меньше, чем при волочении груза по настилу. В современной технике принцип действия катка реализуется в шарикоподшипниках.

Качественное рассмотрение работы колеса. Разобравшись с катком, перейдем к колесу. Первое колесо в виде деревянного диска, насаженного на ось, появилось, по-видимому, в IV тысячелетии до н.э. в цивилизациях Древнего Востока. Во II тыс. до н.э. конструкция колеса совершенствуется: появляются спицы, ступица и гнутый обод. Изобретение колеса дало гигантский толчок развитию ремесел и транспорта. Однако многие не понимают самого принципа действия колеса. В ряде учебников и энциклопедий можно найти неверное утверждение, что колесо, подобно катку, также дает выигрыш, заменяя силу трения скольжения на силу трения качения. Иногда приходится слышать ссылки на использование смазки или подшипников, но дело не в этом, поскольку колесо с очевидностью появилось раньше, чем додумались до смазки (и, тем более, подшипников).

Действие колеса проще всего понять, исходя из энергетических соображений. Древние повозки устроены просто: кузов прикрепляется к деревянной оси радиусом (общая масса кузова с осью равна M). На ось насаживаются колеса массой и радиусом R (рис. 7.29).

Рис. 7.29. Передвижение движение груза с помощью колеса

Работа против этой силы равна

(так как обычно масса колес много меньше массы повозки

Источник