Чем определяется число измерений

Определение необходимого числа измерений

При планировании эксперимента необходимо помнить, что каждое измерение – это затраты времени и ресурсов (трудовых, материальных, финансовых). В определении числа измерений надо учитывать следующие аспекты:

1. Возможность пренебрежения коэффициентом Стьюдентав вычислении погрешностей измерений. Согласно данным таблицы 2, это можно сделать при более чем 7–10 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,68 (который используется по умолчанию) и при более чем 15–20 измерениях при уровне доверительной вероятности α = 0,95.

2. Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как лучайную, так и приборную погрешности. Поскольку случайная погрешность уменьшается с увеличением количества измерений как а приборная остается постоянной, целесообразно сделать столько измерений, чтобы

т.е. чтобы случайной погрешностью можно было пренебречьпо сравнению с приборной погрешностью θ.

Поскольку можно установить, что мы можем пренебречь первым слагаемым, если (часто полагают 2 = k ), для чего необхо димо провести N измерений. Пусть уже проведено n измере-

ний, и получена погрешность измерений n σ (число измерений таково, что мы пренебрегли коэффициентом Стьюдента). Погрешность отдельного измерения можно оценить как

Для минимизации числа измерений используется последовательный анализ, т.е. такой способ статистической проверки гипотез, при котором необходимое число наблюдений

не фиксируется заранее, а определяется в процессе самой проверки. Во многих случаях для получения столь же обоснованных выводов применение надлежащим образом подобранного способа последовательного анализа позволяет ограничиться значительно меньшим числом наблюдений (в среднем, т.к. число наблюдений при последовательном анализе есть величина случайная), чем при способах, в которых число наблюдений фиксировано заранее.

Пусть задача состоит в выборе между гипотезами H1 и H2 по результатам независимых наблюдений. Гипотеза H1 заключается в том, что случайная величина Х имеет распределение вероятностей с плотностью f1(x), гипотеза H2 — в том, что Х имеет плотность f2(x). Для решения этой задачи поступают следующим образом. Выбирают два числа А и В

где x2 — результат второго наблюдения, и т.д. С вероятностью, равной единице, процесс оканчивается либо выбором H₁, либо выбором H2. Величины А и В определяются из условия, чтобы вероятности ошибок первого и второго рода(т. е. вероятность отвергнуть гипотезу H1, когда она верна, и вероятность принять H1, когда верна H2) имели заданные значения α1 и α2. Более подробную информацию можно найти в учебниках по математической статистике.

Источник

3.6. Определение необходимого количества измерений

Увеличение количества измерений (числа проб, образцов и т.п., как видно из выражений (3.18), (3.21) даже при неизменной их точности (s_x=const, S_x=const) может увеличить надежность доверительной оценки (P) или сузить доверительный интервал для определения действительного значения измеряемой величины (математического ожидания) d.

Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.п.) n для достижения требуемой точности d и заданной надежности Р можно определить заранее в том случае, когда известно действительное значение среднеквадратичного отклонения s_x, а экспериментальные данные (измерения) подчиняются нормальному закону распределения.

Действительно, при этих допущениях число измерений можно определить из выражения (3.18)

(3.37)

Таким образом, число измерений n определяется требуемой надежностью Р (доверительной вероятностью a) и относительным (по отношению к среднеквадратичному отклонению) значением доверительного интервала (s_x/d), т.е. требуемой точностью определения измеряемой величины. Так при Р=0,95, e(a)=1,96 и при d=s_x число измерений равно 4. При увеличении необходимой точности измерений в 2 раза, т.е. сужении доверительного интервала до величины d=(1/2)s_x, необходимое число измерений составит 16. Нетрудно заметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрастает в квадратичной зависимости.

Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (s_x) неизвестно, а имеется только ее оценка (S_x). В этом случае следует воспользоваться соотношением (3.21), т.е. критерием Стьюдента. Необходимое число измерений следует определять из следующего соотношения

(3.38)

При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что теоретическое значение критерия Стьюдента зависит не только от доверительной вероятности a, но и числа степеней свободы m, последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение (3.38) следует решать методом последовательных приближений.

В качестве начального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчитанных по формуле (3.37). Так, если решить последнее уравнение методом последовательных приближений, то можно показать, что при P=0,95 (a=0,05) для определения доверительного интервала с точностью d=S_x требуется 7 измерений, а с точностью d=0,5S_x – 19. С повышением необходимой точности различие в числе измерений, рассчитанных по соотношениям (3.37) и (3.38) уменьшается и, как показывают расчеты, при величине d£0,2S_x они практически совпадают.

В порядке упражнений постарайтесь определить, какое количество проб чугуна следует отобрать, чтобы повысить надежность доверительного интервала содержания кремния в чугуне до 0,99 и понизить до 0,90? Какое количество проб следует отобрать, чтобы при той же надежности повысить точность (сократить доверительный интервал) определения содержания кремния в чугуне в два раза? Необходимое количество измерений при различных значениях величины доверительного интервала d/S_x и d/s_x (в скобках) приведено в табл. 3.4.

Источник

Число измерений

ДИСЦИПЛИНА

Б.3.1.7 «Транспортная инфраструктура»

ТЕМА 9

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ РИСКА

Лекция 17

Учебные вопросы:

Законы распределения исследуемых параметров

Сравнение теоретических и эмпирических законов распределения

Законы распределения исследуемых параметров

Исследуемые по теории риска параметры состоят из геометрических и прочностных показателей автомобильных дорог. К геометрическим показателям относятся: радиусы кривых в плане и продольном профиле, расстояния видимости поверхности дороги и встречного автомобиля, ширина дорожного покрытия и другие. К прочностным и деформационным показателям относятся: сопротивление монолитных слоев изгибу и сопротивление несвязных слоев дорожной одежды сдвигу; эквивалентные модули упругости дорожных конструкций и модули упругости конструктивных слоев одежды.

Для вывода формул теории риска необходимо знать законы
распределения исследуемых геометрических и прочностных параметров. С целью установления фактических законов распределения геометрических параметров и прочностных показателей выполнены натурные обследования дорог Ульяновской области. Полевые работы выполнялись под руководством и при непосредственном участии автора.

Число измерений

Экспериментальные исследования, выполненные на автомобильных дорогах с I по IV категорию, включали в себя измерения ширины дорожного покрытия и обочин, радиусов кривых в плане и продольном профиле, ровности покрытий автомобильных дорог и прогибов конструкций нежестких дорожных одежд.

Необходимое количество измеряемых параметров определяли по выражению

, (2.5)

; (2.6)

Последовательность применения формулы (2.5) следующая. Производят не менее 15 измерений (n_изм = 15) исследуемого параметра С. Из полученного ряда измерений выбирают максимальное (С_max) и минимальное (C_min) значения. Определяют по зависимости (2.6) предварительное значение параметра σ. Задаются доверительной вероятностью (обычно принимают ее равной 95%) и по ней устанавливают требуемый коэффициент значимости t. Обосновывают допустимую (ожидаемую) точность ∆ среднего значения С_ср параметра С, то есть обосновывают точность неизвестной пока величины .

По формуле (2.5) определяют в первом приближении требуемое количество измерений n параметра С. Если полученное по формуле (2.5) число измерений n оказывается больше измеренного числа (n_изм) параметра С, то следует продолжить измерения этого параметра, но не менее чем на число k = n – n_изм. Из всего ряда измерений (которых уже k + n_изм штук) выбирают новые предельные значения С_max и C_min. Вычисляют по ним скорректированное значение параметра σ по зависимости (2.6) и по формуле (2.5) находят новое требуемое число измерений n. При n > k + n_изм измерения параметра С продолжают.

Требуемое математической статистикой число измерений n считается установленным, когда прекращается рост параметра С_max и уменьшение параметра C_min, то есть разброс С_max – C_min стабилизируется, что приводит к прекращению роста среднего квадратического отклонения σ и, следовательно, к конечному значению числа n (n = const). В этом случае произведенное число измерений будет больше или равно требуемому числу, которое установили по формуле (2.5).

Чем хуже выдержан геометрический параметр дороги С (чем больше его разброс), тем большее число измерений n требуется выполнять в процессе эксперимента.

Источник

Измерение

Измерение — совокупность операций для определения отношения одной (измеряемой) величины к другой однородной величине, принятой за единицу, хранящуюся в техническом средстве (средстве измерений). Получившееся значение называется числовым значением измеряемой величины, числовое значение совместно с обозначением используемой единицы называется значением физической величины. Измерение физической величины опытным путём проводится с помощью различных средств измерений — мер, измерительных приборов, измерительных преобразователей, систем, установок и т. д. Измерение физической величины включает в себя несколько этапов: 1) сравнение измеряемой величины с единицей; 2) преобразование в форму, удобную для использования (различные способы индикации).

Характеристикой точности измерения является его погрешность или неопределённость. Примеры измерений:

В тех случаях, когда невозможно выполнить измерение (не выделена величина как физическая, или не определена единица измерений этой величины) практикуется оценивание таких величин по условным шкалам, например, Шкала Рихтера интенсивности землетрясений, Шкала Мооса — шкала твёрдости минералов.

Наука, предметом изучения которой являются все аспекты измерений, называется метрологией.

Содержание

Классификация измерений

По видам измерений

Согласно РМГ 29-99 «Метрология. Основыне термины и определения» выделяют следующие виды измерений:

Также стоит отметить, что в различных источниках дополнительно выделяют таки виды измерений: метрологически и технические, необходимые и избыточные и др.

По методам измерений

По условиям, определяющим точность результата

По отношению к изменению измеряемой величины

Статические и динамические.

По результатам измерений

Классификация рядов измерений

По точности

По числу измерений

Классификация измеряемых величин

По точности

По результатам измерений

История

Единицы и системы измерения

См. также

Примечания

Литература и документация

Литература

Нормативно-техническая документация

Ссылки

Полезное

Смотреть что такое «Измерение» в других словарях:

ИЗМЕРЕНИЕ — представление свойств реальных объектов в виде числовой величины, один из важнейших методов эмпирического познания. В самом общем случае величиной называют все то, что может быть больше или меньше, что может быть присуще объекту в большей или… … Философская энциклопедия

Измерение X — Измерение Икс … Википедия

измерение — замер, обмер; вымеривание, установление, фиксирование, замеривание, распознавание, промер, диагностирование, смеривание, нахождение, обмеривание, определение Словарь русских синонимов. измерение см. установление 2 Словарь синонимов … Словарь синонимов

измерение — (в психологии) научный метод представления числами интересующего психического свойства или параметров психического процесса на основе нек рых процедурных правил. Совокупность теоретико математических представлений и процедурных правил,… … Большая психологическая энциклопедия

ИЗМЕРЕНИЕ — ИЗМЕРЕНИЕ, измерения, ср. 1. Действие по гл. измерить измерять. Измерение роста. 2. Измеряемая величина, протяжение (мат.). Куб имеет три измерения: длину, высоту и ширину. ❖ Четвертое измерение (ирон.) перен. сверхъестественная и бесплодно… … Толковый словарь Ушакова

ИЗМЕРЕНИЕ — последовательность эксперим. и вычислит. операций, осуществляемая с целью нахождения значения физ. величины, характеризующей нек рый объект или явление. И. завершается определением степени приближения найденного значения к истинному значению… … Физическая энциклопедия

ИЗМЕРЕНИЕ — ИЗМЕРЕНИЕ, действия, производимые с целью нахождения числовых значений какой либо величины в принятых единицах измерения. Измерение выполняют с помощью соответствующих средств измерения (линейка, часы, весы и т.д.). Различают прямые… … Современная энциклопедия

ИЗМЕРЕНИЕ — совокупность действий, выполняемых при помощи средств измерений с целью нахождения числового значения измеряемой величины в принятых единицах измерения. Различают прямые измерения (напр., измерение длины проградуированной линейкой) и косвенные… … Большой Энциклопедический словарь

измерение — Сравнение конкретного проявления измеряемого свойства (измеряемой величины) со шкалой (частью шкалы) измерений этого свойства (величины) с целью получения результата измерения (значения величины или оценки свойства). [МИ 2365 96] измерение… … Справочник технического переводчика

Измерение — ИЗМЕРЕНИЕ, действия, производимые с целью нахождения числовых значений какой либо величины в принятых единицах измерения. Измерение выполняют с помощью соответствующих средств измерения (линейка, часы, весы и т.д.). Различают прямые… … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Источник

N – число измерений.

с округлением;

Вычисляем СКО по формуле (6.9):

, (6.9)

Для суммирования систематической и случайной составляющей погрешностей рекомендуется следующий способ.

Если , то НСП Θ(Р) пренебрегают и окончательно принимают Є(Р) за погрешность результата измерения Δ(Ρ) при доверительной вероятности Р.

Если , то пренебрегают случайной погрешностью СКО – S(X) и принимают Δ (Р) = Θ (Р).

Если , то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляют по следующей комплексной формуле (6.10):

Δ =К(Р)⋅[Θ(Ρ)+ (Ρ)], (6.10)

где К_р=

Суммарный коэффициент g находим по формуле (6.11)

, (6.11)

Таблица 6.2 – Значения суммарного коэффициента

Обозначение величины	Значение величины
g	0,3	0,5	0,7	1,0	1,5	2,0	3,0	4,0	5,0
	1,00	0,80	0,75	0,72	0,71	0,72	0,75	0,79	0,82	0,85

Таблица 6.3 – Поправочный коэффициент

Исходя из расчёта и сравнив его по таблице 6.2, находим отношение:

, то доверительную границу погрешности результата измерений вычисляем по формуле (6.12)

, (6.12)

Случайная погрешность рассчитывается по формуле (6.13):

, (6.13)

Таблица 6.4– Значение функции Лапласа

(Р) = 1,414 · 0,017 = 0,024

Вывод по проведенной лабораторной работе:

Результат измерений можно записать в следующей форме:

Для более точных измерений было бы лучше выбрать рычажный микрометр МР 50 или индикаторную скобу СИ 50 с ценой деления 0,001 мм.

6.8 Варианты выполнения лабораторной работы:

Вопросы для самоконтроля

6.9.1 Какие вы знаете микрометрические инструменты?

6.9.2 Что называется измерением? Какие методы вы знаете?

6.9.З Что называется абсолютным методом измерения?

6.9.4 В чем сущность метода измерения трёх проволочек?

6.9.5 Устройство и назначение микрометра.

6.9.6 Перечислите погрешности, возникающие при измерении микрометром.

6.9.7 Порядок измерения среднего диаметра вала рычажным микрометром.

6.9.8 Сделайте выводы по работе, если бы при выборе СИ, был бы взят рычажный микрометр МР 50 с ценой деления 0,001 мм.

7 Лабораторная работа № 7 Измерения линейно-угловых величин штангенинструментом

Дата добавления: 2015-01-13 ; просмотров: 2077 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник