Чем обозначается угловая скорость
Есть два типа угловой скорости. Орбитальная угловая скорость относится к тому, насколько быстро точечный объект вращается вокруг фиксированного начала координат, то есть скорость изменения его углового положения относительно начала координат во времени. Угловая скорость вращения относится к тому, насколько быстро твердое тело вращается относительно своего центра вращения, и не зависит от выбора начала координат, в отличие от орбитальной угловой скорости.
СОДЕРЖАНИЕ
Орбитальная угловая скорость точечной частицы
Частица в двух измерениях
Частица в трех измерениях
Из приведенного выше уравнения можно восстановить тангенциальную скорость как:
Сложение векторов угловой скорости
Обратите внимание, что это также определяет вычитание как добавление отрицательного вектора.
Угловая скорость вращения твердого тела или системы отсчета
Учитывая вращающуюся систему координат из трех единичных векторов координат, все три должны иметь одинаковую угловую скорость в каждый момент времени. В такой системе отсчета каждый вектор можно рассматривать как движущуюся частицу с постоянным скалярным радиусом.
Если мы выберем точку отсчета, закрепленную в твердом теле, скорость любой точки в теле будет равна р <\ displaystyle <\ boldsymbol 
р ˙ <\ displaystyle <\ dot <\ boldsymbol
Компоненты из базисных векторов каркаса, закрепленного на теле
Обратите внимание, что эта формула несовместима с выражением
поскольку эта формула определяет только угловую скорость одной точки относительно O, а формула в этом разделе применяется к раме или твердому телу. В случае жесткого теле одного имеет для учета движения всех частиц в теле. ω <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>>>
Компоненты из углов Эйлера
Компоненты псевдовектора спиновой угловой скорости были впервые вычислены Леонардом Эйлером с использованием его углов Эйлера и использования промежуточной системы отсчета:
Эйлер доказал, что проекции псевдовектора угловой скорости на каждую из этих трех осей являются производной соответствующего угла (что эквивалентно разложению мгновенного вращения на три мгновенных вращения Эйлера ). Следовательно:
ω знак равно α ˙ ты 1 + β ˙ ты 2 + γ ˙ ты 3 <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> = <\ dot <\ alpha>> \ mathbf _ <1>+ <\ dot <\ beta>> \ mathbf _ <2>+ <\ точка <\ gamma>> \ mathbf _ <3>>
Этот базис не является ортонормированным и его сложно использовать, но теперь вектор скорости можно изменить на фиксированную систему отсчета или на подвижную систему отсчета, просто изменив основы. Например, переход на мобильный фрейм:
Тензор
Расчет по матрице ориентации
Вектор, совершающий равномерное круговое движение вокруг фиксированной оси, удовлетворяет: р <\ displaystyle \ mathbf
d р d т знак равно ω × р знак равно W ⋅ р <\ displaystyle <\ frac
(Это верно, даже если A ( t ) не вращается равномерно.) Следовательно, тензор угловой скорости равен:
Характеристики
Двойственность по вектору скорости
В трех измерениях угловая скорость может быть представлена псевдовектором, поскольку тензоры второго ранга двойственны псевдовекторам в трех измерениях. Поскольку тензор угловой скорости W = W ( t ) является кососимметричной матрицей :
Экспонента от W
Это уравнение можно проинтегрировать, чтобы получить:
W кососимметричный
Таким образом, W является отрицанием своего транспонирования, что означает, что он кососимметричен.
Бескординатное описание
Связь между этой линейной картой и псевдовектором угловой скорости следующая. ω <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>>>
( W р ) ⋅ s знак равно L ♯ ⋅ ( р ∧ s ) <\ Displaystyle (W \ mathbf = L ^ <\ sharp>\ cdot (\ mathbf )>
ω × р знак равно ⋆ ( ω ∧ р ) <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> \ times \ mathbf
Угловая скорость как векторное поле
Кроме того, можно показать, что векторное поле спиновой угловой скорости составляет ровно половину ротора линейного векторного поля скорости v ( r ) твердого тела. В символах
ω знак равно 1 2 ∇ × v <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> = <\ frac <1><2>> \ nabla \ times \ mathbf
Соображения по поводу жесткого тела
Чтобы получить уравнения, удобно представить твердое тело, прикрепленное к каркасам, и рассмотреть систему координат, фиксированную по отношению к твердому телу. Затем мы изучим преобразования координат между этой координатой и фиксированной «лабораторной» системой.
Взяв производную по времени, получаем скорость частицы:
Подставляя ω для W в приведенном выше выражении скорости, и заменяя матричное умножение на эквивалентное векторное произведение:
Последовательность
Мы предположили, что твердое тело вращается вокруг произвольной точки. Мы должны доказать, что ранее определенная угловая скорость вращения не зависит от выбора начала координат, что означает, что угловая скорость вращения является внутренним свойством вращающегося твердого тела. (Обратите внимание на заметный контраст этого с орбитальной угловой скоростью точечной частицы, которая, безусловно , зависит от выбора начала координат.)
Вышеупомянутые два дают, что
ω 1 знак равно ω 2 <\ displaystyle <\ boldsymbol <\ omega>> _ <1>= <\ boldsymbol <\ omega>> _ <2>>
iSopromat.ru
Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела:
Угловая скорость
Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени.
Обозначение: ω (омега).
Формулы угловой скорости
Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:
Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:
Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость
Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:
Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.
Угловое ускорение
Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела:
Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.
Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.
Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:
В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это 2π радиан:
Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах
Все об угловой скорости — определение, единица измерения, методы расчета
Что такое угловая скорость
Угловая скорость (обозначается как \(\omega\) ) — векторная величина, характеризующая скорость и направление изменения угла поворота со временем.
Модуль угловой скорости для вращательного движения совпадает с мгновенной угловой частотой вращения, а направление перпендикулярно плоскости вращения и связано с направлением вращения правилом правого винта.
Единица измерения
В Международной системе единиц (СИ) принятой единицей измерения угловой скорости является радиан в секунду (рад/с)
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Формула угловой скорости
Зависимость угловой скорости от времени
Зависимость \(\varphi \) от \(\mathcal t\) наглядно показана на графике:
Угол, на который повернулось тело, характеризуется площадью под кривой.
Угловая скорость вращения, формула
Через частоту
\(\mathcal n\) — частота вращения \((1/с)\)
\(\pi\) — число Пи ( \(\approx 3,14\) )
\(T \) — период вращения (время, за которое тело совершает один оборот)
Через радиус
\(v\) — линейная скорость(м/с)
\(R\) — радиус окружности (м)
Как определить направление угловой скорости
Направление скорости в физике можно определять двумя способами:
Связь линейной и угловой скорости
Линейная скорость \((v)\) тела, расположенного на расстоянии \(R\) от оси вращения, прямо пропорциональна угловой скорости.
\(R\) — радиус окружности (м)
Чему равна мгновенная угловая скорость
Мгновенную угловую скорость нужно находить как предел, к которому стремится средняя угловая скорость при \(\triangle\mathcal t\rightarrow0\) :
Угловая скорость
градус/с, оборот/с, оборот/мин
Углова́я ско́рость — векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:
,
а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.
Единица измерения угловой скорости, принятая в системах СИ и СГС — радианы в секунду. (Примечание: радиан, как и любые единицы измерения угла, — физически безразмерен, поэтому физическая размерность угловой скорости — просто [1/секунда]). В технике также используются обороты в секунду, намного реже — градусы в секунду, грады в секунду. Пожалуй, чаще всего в технике используют обороты в минуту — это идёт с тех времён, когда частоту вращения тихоходных паровых машин определяли просто «вручную», подсчитывая число оборотов за единицу времени.
Вектор (мгновенной) скорости любой точки (абсолютно) твердого тела, вращающегося с угловой скоростью 
, определяется формулой:
где 
— радиус-вектор к данной точке из начала координат, расположенного на оси вращения тела, а квадратными скобками обозначено векторное произведение. Линейную скорость (совпадающую с модулем вектора скорости) точки на определенном расстоянии (радиусе) 
от оси вращения можно считать так: 
Если вместо радианов применять другие единицы углов, то в двух последних формулах появится множитель, не равный единице.
Связь с конечным поворотом в пространстве
См. также
Литература
Полезное
Смотреть что такое «Угловая скорость» в других словарях:
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота j за промежуток времени Dt, а в общем случае w=dj/dt. Вектор У.… … Физическая энциклопедия
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, скорость изменения угловой позиции предмета относительно фиксированной точки. Средняя величина угловой скорости w предмета, движущегося от угла q1 до угла q2 за время t выражается как (q2 q1)w)/t. Мгновенной угловой скоростью… … Научно-технический энциклопедический словарь
УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ — УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ, величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости w=Dj/Dt, где Dj приращение угла поворота за промежуток времени Dt … Современная энциклопедия
угловая скорость — Кинематическая мера вращательного движения тела, выражаемая вектором, равным по модулю отношению элементарного угла поворота тела к элементарному промежутку времени, за который совершается этот поворот, и направленным вдоль мгновенной оси… … Справочник технического переводчика
угловая скорость — векторная величина, характеризующая быстроту вращения твердого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси абсолютная величина его угловой скорости ω = Δφ/Δt, где Δφ приращение угла поворота за промежуток времени Δt. * * * УГЛОВАЯ … Энциклопедический словарь
угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Automatikos terminų žodynas
угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Vektorinis dydis, lygus kūno pasisukimo kampo pirmajai išvestinei pagal laiką: ω = dφ/dt; čia dφ – pasisukimo kampo pokytis, dt – laiko tarpas. Kai kūnas sukasi tolygiai … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas
угловая скорость — kampinis greitis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. angular speed; angular velocity vok. Winkelgeschwindigkeit, f rus. угловая скорость, f pranc. vitesse angulaire, f … Fizikos terminų žodynas
Угловая скорость — величина, характеризующая быстроту вращения твёрдого тела. При равномерном вращении тела вокруг неподвижной оси численно его У. с. ω =Δφ/ Δt, где Δφ приращение угла поворота φ за промежуток времени Δt. В общем случае У. с. численно равна… … Большая советская энциклопедия
Формула угловой скорости
Определение и формула угловой скорости
Круговым движением точки вокруг некоторой оси называют движение, при котором траекторией точки является окружность с центром, который лежит на оси вращения, при этом плоскость окружности перпендикулярна этой оси.
Вращением тела вокруг оси называют движение, при котором все точки тела совершают круговые движения около этой оси.
Вектор угловой скорости может претерпевать изменения как за счет изменения скорости вращения тела вокруг оси (изменение модуля угловой скорости), так и за счет поворота оси вращения в пространстве ($\bar<\omega>$ при этом изменяет направление).
Равномерное вращение
Если тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол, то такое вращение называют равномерным. При этом модуль угловой скорости находят как:
Равномерное вращение часто характеризуют при помощи периода обращения (T), который является временем, за которое тело производит один оборот ($\Delta \varphi=2 \pi$). Угловая скорость связана с периодом обращения как:
С числом оборотов в единицу времени ($\nu) угловая скорость связана формулой:
Понятия периода обращения и числа оборотов в единицу времени иногда используют и для описания неравномерного вращения, но понимают при этом под мгновенным значением T, время за которое тело делало бы один оборот, если бы оно вращалось равномерно с данной мгновенной величиной скорости.
Формула, связывающая линейную и угловую скорости
Единицы измерения угловой скорости
Основной единицей измерения угловой скорости в системе СИ является: [$\omega$]=рад/с
Примеры решения задач
Решение. Для нахождения модуля угловой скорости применим формулу:
Вычислим, чему будет равна угловая скорость в заданный момент времени (при t=0,5 c):
Ответ. В заданный момент времени тело имеет угловую скорость равную нулю, следовательно, она останавливается.
Формула угловой скорости не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Скорости вращения тела заданы системой уравнений:
Модуль угловой скорости связан с углом поворота как:
Следовательно, угол поворота найдем как: