Чем обозначается луч в геометрии 7 класс

Чем обозначается луч в геометрии 7 класс

Построим прямую АВ

(прямая обозначена двумя большими латинскими буквами, например, А и В)

Отметим на прямой АВ точку О

Точка О разбивает прямую АВ на две части (влево от точки О и вправо от точки О)

Части, на которые точка О разбивает прямую АВ, выделены цветом

Каждая из этих частей называется лучом, а точка О является началом одного и другого луча

Назовем получившиеся лучи:

Луч является геометрической фигурой

Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны

Луч имеет начало, но не имеет конца

Другой способ обозначений

Построим прямую m

(прямая обозначена малой латинской буквой, например, m)

Точка О разбивает прямую m на два луча

Назовем получившиеся лучи

Варианты обозначения лучей

Луч ОВ (обозначение двумя большими латинскими буквами)

Луч ОВ (обозначение двумя большими латинскими буквами)

Луч k (обозначение малой латинской буквой)

Начало луча обозначено буквой О

Луч k (обозначение малой латинской буквой)

Начало луча не обозначено буквой (только отмечено точкой)

Дополнительные лучи

Лучи ОА и ОВ принадлежат одной прямой АВ

Лучи ОА и ОВ имеют общее начало (точка О)

Лучи ОА и ОВ противоположно направлены

При таких условиях лучи ОА и ОВ называются дополнительными

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Как обозначить луч в геометрии?

Впервые термин «луч» использовал в 1833 году швейцарский учёный Якоб Штейнер. Для его определения потребуется на плоскости поставить точку. Из неё должна исходить часть прямой, которая состоит из множества точек, расположенных по одну сторону от первоначальной.

Само понятие «точка» считается абстрактным объектом, который не имеет высоты, радиуса, длины, сторон, угла. В задачах важно её местоположение на плоскости либо полуплоскости.

Луч в математике — определение, форма и свойства

Трактовка понятий

На чертеже она обозначается заглавной латинской буквой. Чтобы различить несколько точек, на рисунке используется несколько букв. Можно вводить числовое обозначение. В отличие от луча, отрезок считается частью прямой, ограниченной двумя точками на концах. Множество точек образует линию, у которой нет толщины и ширины. На плоскости можно начертить следующие её виды:

Линии пересекаются, если имеют одну общую точку. Чтобы они были перпендикулярны друг другу, между ними должен образовываться угол в 90 градусов. При параллельности части прямой не могут скрещиваться.

К особым формам луча относится ломаная. Она состоит из последовательно соединенных отрезков (звенья) под углом, отличным от 180°. Смежные звенья находятся на разных прямых.

У ломаной есть вершины. Они могут обозначаться с помощью латинских заглавных букв. Их нельзя править на маленькие. Сама вершина считается точкой, откуда начинается одна ломаная и заканчивается другая. Основным примером замкнутой линии является многоугольник. Его стороны представлены в виде звеньев.

Описание лучей

В геометрических задачах встречаются дополнительные лучи. Чтобы их начертить, потребуется отобразить на плоскости прямую, разделённую точкой на две полупрямые. Каждая часть является дополнительной относительно другой. Свойства лучей:

Дополнительные лучи могут дополнять друг друга до прямой. Отдельно рассматриваются совпадающие лучи. Если их наложить друг на друга, они совпадут. Для них характерна равная длина.

Чтобы отметить лучи на рисунке, используются порядковые номера. Незамкнутый открытый луч состоит из точек, находящихся по одну сторону относительно проведённой линии. Для его обозначения используется строчная латинская буква либо две заглавные.

Одна точка является началом, а вторая размещается на самом луче. В основе такой фигуры находятся полупрямые. Если в условиях задачи дана линия, формула выглядит следующим образом: (АB). Отрезок записывается в квадратных скобках.

Принципы классификации

Так как луч является частью прямой, поэтому через любую его точку проводится множество прямых, но только через две несовпадающие проходит одна прямая. Луч можно изобразить в нескольких вариантах: пересечение, скрещивание и параллельность.

Чтобы задать луч на плоскости, используется линейное уравнение. Фигуры называются разными способами и с помощью знаков. Можно провести полупрямую «О». Её начальная точка считается исходной и другой не существует. Другой способ записи — использование нескольких букв в середине либо в иных частях линии.

Если в задаче дана прямая, её можно обозначить двумя буквами, размещёнными в разных её частях, к примеру, (АB).

Третий метод обозначения: точка «О» находится с некоторым отступом от начала. Центральную часть можно назвать буквой К. В таком случае весь луч будет называться ОК.

Если нужно начертить продолжение к прямой, понадобится отметить на чертеже линию и точку, которая будет считаться производной. С помощью последней фигуры делится первая на 2 линии, которые не пересекаются между собой. Чтобы обозначить продолжение, рисуется линия карандашом.

Она будет иметь общее начало с основополагающей, но не будет совпадать с ней. Из т. О проводится прямая, не располагающаяся на дополняющих, но имеющая с ними одно общее начало. На новом луче отмечается т. В. На продолжении лежит отрезок ОВ.

Неразвернутый угол является случаем луча. Если стороны первой фигуры представлены в виде дополнительных полупрямых одной прямой, тогда угол является развёрнутым. Его значение равняется 180 градусов. Если значение угла иное, тогда он неразвернутый.

Следует отличать геометрические лучи от световых. В математике фигура представлена в виде линии, у которой нет ничего общего с энергией. Для световых лучей характерно несконцентрированное направление, дефракция (переломанный). Но при сильном потоке света наблюдается их чёткое направление.

Аксиомы и доказательства

Свойства лучей определяются аксиомами. Положение 1: на любом луче от начала можно отложить отрезок определённой длины, и только один.

Доказательство: если на линии от начала А отложить 2 равных отрезка АВ и АС, тогда точки С и В совпадут. В и А не лежат на прямой, а находятся с одной стороны от неё. Если отрезок АВ не пересекает эту прямую, тогда множество точек, лежащих с единой стороны от прямой, называется полуплоскостью. При доказательстве положения 1 следует ориентироваться на определение луча.

Аксиома: прямая разделяет плоскость на 2 полуплоскости. Следствие: если D и С находятся в различных полуплоскостях от прямой а, тогда отрезок DC пересекает а. Из этого вытекает теорема: A, B, O, C расположены на прямой а таким образом, что А и В находятся с одной стороны от т. О, т. С и В — с одной стороны от О. При этом А и С размещены с одной стороны от О.

Доказательство: нужно провести через О прямую b, которая отлична от а. Она будет разбивать плоскость на 2 полуплоскости. На одной из них находится т. В. Так как отрезки BC и AB не пересекают прямую b, поэтому точки А и С находятся в одной полуплоскости с В. Отрезок АС не пересекает b. На нём не находится т. О. От неё по одну сторону размещены т. А и С.

Предположение: если O, A, B, C принадлежат прямой а, при этом А находится между В и О, тогда А лежит между О и С. По одну сторону от О находятся три точки А, B и C.

Доказательство: так как по условию т. А находится между О и В, поэтому А и В лежат по одну сторону от О. По второму условию В и С лежат по эту же сторону от О. Исходя из теоремы 1, А, В и С лежат по одну сторону от т. О.

Теорема: если O, A, B, C принадлежат одной линии а, т. А лежит между В и О, а т. В между О и С, тогда В находится между А и С.

Доказательство: выдвигается предположение, что из условия теоремы заключение не следует. Точка В не находится между А и С. По свойству взаиморасположения A, B, C, точки А и С лежат по одну сторону от В.

По предположению следует, что они лежат по одну сторону от О, либо A, C, O лежат по одну сторону от B. Это противоречит условию: О и С находятся по разные стороны от В, либо А и С размещены по иную сторону от В, в отличие от т. О.

Подобное противоречит условию принадлежности А отрезку ОВ. Такое противоречие показывает, что предположение о т. В, не лежащей между А и С, неверное. Следовательно, точка В находится между А и С, что доказывает теорему. При решении геометрических задач, связанных с плоскостью и фигурами на ней, учитываются основные теоремы, доказанные учеными за всю историю математики.

Что такое луч в математике и геометрии

Чаще всего этот вопрос задают в школах, на уроках геометрии, а также понятие достаточно популярно в оптике. Однако, как это часто бывает, слово имеет довольно много значений. Стоит подробнее остановиться на самых ключевых.

Для того, чтобы понять, что такое луч с точки зрения геометрии, нужно рассмотреть одно из фундаментальных понятий этой науки, а именно – прямую.

Дать определение этому термину достаточно трудно, так как оно является одним из исходных, и именно с помощью прямой объясняются другие различные слова. Существует довольно мало аксиом в этом вопросе. Тем не менее, прямую можно трактовать как линию, находящуюся между двумя точками.

Прямая имеет свои свойства, согласно евклидовой геометрии.

Через любую точку можно провести сколько угодно прямых, а вот через две несовпадающие точки – лишь одну. Прямые могут находиться лишь в трех состояниях – они могут пересекаться, быть параллельными друг другу, а также могут скрещиваться. Существует линейное уравнение, задающее прямую на плоскости.

Итак, стоит вернуться к понятию луча. Он является частью прямой. Если на такой линии поставить точку, то автоматически получится два луча, при этом они не будут иметь второй ограничивающей их точки. Таким образом, луч – это часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца.

Геометрическая оптика рассматривает понятие светового луча довольно схожим образом. Здесь он тоже будет являться линией, однако она будет использоваться световой энергией. Иначе говоря, световой луч – это небольшой пучок света.

Как и понятие прямой в геометрии, так и понятие луча в оптике является довольно базовым явлением. Однако, в отличие от геометрического луча, световой не имеет какого-то четкого направления, так как происходит дифракция. Однако, если свет очень большой, то расходимостью принято пренебрегать. В этом случае можно выделить четкое направление.

Помимо базовых терминов в точных науках, этим словом обозначают самые разнообразные объекты. Например, около семи спортивных клубов носили такое название, а некоторые из них существуют до сих пор.

Множество деревень, поселков и хуторов на территории России, Украины и Белоруссии тоже называются Лучами. От них не отстают и суда – причем в этом случае Луч является маркой пассажирских судов, а также целым классом яхт.

Эти яхты являются одноместными и используются для гонок. Часто их применяют в качестве обучающего снаряда для детей, однако на нем проводятся и соревнования.

Существуют и другие значения:

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Луч – часть прямой, состоящая из всех точек, лежащих по одну сторону от заданной точки и той точки, которая является началом луча.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Стороны угла – лучи, из которых состоит угол.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы уже познакомились с некоторыми геометрическими понятиями: прямая, точка, отрезок. Сегодня мы рассмотрим ещё два понятия, часто встречающиеся в геометрии – это луч и угол.

Для начала, вспомним, как строятся и обозначаются лучи и углы.

Для этого проведём прямую а, отметим на ней точкуО, которая разделит прямую на две части. Эти части прямой называются лучами, исходящими из точки О. А сама точка О, называется началом каждого из лучей.

Луч принято обозначать как одной малой латинской буквой, например, а.

Или двумя большими латинскими буквами, например, ОА.

При этом стоит помнить, что первая буква всегда обозначает начало луча, а вторая– это любая точка на луче.

Теперь рассмотрим понятие угол.

Начнём с определения.

Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Лучи – это стороны угла.

В данном случае, это стороны ОА и ОВ.

Общее начало сторон, в данном случае О – это вершина угла.

Углы принято обозначать как двумя малыми латинскими буквами, по названию сторон угла, например, ∠hk,

так и тремя большими латинскими буквами, например, тот же угол можно обозначить ∠АОВ, где вершина угла будет стоять в середине обозначения угла.

Или одной большой латинской буквой, обозначающей вершину угла. Например, тот же угол можно обозначить буквой∠О, по вершине угла.

Далее введём понятия, связанные с углами.

Во-первых, рассмотрим угол, который называют развёрнутым, его обе стороны лежат на одной прямой. Например, ∠С– развёрнутый.

В дальнейшем будем рассматривать углы меньше развёрнутого.

Угол также рассматривается как часть плоскости, ограниченная двумя лучами с общим началом.

Во-вторых, плоскость, на которой изображён любой угол, кроме развёрнутого, делится на две области: внутреннюю и внешнюю.

В развёрнутом углу, любая часть считается внутренней.

На рисунке изображён угол. Какие из точек лежат внутри угла и вне его?

Внутри угла лежат точки: М, Е, К.

Вне угла лежат точки: Р, D, N.

Отметим, что точкиВ и С лежат на сторонах углаО.

Продолжая изучать углы, отметим, что если внутри угла из его вершины провести луч, то он разделит угол на два угла.

Например, луч ОС делит ∠АОВ на два угла – ∠ВОС и ∠АОС.

Итак, сегодня мы повторили некоторые сведения о луче и углах; сформировали представления о внутренней и внешней областях угла, меньше развернутого, познакомились с различными обозначениями луча и угла.

Материал для углубленного изучения

Мы разобрали понятие угол, связанное с планиметрией. Но как отмечалось ранее, у геометрии есть ещё один раздел – стереометрия, который изучается в старших классах. Этот раздел изучает пространственные фигуры, одна из таких фигур–двугранный угол. Дадим ему определение: двугранный угол – пространственнаягеометрическая фигура, образованная двумяполуплоскостями, исходящими из одной прямой, а также часть пространства, ограниченная этими полуплоскостями. Двугранный угол имеет стороны (иначе их называют грани), это полуплоскости α и β, и ребро, в данном случае это прямая АВ. Как измерить такие углы и их разновидности, вы узнаете в курсе геометрии 10 класса.

№ 1. Какие из точек лежат на стороне угла?

Посмотрите на рисунок. На нём изображён угол ВОС, соответственно точки B и C лежат на сторонах угла, других точек нет.

№ 2. Сколько углов изображено на рисунке?

Решение. Перечислим все углы, изображённые на рисунке.

СОВ, ВОА, АОD, DОС и развёрнутые углы СОА и DОВ. Получается 8 углов.

Источник

Чем обозначается луч в геометрии 7 класс

Луч — это часть прямой линии, расположенная по одну сторону от любой точки, лежащей на этой прямой. Луч также называется полупрямой.

Любой луч имеет начало и направление. Начало луча, начальная точка или вершина луча — это точка, из которой исходит луч. Таким образом, у луча есть начало, но нет конца.

Рассмотрим три луча с общим началом:

Дополнительные лучи

Любая точка, лежащая на прямой линии, делит эту прямую на две полупрямые, то есть на две части. Каждая из этих частей будет называться дополнительным лучом относительно второго луча:

Дополнительные лучи — это лучи, имеющие общее начало, противоположные направления и лежащие на одной прямой. Также можно сказать, что дополнительными называются лучи, дополняющие друг друга до прямой линии.

Обозначение лучей

Луч обозначают одной строчной латинской буквой:

Также луч можно обозначить двумя точками, лежащими на нём:

При обозначении луча двумя точками, на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча, а на втором — буква, обозначающая какую-либо другую его точку: луч BC.

Посмотрим на следующий пример:

Луч с началом в точке A можно обозначить как AB или AC.

Источник

Плоскость, прямая линия, луч

Плоскость в математике можно сравнить с другими плоскостями, которые окружают нас в повседневной жизни: школьная доска, лист бумаги, экран планшета или смартфона и т.д. На них мы можем легко обозначить точки и линии, которые мы изучали на предыдущем уроке. На школьной доске мы это делаем мелом или фломастером, на листе бумаги можем нарисовать их ручкой, карандашом, фломастером; когда мы прокручиваем окно сайта или приложения на смартфоне, мы проводим на экране пальцем линию, когда переходим по ссылкам – ставим на его плоскости точку.

Но эти примеры плоскостей из жизни имеют свои размеры и границы, они конечные, их можно измерять.

Плоскость – это воображаемая абсолютно ровная и неизменяемая поверхность, которая не имеет толщины, но обладает бесконечными длиной и шириной.

Плоскость нельзя измерять, потому что она бесконечная.

Плоскость нельзя согнуть, в каком бы положении она ни находилась.

Все объекты и фигуры, которые изучаются в курсе математики 5 класса, находятся на плоскости.

Прямая линия

Прямая линия – абсолютно ровная линия, которая длится бесконечно в обе стороны, и на всем ее протяжении не изгибается и не преломляется.

Обозначение прямой

Например, на рисунке 1 обозначены такие прямые:

Рис. 1 Обозначение прямой линии

Рис. 2 Обозначение прямой с несколькими точками

Некоторые свойства прямой

Две точки, лежащие на одной прямой, создают отрезок этой прямой.

Через две любые точки на плоскости можно провести единственную прямую.

Рис. 3 Отрезок на прямой

Две разные прямые могут пересекаться или не пересекаться.

Две прямые пересекаются в том случае, если у них есть общая точка.

Рис. 5 Пересечение прямых

Более подробно об этих и других свойствах прямой написано в уроке геометрии 7 класса.

Луч – это часть прямой, которая начинается в определенной точке и длится бесконечно в одну сторону.

Рис. 6 Деление прямой линии точкой

У луча есть начало, но нет конца. От прямой луч отличается тем, что луч бесконечно продолжается только в одну сторону.

Свое название этот математический объект получил по аналогии с лучом света, который имеет начало (источник света), но определенного конца у него нет.

Обозначение луча

Луч, как и прямую, обозначают двумя способами.

Рис. 7 Обозначение луча

На рисунке 2 приведены примеры обозначения луча:

Луч имеет второе название – полупрямая.

Рис. 8 Дополнительные друг другу и совпадающие лучи

На рисунке 8 видно, что:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 4.6 / 5. Количество оценок: 22

Источник