Что такое rsa шифрование

Что такое rsa шифрование

Криптосистема [math]\mathtt[/math] стала первой системой, пригодной и для шифрования, и для цифровой подписи.

Содержание

Реализация [ править ]

Алгоритм [math]\mathtt[/math] включает в себя четыре этапа: генерация ключей, передача ключей, шифрование и расшифрование.

Криптографические системы с открытым ключом используют так называемые односторонние функции.

Под односторонностью понимается не теоретическая однонаправленность, а практическая невозможность вычислить обратное значение, используя современные вычислительные средства, за обозримый интервал времени.

Создание открытого и секретного ключей [ править ]

Передача ключей [ править ]

Шифрование [ править ]

Расшифрование [ править ]

Корректность схемы [math]\mathtt[/math] [ править ]

Действительно, для [math]\forall m \in \mathbb_[/math]

Возможны два случая:

где второе тождество следует из теоремы Ферма.

[math]m^ \equiv 0 \pmod

\equiv m \pmod

[/math]

Таким образом, при всех [math]m[/math] выполняется равенство

[math]m^ \equiv m \pmod

[/math]

Аналогично можно показать, что:

[math]\forall m \in \mathbb_: m^ \equiv m \pmod[/math][math]\triangleleft[/math]

Криптографическая стойкость [ править ]

Стойкость алгоритма основывается на сложности вычисления обратной функции к функции шифрования

[math]e \cdot d \equiv 1 \pmod<\varphi(n)>,[/math]

Применение [ править ]

Система [math]\mathtt[/math] используется для защиты программного обеспечения и в схемах цифровой подписи. Также она используется в открытой системе шифрования PGP [1] и иных системах шифрования (к примеру, DarkCryptTC [2] и формат xdc [3] ) в сочетании с симметричными алгоритмами.

Наиболее используемым в настоящее время является смешанный алгоритм шифрования, в котором сначала шифруется сеансовый ключ, а потом уже с его помощью участники шифруют свои сообщения симметричными системами. После завершения сеанса сеансовый ключ, как правило, уничтожается.

Алгоритм шифрования сеансового ключа выглядит следующим образом:

Шифрование [ править ]

Расшифрование [ править ]

Минусы [ править ]

Алгоритм [math]\mathtt[/math] намного медленнее, чем AES [4] и другие алгоритмы, использующие симметричные блочные шифры.

При неправильной или неоптимальной реализации или использовании алгоритма возможны специальные криптографические атаки, такие как атаки на схемы с малой секретной экспонентой или на схемы с общим выбранным значением модуля.

Источник

Иллюстрация работы RSA на примере

Вокруг алгоритмов шифрования с отрытым и закрытым ключом существует множество недопониманий и мистификаций. Здесь я хотел бы предельно коротко и наглядно, с конкретными числами и минимумом формул, показать, как это работает.

Я не вдаюсь в теорию (не очень понятно, на какой уровень подготовки читателя следует рассчитывать), но я уверен, что прочитав эту короткую иллюстрацию, любому человеку будет проще разобраться в формулах и строгих доказательствах.

Итак. Допустим, я хочу получить от вас некие данные. Мы с вам не хотим, чтобы эти данные узнал кто-то, кроме нас. И у нас нет никакой уверенности в надёжности канала передачи данных. Приступим.

Шаг первый. Подготовка ключей

Я должен проделать предварительные действия: сгенерировать публичный и приватный ключ.

Теперь пара чисел — это мой открытый ключ. Я отправляю его вам, чтобы вы зашифровали своё сообщение. Но для меня это ещё не всё. Я должен получить закрытый ключ.

Шаг второй. Шифрование

Строго говоря, вам вовсе незачем вычислять огромное число «19 в степени 5». При каждом умножении достаточно вычислять не полное произведение, а только остаток от деления на 21. Но это уже детали реализации вычислений, давайте не будем в них углубляться.

Шаг третий. Расшифровка

Я получил ваши данные ( E=10 ), и у меня имеется закрытый ключ = <17, 21>.

Обратите внимание на то, что открытый ключ не может расшифровать сообщение. А закрытый ключ я никому не говорил. В этом вся прелесть асимметричного шифрования.

Заметьте, никто, кроме меня (даже вы!) не может расшифровать ваше сообщение ( E=10 ), так как ни у кого нет закрытого ключа.

В чём гарантия надёжности шифрования

Постараюсь это показать на примере. Давайте разложим на множители число 360:

Мы на каждом шагу, практически без перебора, получали всё новые и новые множители, легко получив полное разложение 360=2×2×2×3×3×5

Давайте теперь возьмём число 361. Тут нам придётся помучиться.

При использовании больших чисел, задача становится очень сложной. Это позволяет надеяться, что у взломщика просто не хватит вычислительных ресурсов, чтобы сломать ваши шифр за обозримое время.

А как это всё работает на практике?

Многие читатели спрашивают, как всё это применяется на практике. Давайте рассмотрим чуть более приближенный к жизни пример. Зашифруем и расшифруем слово «КРОТ», предложенное одним из читателей. А заодно, бегло рассмотрим, какие проблемы при этом встречаются и как они решаются.

Сперва сгенерируем ключи с чуть бо́льшими числами. Они не так наглядны, но позволят нам шифровать не только числа от нуля до 20.

Оттолкнёмся от пары простых чисел= <17, 19>. Пусть наш открытый ключ будет = <5, 323>, а закрытый = <173, 323>.

Мы готовы к шифрованию. Переведём наше слово в цифровое представление. Мы можем взять просто номера букв в алфавите. У нас получится последовательность чисел: 11, 17, 15, 19.

Мы можем зашифровать каждое из этих чисел открытым ключом = <5, 323>и получить шифровку 197, 272, 2, 304. Эти числа можно передать получателю, обладающему закрытым ключом = <173, 323>и он всё расшифрует.

Немного о сложностях

На самом деле, изложенный способ шифрования очень слаб и никогда не используется. Причина проста — шифрование по буквам. Одна и та же буква будет шифроваться одним и тем же числом. Если злоумышленник перехватит достаточно большое сообщение, он сможет догадаться о его содержимом. Сперва он обратит внимание на частые коды пробелов и разделит шифровку на слова. Потом он заметит однобуквенные слова и догадается, как кодируются буквы «a», «и», «o», «в», «к»… Путём недолгого перебора, он вычислит дополнительные буквы по коротким словам, типа «но», «не», «по». И по более длинным словам без труда восстановит все оставшиеся буквы.

Таким образом, злоумышленнику не придётся отгадывать ваши секретные ключи. Он взломает ваше сообщение, не зная их.

Чтобы этого не происходило, используются специальные дополнительные алгоритмы, суть которых в том, что каждая предыдущая часть сообщения начинает влиять на следующую.

Последовательность (11, 28, 43, 62) получается «запутанной». Все буквы в ней как бы перемешаны, в том смысле, что на каждый код влияет не одна буква, а все предыдущие.

На практике, в исходное сообщение специально добавляются случайные и бессмысленные буквы в начало. Чтобы даже по первому коду было невозможно ничего понять. Получатель просто отбрасывает начало сообщения.

То есть мы можем добавить случайное число в начало и получить (299, 11, 17, 15, 19). После перемешивания получится: 299, 310, 4, 19, 38. После шифрования уже невозможно будет догадаться где была какая буква.

В реальной жизни всё ещё немного сложнее. Блоки, на которые бьётся сообщение длиннее одной буквы. Поэтому, сперва применяются алгоритмы выравнивания, потом алгоритмы разбиения на блоки с перепутыванием, и только потом применяется само RSA-шифрование.

Получатель делает всё в обратном порядке: расшифровывает, «распутывает» блоки и отбрасывает ненужную информацию, добавленную просто для выравнивания (чтобы сообщение можно было разбить на целое число блоков).

Детали и принципы формирования блоков можно почитать тут. Я же в этой заметке хотел рассказать только про RSA. Надесь, удалось.

Источник

RSA, а так ли все просто?

Прелюдия

Немного теории

Для того чтобы понять почему крайне не рекомендуется использовать RSA в его наиболее простой форме сперва отметим следующее требование, выдвигаемое к асимметричным криптосистемам.
Требование 1:
Современная асимметричная криптосистема может(но это еще не факт) считаться стойкой, если злоумышленник, имея два открытых текста M₁ и M₂, а также один шифротекст C_b не может с вероятностью большей, чем 0.5 определить какому из двух открытых текстов соответствует шифротекст C_b.
Посмотрим, удовлетворяет ли RSA данному требованию. Итак, представим, злоумышленник Мэлори прослушивает переписку Алисы и Боба. В один чудесный для себя день он видит, что Боб в открытом виде задал Алисе очень важный вопрос, знание ответа на который обогатит, ну или, по крайней мере, безмерно потешит любопытство Мэлори. Алиса односложно отвечает Бобу на этот вопрос личного характера. Она шифрует свой ответ открытым ключом Боба и отправляет шифротекст. Далее Мэлори перехватывает шифротекст и подозревает, что в нем зашифровано либо «Да», либо «Нет». Всё, что ему теперь нужно сделать для того чтобы узнать ответ Алисы это зашифровать открытым ключом Боба слово «Да» и если полученный криптотекст совпадет с перехваченным, то это означает, что Алиса ответила «Да», в противном же случает злоумышленник поймет, что ответом было «Нет».

Как видно из этого, пускай несколько надуманного, но все же не столь и утопичного примера, RSA не столь надежна как это принято считать. Да конечно, можно сказать, что Алиса сама дура и никто ее не просил отвечать на такой серьезный для нее вопрос односложно. Так что же теперь запретить использование односложных ответов в криптографии? Конечно, нет. Все не так плохо, достаточно чтобы алгоритм добавлял к тексту некоторую случайную информацию, которую бы невозможно было предугадать и коварный Мэлори будет бессилен. Ведь, в самом деле, не сможет же он предсказать, что ответ «Да» после обработки алгоритмом превратится, например, в «Да4FE6DA54», а следовательно и зашифровать это сообщение он не сможет и нечего ему будет сравнивать с перехваченным криптотекстом.

Таким образом, уже сейчас можно сказать, что RSA во всех своих проявлениях будь то PGP или SSL не шифрует только отправленные на вход шифрующей функции данные. Алгоритм сперва добавляет к этим данным блоки содержащие случайный набор бит. И только после этого полученный результат шифруется. Т.е. вместо привычной всем
C=M E (mod N)
получаем более близкую к действительности
C=(M||Rand) E (mod N),
где Rand случайное число.
Такую методику называют схемами дополнения. В настоящее время использование RSA без схем дополнения является не столько плохим тоном, сколько непосредственно нарушением стандартов.

Но это далеко не все. Считается, что даже если криптоситема удовлетворяет сформулированному выше требованию, это еще не доказывает ее пригодность в практических целях. Сформулируем еще одно требование к стойкости асимметричного алгоритма.

Требование 2:
Пусть злоумышленник имеет доступ к расшифровывающему «черному ящику». Т.е. любой криптотекст по просьбе злоумышленника может быть расшифрован. Далее злоумышленник создает два открытых текста M₁ и M₂. Один из этих текстов шифруется и полученный в результате криптотекст C_b возвращается злоумышленнику. Задача злоумышленника угадать с вероятностью большей чем 0.5 какому из сообщений M₁ и M₂ соответсвует криптотекст C_b. При этом он может попросить расшифровать любое сообщение, кроме C_b(в противном случае игра не имеет смысла). Говорят что криптосистема стойкая, если злоумышленник, даже в таких прекрасных для себя условиях, не сможет указать какому исходному тексту соответствует C_b с вероятностью большей 0.5.

В свете вышесказанного посмотрим как с этим обстоят дела в RSA.
Итак, злоумышленник имеет два сообщения M₁ и M₂. А также криптотекст
C_b=M₁ E (mod N).
Ему необходимо указать какому конкретно из двух текстов соответствует C_b. Для этого он может предпринять следующее. Зная открытый ключ E, он может создать сообщение
C’=2 E *C_b(mod N).
Далее он просит расшифровывающий «черный ящик» расшифровать сообщение C’. А затем несложная арифметика ему в помощь. Имеем:
M’=C’ D (mod N)=2 ED *M₁ ED (mod N)=2*M₁(mod N).
Т.е. вычислив M’/2 злоумышленник увидит M₁. А это означает, что он поймет что в нашем примере было зашифровано сообщение M₁, а следовательно мы еще раз убедились в неприемлемости использования RSA в его наивном виде на практике.

Устранить и эту неприятность помогают схемы дополнения. Только теперь к ним выдвигается требование не только о том, чтобы дополнительная информация была абсолютно случайной и непрогнозируемой. Но так же и том, чтобы дополнительные блоки помогали определить был ли шифротекст получен в результате работы шифрующей функции или он смоделирован злоумышленником. Причем в случае, если будет обнаружено, что шифротекст смоделирован вместо расшифрованных данных атакующему будет выдано сообщение о несоответствие данных реальному криптотексту.

Казалось бы, реализация такой схемы дополнения является труднорешаемой задачей, но ведь в криптографии уже есть готовый инструмент контроля целостности данных. Конечно же, это хеш-функции. Все современные схемы дополнений реализованы на идее применения хеш-функции в качестве проверки расшифрованных данных на подлинность.

В RSA при подписи и при шифровании данных используют две различные схемы дополнений. Схема, реализуемая для подписания документов, называется RSA-PSS(probabilistic signature scheme) или вероятностная схема подписи. Схема, используемая при шифровании – RSA-OAEP(Optimal asymmetric encryption padding) или оптимизированное асимметричное дополнение шифрования, на примере OAEP и рассмотрим как на самом деле происходит шифрование сообщений в RSA.

RSA-OAEP

Заключение

Т.е. RSA это не только возведение в степень по модулю большого числа. Это еще и добавление избыточных данных позволяющих реализовать дополнительную защиту вашей информации. Вы, возможно, спросите: а зачем это все нужно? Неужели в действительности может произойти такая ситуация, когда атакующий получит доступ к расшифровывающему алгоритму? Совсем по другому поводу как-то было сказано: если какая-либо неприятность может произойти, она обязательно произойдет. Только вот с использованием схем дополнений это уже не будет считаться неприятностью.

upd: перенес в блог криптография.
upd2:
Литература и ссылки:
1. Н. Фергюссон, Б. Шнайер «Практическая криптография»
2. Н. Смарт «Криптография»
3. Спецификация RSA-OAEP(pdf)

Источник

Шифрование при помощи алгоритма RSA

RSA – один из методов шифрования, который нельзя назвать самым безопасным, так как был разработан более 40 лет назад. Повышенная безопасность новых технологий не мешает RSA использоваться и по сей день, например, для передачи зашифрованных ключей.

Что представляет собой алгоритм?

Дата создания алгоритма RSA 1977 год. Аббревиатура придумана на основе фамилий разработчиков: R – Ривест, S – Шамир, A – Адлеман. Первый буквы и стали являться наименованием для шифрования и технологии в целом.

Несмотря на дату официального создания, основа системы была разработана в 1973 году Клиффордом Коксом. Алгоритм английского математика использовался исключительно засекреченными лицами, технологию не предоставляли для обычных граждан.

Шифрование

Работа RSA-шифрования основывается на генерации ключей. Пользователь создает публичный шифр, основанный на двух больших числах и вспомогательных значениях. Если код простейший, то прочесть сообщение с его помощью будет легко, но процедура усложняется, если генерируется длинный ключ.

За время своего существования RSA-шифрование было вдоль и поперек изучено, поэтому метод не может считаться эффективным и безопасным. Алгоритм подразумевает, что для его использования потребуется затрачивать какое-то время, что является крупным минусом на сегодняшний день.

Алгоритм цифровой подписи RSA применяется для передачи общих кодов доступа в виде шифра. С его помощью симметричный ключ, используемый для скрытия и чтения большого количества данных, достигает своего адресата.

Сегодня в криптомире повсеместно используются асимметрические ключи благодаря разработкам Диффи и Хеллмана, представленными общественности в 1976 году. Но полученный общий код невозможно было использовать в полной мере, так как принципы факторинга еще не были до конца изучены.

Разработки были продолжены троицей программистов, доработавших механизм функции, направляемой по одному адресату. Его главным плюсом являлась сложность раскодирования. Разработанная система ассиметричного шифрования впоследствии стала называться RSA.

Цифровая подпись

Пришедшая эра электронных документов повлекла за собой развитие соответствущих подписей. Они необходимы для признания документов официальными. Цифровая подпись является переводом данных на криптографический язык.

Благодаря такой основе системе, подпись конфиденциальна. Вся содержащаяся информация сторонах надежно защищена.

Электронная подпись и RSA– это неделимый союз, так как первый не может существовать без второго. В киберпространстве существует два вида ключей: публичный и приватный. Если первый доступен любому пользователю, то второй является средством защиты от получения данных третьими лицами.

Благодаря RSA-шифрованию документ является зашифрованным, но доступ к нему может быть получен в любой момент. Расшифровка подписи для проверки происходит при помощи закрытого, а предоставление доступа к заверенному документу через открытый ключ.

Скорость работы

Процесс шифрования и дешифровки RSA использует метод возведения в степень (умножение определенное количество раз). Для практических приложений публичный ключ возводится в небольшую степень. Часто можно встретить ситуацию, когда группа устанавливает одну и ту же степень возведения с разными модулями. Это дает возможность ускорить дешифровку и проверку, если сравнивать с процессом шифрования и подписания.

За основу можно взять условное число k, которым является количество битов. В таком случае требуемое количество шагов будет равно в зависимости от необходимых действий:

Для ускорения проведения процедур на основе RSA постоянно применяются новые разработки. В качестве таковой мог стать способ «быстрого умножения», который позволял уменьшить число требуемых шагов для успешного и безопасного выполнения операции. БПФ (FFT) не прижилось, ведь для реализации требуется сложное ПО, а для быстрой работы понадобится сделать размер ключей идентичным.

Важно! Сегодня алгоритм RSA проигрывает в скорости большинству альтернативных способов блокового шифрования. Так DES минимум в сто раз быстрее при аппаратной реализации.

Как взламывают алгоритм RSA?

RSA – это изученный метод шифрования, который можно взломать несколькими способами. Самым эффективным является поиск закрытого ключа, который позволяет открыть информацию из открытого ключа. Позволяет получать всю информацию, которая была зашифрованной, также внедряться в код подписи, подделывая ее. Для проведения атаки необходимо найти сомножители общего модуля n – p и q. Благодаря данным p, q, e, хакер может без проблем получить частный показатель d. Основная трудность метода – поиск сомножителей. В основе безопасности лежит схема определения множителей, что позволяет создать задачу без эффективных вариантов решения.

Система взлома работает не только для поиска n на основании d, но и в обратную сторону. Если потребуется использовать современное оборудование для вычислений, то оно не будет оказывать негативного влияния на безопасность криптосистемы, для чего потребуется увеличить размер ключа. При соединении эти два пункта (улучшенное оборудование и удлиненный ключ), то можно получить более стойкую систему.

Метод используется в отношении одного ключа или нескольких, если в пределах идентичного мелкого показателя шифруется множество сообщений, каким-либо способом связанных между собой. Тогда злоумышленник получит доступ ко всей информации.

Есть типы атак, которые направлены лишь на конкретное сообщение. Главным минусом является невозможность получить доступ ко всем сообщениям, которые шифруются одним ключом. Самый простой способ для получения информации из одного сообщения – атака по открытому тексту, который был зашифрован публичным ключом получателя. Это позволяет получить информацию о двух приватных ключах, которые будут сравниваться. Защитой от такого способа взлома могут послужить пара разных битов, располагаемых в конце.

Существует альтернативный вид взлома одного сообщения. Пользователь отправляет идентичное сообщение 3-ем корреспондентам, где используется одинаковый показатель. Злоумышленник имеет возможность перехватить одно из сообщений для кражи интересующей информации. Для предотвращения атаки достаточно ввести разные случайные биты в каждом сообщении.

Еще один способ взлома одного сообщения – создание зашифрованного текста, который отправляется пользователю. Если второй откроет и расшифрует сообщение, то злоумышленник получит доступ к расшифровке отдельных писем.

Существуют атаки, которые направлены не на взлом криптосистемы, а для получения доступа через слабые места шифрования, которые по сути уже являются прямым вторжением в экосистему. Тогда слабость проявляется не у алгоритма, а у способа реализации. Если приватный ключ хранится в системе без наличия достаточной защиты, то хакер сможет его украсть. Для обеспечения максимальной безопасности необходимо не только учитывать базовые правила, но и генерировать ключ увеличенной длины.

Что собой представляют «устойчивые числа»?

Для защиты шифрования должны использоваться устойчивые числа p и q. Они необходимы для выявления свойств, затрудняющих получение множителей. Одним из таких являются главные делители: p – 1 и p + 1. Это позволяет создать защиту от определения множителей различными методами, которые можно применять только в отношении небольших делителей. Использование устойчивых чисел даже закреплено в правилах некоторых стандартов, например, ANSI X9.31.

Но разрабатывающиеся способы факторинга уже могут работать даже с устойчивыми цифрами и большими делителями. Одной из таких схем выступает алгоритм разложения на множители эллиптических кривых. Поэтому в отношении действий некоторых хакеров использование устойчивых чисел не сможет обеспечить достаточную безопасность.

Важно! Если будут разработаны дополнительные способы факторинга, то в RSA можно будет увеличить количество символов в числе для усложнения задачи.

Рекомендованный размер ключа

При определении размера ключа требуется опираться от модуля n, являющегося суммой p и q, которые для корректной работы должны иметь примерно равную длину. Если модуль равен 524 битам, то приблизительный размер 262 бита.

Так как p = M*(± ), то значения p и q можно без труда найти, если разность чисел небольшая.

Такой ключ увеличивает безопасность, но вместе с этим замедляет алгоритм. Определение длины ключа опирается на оценку данных, которые должны быть зашифрованы, а вероятные угрозы (их частота и направленность) учитываются только после этого.

Существует специальная RSA-лаборатория, рекомендующая 1024 бита. Но если потребуется защитить важную информацию, то длина ключей лучше всего увеличить в 2 раза. Если же информация совершенно не ценна, то хватит 768-битного ключа.

Персональный ключ имеет срок действия, обычно он равен одному году. Это необходимо для периодической замены ключей для безопасности. Как только срок действия ключа истекает, то необходимо создать новый код, который должен соответствовать длине прошлого.

Множество простых чисел

В природе существует бесконечное множество простых чисел. Хотя количество символов в RSA-шифровании ограничено, количество возможных простых чисел все равно очень велико.

Интересно! Ключ длиной 512 битов включает в себя 10 150 возможных значений.

Как это работает?

В реальности защищенная передача сообщений возможна при использовании двух криптосистем: RSA и DES. Алгоритм процесса:

Пример работы

Работа шифрования заключается в трех этапах:

RSA – это тот тип шифрования, который обеспечивает достаточную безопасность, но только при увеличении длины ключа, из-за чего замедляется проведение остальных операций. Алгоритм предназначен для простых операций, которые не требуют высокого уровня защиты.

Источник